Exercícios Resolvidos método de Terzaghi

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1 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Te
nsã
o d
e C
isa
lha
me
nto
 (K
pa
)
Tensões Principais (kPa)
ENVOLTÓRIA DE RUPTURA
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ac
rés
cim
o d
e T
ens
ão 
(K
pa
)
Deformação (%)
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO
σ3 = 200 kPa
σ3 = 300 kPa
σ3 = 500 kPa
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina de Fundações 
Professor Leandro Olivio Nervis 
 
Capítulo 2 – Exercícios resolvidos 
 
1) Dimensionar um bloco de fundação de uma edificação residencial confeccionado com 
concreto de fck igual a 20 MPa para suportar uma carga vertical característica e centrada 
de 1700 kN oriunda de um pilar de 35 x 60 cm, apoiado no terreno a 1 m de 
profundidade. As características geotécnicas do terreno são apresentadas abaixo. Utilizar 
o método de Terzaghi para a verificação dos Estados Limites Últimos – ELU. Para a 
verificação dos Estados Limites de Serviço – ELS, considerar o mesmo carregamento. 
 
 
 
 
 
Sondagem do tipo SPT 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado de ensaio triaxial do tipo consolidado/drenado – CD 
 2 
L
B
A=BL
L
B
b
l
1
,0
0
Cota de apoio
Solução: 
BLA 
 
 
Dimensionamento para atender os ELU: 
 
Como a carga é dada em termos característicos (sem majoração), emprega-se o conceito de 
tensão admissível: 
adm
k PPPA



 
FS
r
adm


 
 
Relação das dimensões do elemento de fundação: 
blBL 
 
35,06,0BL 
 
25,0BL 
 
B25,0L 
 
 
Cálculo das tensões e definição das dimensões em planta 
qqccr SN'qSBN
2
1
ScN  
 
c = 20 kPa 
γ = 18 kN/m³ 
qꞌ = 1.18 = 18 kPa 
º35
1400
201000
arctg 




 

 
Nc = 45 
Nγ = 40 
Nq = 32 
Sc = 1,1 
Sγ = 0,9 
Sq = 1,0 
 
Estimando-se B = 1,0 m, tem-se: 
kPa18901.32.189,0.40.1.18.
2
1
1,1.45.20r 
 
Fatores de carga: Ábaco (nesse caso, trata-se de ruptura global ou geral, 
constatada pelo fato das curvas acréscimo de tensão x deformação do ensaio 
triaxial apresentar pico) 
Fatores de forma: Tabela (fundação retangular) 
 
 
 
 
3 
FS=3,0 (NBR 6122:2010) 
kPa630
3
1890
adm 
 
²m83,2
630
1700%.51700
A 


 
BLA 
 
m25,10,125,0B25,0L 
 
B25,183,2 
 
estimadoBm26,2B 
 
Estimando-se B=1,5m, tem-se: 
kPa20521.32.189,0.40.5,1.18.
2
1
1,1.45.20r 
 
kPa684
3
2052
adm 
 
²m61,2
684
1700%.51700
A 


 
L.BA 
 
m75,15,125,0B25,0L 
 
B75,161,2 
 
estimadoBm49,1B 
 
m6,0Bm5,1B mínimoadotado 
 
m75,125,05,1L 
 
5,217,1
5,1
75,1
B
L

 OK! 
Verificação dos ELS: 
sai 
 
Por se tratar de uma argila residual não saturada, desprezam-se os recalques por adensamento 
e secundários e procede-se como se fosse uma areia. Assim: 
i
 
Admitindo-se que o bulbo de tensões se estende a uma profundidade estimada igual a 2B, 
tem-se que não há incidência de tensões fora da camada de argila vermelha residual, logo se 
recai no caso de camada infinita para efeito de cálculo de recalque imediato ou elástico ρi: 
 4 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
cr
és
ci
m
o 
d
e 
T
en
sã
o 
(K
p
a)
Deformação (%)
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO
σ3 = 200 kPa
σ3 = 300 kPa
σ3 = 500 kPa
p
s
2
i I
E
1
B 




