Técnicas de Integração

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Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Francisco Lucas
Instituto Federal do Sertão Pernambucano - Campus Salgueiro
14 de novembro de 2017
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Resolvendo algumas Integrais
Example
Calcule as integrais abaixo:
1
∫
2x− 9√
x2 − 9x+ 1dx
2
∫
(sec x+ tan x)2dx
3
∫ pi
4
0
√
1+ cos 4xdx
4
∫
3x2 − 7x
3x+ 2
dx
5
∫
sec xdx
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Integração por Partes
Note que: ∫
xdx =
x2
2
+ k e
∫
x2dx =
x3
3
+ k
Logo: ∫
x.xdx 6=
∫
xdx.
∫
xdx
Consequentemente: ∫
f (x).g(x)dx 6=
∫
f (x)dx.
∫
g(x)dx
Portanto, a "regra do produto"para o cálculo de integrais chamaremos de
Integração por Partes:
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Integração por Partes
Theorem (Integração por Partes)
Supondo que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observando que f (x)g(x) é uma
primitiva de [f (x)g(x)]′, então f (x)g′(x) também admitirá primitiva em I e:∫
f (x)g′(x)dx = f (x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x)dx
Fazendo u = f (x) e v = g(x), temos du = f ′(x)dx e dv = g′(x)dx, o que nos permite
escrever na forma usual: ∫
udv = uv−
∫
vdu
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Integração por Partes
Example
Calcule as integrais abaixo:
1
∫
x cos xdx
2
∫
ln dx
3
∫
x2exdx
4
∫
ex cos xdx
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Integração por Frações Parciais
Nesta seção iremos mostrar como expressar uma função racional como uma
soma de frações mais simples, as chamadas Frações Parciais.
Example
Calcule as integrais abaixo:
1
∫
5x− 3
x2 − 2x− 3dx
2
∫
x2 + 4x+ 1
(x− 1)(x+ 1)(x+ 3)dx
3
∫
6x+ 7
(x+ 2)2
dx
4
∫
2x3 − 4x2 − x− 3
x2 − 2x− 3 dx
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Integrais Trigonométricas
Integrais trigonométricas envolvem combinações algébricas das funções
trigonométricas básicas.
I - Produto de potências de senos e cossenos
Example
Calcule as integrais abaixo:
1
∫
sin3 x. cos2 xdx
2
∫
cos5 xdx
3
∫
sin2 x cos4 xdx
Técnicas de Integração
Técnicas de Integração
Integrais Trigonométricas
I - Produto de potências de secante e tangente
Example
Calcule
∫
sec3 xdx.