 

 
kPa680
75,1.5,1
1700%.51700
A
PPPk 




 
36,1
I
12,1
5,1
17,1
1
17,1
B
L
p




 
20,1I
I36,1
17,15,1
12,1I
117,1
p
pp






 
 
Para a estimativa do Módulo de Elasticidade Es do solo, pode-se recorrer às 
curvas de acréscimo de tensão x deformação do ensaio triaxial CD. Para tal, seria 
necessário conhecer a tensão horizontal que atuará no solo, que é algo difícil de 
estimar, pois depende do coeficiente de empuxo em repouso do solo K0 (σh=K0σ. 
Como estimativa, é possível admitir, de forma bastante estimada e a favor da 
segurança, K0=0,5, ou seja, que as tensões horizontais sejam igual a metade das 
tensões verticais. Assim:
 
kPa340680.5,0h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kPa40000
%2
800
Es 
 
 
 
 
 
5 
1
,2
5
1
,7
5
1,50
1
,0
0
2,1
40000
5,01
5,1.680
2
i 




 

 
mm40mm23m023,0i 
admissível para areias (argila residual não saturada) OK! 
OBS: no caso de um projeto completo, verificar os recalques diferenciais. 
 
Definição da altura do elemento de fundação: 
MPa8,020.04,0
MPa8,0
f04,0
f
ck
ct





 
MPa8,0fct 
 


6586,0
800
684
fct
adm
 (Ábaco) 
m25,1m23,1)65(tg
2
35,05,1
h 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
AREIA FINA,
MEDIANAMENTE COMPACTA
A COMPACTA,
AREIA GROSSA, COMPACTA
COR AMARELA
COR CINZA
NA
18
1
,5
0
1
,2
0
0,60
2) Dimensionar as fundações em alicerce ou baldrame (largura e altura) para atender os 
ELU e ELS considerando um carregamento linear característico de 205kN/m oriundo de 
uma parede de 6 m de comprimento e um terreno representado pelo perfil geológico-
geotécnico abaixo (Peso: 2,0). Considere Es = 1000NSPT (médio) (kPa) e υ= 0,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Dimensionamento para atender os ELU: 
Toma-se o comprimento unitário de parede, calcula-se a largura B da fundação como se fosse 
uma fundação com área A = 1.B. Sabendo-se que o carregamento característico oriundo da 
parede é de 205 kN/m, tem-se que para 1 m de parede: 
kN25,215205%.5205PPPk 
 
adm
k PPPA



 
)MPa(
50
)médio(NSPT
adm 
 
Apoiando as fundações a 1,5 m de profundidade e estimando B = 0,6 m, tem-se: 
18)médio(NSPT 
 
kPa360MPa36,0
50
18
adm 
 
²m60,0
360
25,215
A 
 
MÌNIMOESTIMADO
BBm6,0
1
6,0
1
A
BB.1A 
 OK! 
 
 
 
 
 
7 
0,70
45°
h
0,60
Verificação dos ELS: 
sai 
 
Por se tratar de uma areia, os recalques por adensamento e secundários são nulos, logo: 
i
 
E como o bulbo de tensões não atinge a camada inferior, logo se recai no caso de camada 
infinita para efeito de cálculo de recalque imediato ou elástico ρi: 
p
s
2
i I
E
1
B 




 

 
kPa75,358
6,0
25,215
A
PPPk 


 
53,210
6,0
6
B
L

 
1800018.1000)médio(N1000E SPTs 
 
mm40mm28m0275,053,2.
18000
3,01
.75,358
2
i 




 

(areias) OK! 
Cálculo da altura: 
 
 
h
35,0
º5,22tg 
 
 
m84,0h 
 
(se for de alvenaria de pedra ou tijolos, aproxima-se de 
acordo com o tamanho das peças e das juntas e se for de 
concreto ciclópico pode-se arredondar de 5 em 5 cm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
2
,0
0
1
,0
0
2,00
DIVISA
D
IV
IS
ASPT
18
19
19
15
7
12
AREIA FINA, MEDIANAMENTE
COMPACTA,CINZA
SPT COTA
-6,40
0,00
NA -5,60
-9,80
-15,0
0/28
31
18
5
2
1
50
33
52
ARGILA MARINHA
SILTOSA, MOLE
AREIA GROSSA,
COMPACTA
18
19
15
12
1,50
2
,0
0
3
,0
0
3) Verificar a possibilidade de transmitir ao terreno as cargas dos pilares da figura através de 
sapatas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carregamento 
 Sondagem do tipo SPT 
Solução: 
Dimensionamento para atender os ELU: 
Arbitrando B = 1,5 m, considerando que o bulbo de tensões atinja uma profundidade de 
aproximadamente 2B e considerando as sapatas apoiadas na cota -2,0 m, tem-se: 
50
)médio(NSPT
adm 
 (MPa) 
16
4
19151812
)médio(NSPT 


 
kPa320MPa32,0
50
16
adm 
 
Mas como os carregamentos são dados em termos de cálculo, é necessário determinar a tensão 
resistente de projeto: 
FS
FS
admr
r
adm 


, sendo FS = 3,00 para métodos semiempíricos (NBR 6122:2010)
kPa9603.320r 
 


 rd
, sendo ξ = 2,15 para métodos semiempíricos (NBR 6122:2010) 
kPa51,446
15,2
960
d 
 
P1 (40 x 20 cm) 
P2 (20 x 40 cm) 
P1: Pd = 1200 kN 
P2: Pd = 720 kN 
 
P1: Pd = 900 kN 
P2: Pd = 540 kN 
 
ELU 
ELS 
 
 
 
 
9 
2
,0
0
1
,0
0
2,00
DIVISA
D
IV
IS
A
d=2,24x=1,40
DIVISA
DI
VI
SA
1,5
5
3,00
VIGA DE RIGIDEZ
Determinando o centro de carga para verificar se é possível adotar uma solução em sapata 
associada: 
m24,212d 22 
 
kN19207201200Pd 
 
m40,1x
x
24,2
1200
1920



 
 
d
d PPPA



 
²m52,4
51,446
1920.05,1
A 
 
Adotando L = 3,00 m (simetria), tem-se: 
L
A
BBLA 
 
m5,1m51,1
3
52,4
B 
OK! 
Adotado: 
B = 1,55 m 
A = 3,00 m 
Verificando 
5,2
B
L

 
 
5,294,1
55,1
00,3

OK! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Verificação dos ELS: 
sai 
 
Constata-se que o bulbo de tensões não atinge a camada de argila mole, o que significa que as 
tensões se dissipam dentro da camada de areia, Assim, por se tratar de uma areia, os recalques 
por adensamento e secundários são nulos, logo: 
i
 
E como o bulbo de tensões não atinge a camada inferior, logo se recai no caso de camada 
infinita para efeito de cálculo de recalque imediato ou elástico ρi: 
p
s
2
i I
E
1
B 




 

 
A
PPPk 
 
kN57,1028
4,1
540900
Pk 


 
kN57,68
4,1
1920%.5
PPk 
 
kPa94,235
3.55,1
57,6857,1028



 
Es  Correlações empíricas, tabelas 
- Dècourt et al. (1989) (Pg. 125, HACHICH, 1998) 
N3Es 
(MPa) 
MPa48316Es 
 
- Tabela 7.3 (Pg. 252, HACHICH, 1998) 
Areia medianamente compacta: 
MPa50Es 
 
υ 

Valores tabelados 
- Tabela 7.7 (Pg. 254, HACHICH, 1998) 
Areia medianamente compacta

3,0
 
52,1I2
B
L
p 
 
mm40mm10m01,052,1.
50000
3,01
55,1.94,235
2
i 




 

 (areias) OK! 
 
 
 
 
 
 
11 
D
IV
IS
A
SPT
5,60
7
5
8
ARGILA MÉDIA, CINZA
SPT
NA
ATERRO
ROCHA SÃ
2,20
AMOSTRA
0,40
0,40
2,80
4) Projetar sapatas alavancadas para os pilares P1 e P2 representados abaixo. Para a 
verificação dos ELU utilizar a teoria de Skempton. Para a verificação dos ELS considerar 
o mesmo carregamento, o qual é dado em termos característicos (sem majoração). 
 
 
 
 
 
 
 
 Esquema do carregamento Informações geotécnicas 
 
Solução: 
Dimensionamento para atender os ELU 
- SAPATA DA DIVISA (Pilar P1) 
adm
k
2
PPP
B



 
FS
r
adm


 
Pela teoria de Skempton: 
'qcN cr 
 
Apoiando a sapata a 1,5 m de profundidade (H=1,5m) e estimando B = 1,5 m, tem-se: 
7,7N0,1
5,1
5,1
B
H
c 
 
kPa140Suc 
 
kPa4,141,1.107,0.184,0.174,0.15'q 
 
kPa4,10924,147,7.140'qcNcr 
 
kPa13,364
3
4,1092
FS
r
adm 


 
m50,1m86,1
13,364.2
2400.05,1
B 
NÃO OK! 
Tomando B = 1,90 m, tem-se: 
7,7
Nc
4,7
0,1
8,0
75,0
8,0
9,1
5,1
B
H




 
P1 (30 x 100 cm) 
 Pk = 2400 kN P2 (50 x 50 cm) 
Pk = 2000 kN 
γ=15 kN/m³ γsat=17 kN/m³ 
γsat = 18 kN/m³ 
Su = 140 kPa 
e0 = 3 
 
Es = 15 MPa 
υ = 0,5 
PA’ = 214 kPa 
 
Cr = 0,01 
Cc = 0,17 
Cα = 0 
 
 
 12 
CG
d = 4,80
0,15 e = 0,80
1,90
5,60D
IV
IS
A
46,7N
N7,7
8,01
4,7N
75,08,0
C
CC






 
 
kPa8,10584,1446,7.140'qcNcr 
 
kPa93,352
3
8,1058
FS
r
adm 


 
m90,1m89,1
93,352.2
2400.05,1
B 
 OK! 
d
Pe
P 
 
m80,015,0
2
9,1
e 
 
m80,4
2
9,1
15,060,5d 
 
kN00,420
8,4
8,0.2400.05,1
d
Pe
P 
 
kN00,29404202400.05,1PPR 
 
²m33,8
93,352
2940R
A
adm



 
B
A
LBLA 
 
m40,4m38,4
90,1
33,8
L 
 
5,232,2
9,1
4,4
B
L

OK! 
- SAPATA AFASTADA DA DIVISA (Pilar P2) 
kN00,1890420%502000.05,1P%50PPPR k 
 
Apoiando a sapata a 1,5 m de profundidade (H=1,5m) e estimando B = L = 2,3 m (pilar de 
seção quadrada), tem-se: 
4,7
Nc
1,7
75,0
65,0
5,0
65,0
3,2
5,1
B
H




 
28,7N
N4,7
65,075,0
1,7N
5,065,0
C
CC






 
kPa60,10334,1428,7.140'qcNcr 
 
 
 
 
 
13 
kPa53,344
3
6,1033
FS
r
adm 


 
²m49,5
53,344
1890R
A
adm



 
m30,2m34,249,5ALB 
OK! 
m35,2LB 
 
Verificação dos ELS 
- SAPATA DA DIVISA (Pilar P1) 
sai 
 
Para o cálculo do recalque imediato, tem-se o caso de camada finita, pois o bulbo de tensões 
ultrapassa a camada de argila. 
S
10i
E
B

 
8,0
9,1
5,1
B
h

 
82,00 
 
3,2
9,1
4,4
B
L

 
1,1
9,1
5,18,24,04,0
B
H



 
60,01 
 
kPa67,351
4,4.9,1
2940
A
R

 
mm22m0219,0
15000
9,1.67,351
6,0.82,0i 
 











 








'PA
'
logC
'
'PA
logC
e1
H vo
c
vo
r
0
a
 
m10,25,18,24,04,0H 
 
kPa4,14'q'vo 
 
mm27m0268,0
214
67,3514,14
log.17,0
4,14
214
log.01,0.
31
1,2
a 










 








 








 
p
s
s
t
t
logC
, como Cα = 0, 
0s 
 
mm60mm4902722sai 
(argilas saturadas) OK! 
 
 14 
D
IV
IS
A
VIGA DE ALAVANCA
OU DE EQUILÍBRIO
4,
40
1,90
2,35
2,
35
- SAPATA AFASTADA DA DIVISA (Pilar P2) 
S
10i
E
B

 
6,0
35,2
5,1
B
h

 
82,00 
 
0,1
35,2
35,2
B
L

 
9,0
35,2
5,18,24,04,0
B
H



 
45,01 
 
kPa24,342
35,2
1890
A
R
2

 
mm20m0198,0
15000
35,2.24,342
45,0.82,0i 
 











 







'PA
'
logC
'
'PA
logC
e1
H vo
c
vo
r
0
a
 
m10,25,18,24,04,0H 
 
kPa4,14'q'vo 
 
mm26m0257,0
214
24,3424,14
log.17,0
4,14
214
log.01,0.
31
1,2
a 










 








 








 
p
s
s
t
t
logC
, como Cα = 0, 
0s 
 
mm60mm4602620sai 
(argilas saturadas) OK! 
 
- RECALQUES DIFERENCIAIS 
mm40mm34649 
(argilas saturadas) OK! 
500
1
1600
1
4800
3




OK! 
 
 
 
 
 
 
P1 
 P2 
 
 
 
 
 
15 
L
B
b
l
1
,0
0
Cota de apoio
L
BA=BL
5) Dimensionar uma sapata isolada, apoiada a 1,0 m de profundidade, para o carregamento 
excêntrico apresentado a seguir. No terreno foram realizados ensaios do tipo SPT e 
ensaios de placa, cujos resultados na região de interesse são apresentados abaixo. Na 
verificação dos Estados Limites de Serviço – ELS considerar o mesmo carregamento, 
porém minorado por um fator de 1,4. 
 
 
 
Representação de pilar em planta 
 
 
Sondagem do tipo SPT 
 
 
 
 Resultado de ensaio de placa 
 
Solução: 
BLA 
 
 
Dimensionamento para atender os ELU: 
Como a carga é dada em termos de cálculo (majorada), emprega-se o conceito de tensão 
resistente de projeto: 
d
k PPPA



 


 rd
 (ruptura por puncionamento) 
 
Relação das dimensões do elemento de fundação: 
blBL 
 
2,03,0BL 
 
1,0BL 
 
18
33
27
24
17
19
ARGILA AMARELA RESIDUAL
MUITO RIJA A DURA
SPTCOTA
-6,00
Pd = 500 kN 
0,3
0,
2
0,04
 16 
B1,0L 
 
kPa1000r 
 
40,1
 (NBR 6122:2010) 
kPa29,714
4,1
1000
d 
 
²m74,0
29,714
500%.5500
A 


 
BLA 
 
)B1,0(B74,0 
 
074,0B1,0B2 
 







m91,0
m81,0
1.2
74,0.1.41,01,0
B
2 
m85,0B 
 
m95,010,085,0L 
 
²m81,095,0.85,0A 
 
5,212,1
85,0
95,0
B
L

 OK! 
m16,0m04,0em16,0
6
95,0
6
L
6
L
e 
 OK! 







L
e6
1
A
P
max
 







L
e6
1
A
P
min
 
kPa89,811
95,0
04,0.6
1
81,0
05,1.500
max 






 
kPa11,486
95,0
04,0.6
1
81,0
05,1.500
min 






 
d
minmax
2


 
kPa29,714kPa00,649
2
11,48689,811


 
dmax 3,1 
 
kPa58,928kPa89,811kPa58,92829,714.3,13,1 d 
 OK! 
 
 
 
 
 
17 
Verificação dos ELS: 
Do resultado da prova de carga, tem-se que: 
mm40mm4kPa92,579
4,1
89,811
maxk 
 (solos residuais)