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���� � Capítulo 5 – Integrais Múltiplas 1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 1.1. Integral Indefinida O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função �, usamos a notação: ����� �� � ��� � o que nos diz que a integral indefinida de � é a família de funções dada por ��� �, onde ���� � ����. Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se: �� ���� �� � ���� ��� � ���� �� � ���� 1.2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas Podemos usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida que chamamos de integral imediata. ���� � ���� �� ���� �� � ���� � � � ��� � � � ������� com � � �� �� ��� �� � ����� � � ������� � � � � � � � �� ��� �� � ������� � � � � � �� � � � � ���� !���� � !���� �� � � ���� � � !���� � ���� �� ������ � � !���� � ���|�|�� � � � �� ��� �� � ���|�|� � Definição: Uma função será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função � num intervalo I se ���� � ����, para todo � # I. ���� � Exemplos: �� ��$�� � �$��% � � �&' � (� �)�$ �� � �$*��%( � � �+,*-,( � (- �+,* � .� ��./�0 �1 � �./�0���./� � 2� � �√4*5 �4 � �46*7 �4 � . 4�7 � � . √45 � 1.3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas Exemplos: �� ��% �7 ( 89:���� �� ��% �7 (89:���� �� � �% �7 �� �( 89:��� �� � %� �7 �� (�89:��� �� � � % ;�<2 ��= ( �� ���� �*� � %2�< ( � ���� %�� (�* � � %2 �< ( � ���� � !�� � � %�� (�* (� �>? 17 � '√1 �17@ �1 �>? 17 � '√1 �17@ �1 � ��? 17� �1 �A�'√1B �1 �> �17@ �1 � � ?�17 �1 � ' � 1�,* �1 � 167 �1 � � ? ;1<2 ��= � ' ;17,*.,( �*= ;16*�( �7= � ( 1< � 2 17,* � �( 1* �?�� � '�* �7� � � ( 1<� 2 17,* � �( 1* � �� �C D ������ � C D ����� �� C � !��1��1 (� �E ���� F G���H �� � ����� �� F �G��� �� ���� � .� � �I* � ��*I* �I � �;I< � (I* �I* = �I � �>I* � ( �I*@�I � �I*�I ��(�I � �I* �I � � �I*�I � (��I �I6* �I �I7. � (I I6*����( �� � � � I7. � (I � �I � 1.4. Técnicas de Integração – Método da Substituição Seja uma função composta AG���B e primitiva de �, ou seja, � � �. Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se: �J AG���BK��� � AG���B � Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se: �J AG���BK��� � � �AG���BD G���� �� !�� �AG���B � �AG���B �J AG���BK� �� � ��AG���BD G���� � AG���B � Diretrizes para o método da substituição: 1) Decidir por uma substituição favorável I � G���D 2) Calcular o diferencial �I � G���� ��D 3) Transformar o integrando apenas em função de I. 4) Calcular a antiderivada envolvendo I. 5) Substituir I por G��� na antiderivada. O resultado deve conter apenas a variável �. 6) ���G����DG������ � AG���B � ��L ��! � �IM�1N1INOP!Q R I � G����I � G������ ���I� �I � �I� � Método da Substituição S T� IU� VWNUN1NX� � �Y � � �Y �1P! ���� � Exemplos: Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo: ���� ��(1��1 Z I � (1 �I � ( �1 [ �1 � �I( �� ��I� ( �I � �(�� ��I��I � ��(89:�I� � � ��( 89:�(1� � (��/<\ �4 Z I � 24 �I � 2 �4 [ �4 � �I2 �/] 2 �I � �2�/] �I � �2 D /]���/� � � /<\2 ���/� � .��√.� 2 �� ZI � .� 2�I � .�� [ �� � �I. �√I. �I � �.� I�,*�I � �. ^I7 *⁄.( ` � (a)I7 � � (a)�.� 2�7 � 2��� !���*� �� R I � �*�I � (��� [ ��� � �I( � !���*� � �� � � 89:�I�>�I( @ � �(�89:�I��I � � �(� ��I� � � �( � ���*� � %���*D � � ;�7/ = �� b I � �7/�I � ./ �*�� [ �*�� � /. �I � � ��I�/. �I � /. �� ��I��I � �/. !��I� � � �/. !�;�7/ = � ���� � 1.5. Técnicas de Integração – Integração por Partes Se ���� e G��� são funções diferenciáveis, então pela regra do produto: A����D G���B� � � ����DG��� ����D G���� Integrando ambos os lados: �A���� G���Bc��� � �� ���� G����� ����� G������ ���� G��� � �� ���� G����� ����� G������ ����� G���� �� � ���� G�����G��� ������� Esta fórmula expressa a integral dI �X em função de outra integral, d X �I. Escolhendo adequadamente I e �X pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para I e para �XY em geral pretendemos que �X seja o fator do integrando mais complicado que se sabia integrar. Exemplos: �� �� � ������ f I � ��I � �� b �X � � ������d�X � d � ������ X � �89:��� g �I �X � I X � �X �I �� � ���� �� � ��D !���� ��� !���� �� � ��D !���� � !���� �� � � ��D 89:��� � ���� � (��WD %h �W f I � W�I � �W b �X � %h�W d �X � d %h�W X � %h���%� g �I �X � I X � �X �I �WD%h �W � WD %h���%�� � %h���%� �W � WD %h���%� � ����%� D �%h �W � S I � ���� X � G��� �P! �I�Oi � �N� W � NjX N�Y �1P! ����� G������ � ���� G��� ��G��� ������� I � ���� g �I � � ������X � G��� g �X � G������ g �I �X � ID X � �X �I Integração por Partes ���� � �WD%h �W � WD %h���%�� ����%� D %h���%� � � %h���%� >W � ����%�@ � � %h�WD k��%� � ����*�%� � .� �WD h* �W f I � W�I � �W lmn mo �X � h *p �W� �X � � h *p �W X � ( h* g b 4 � W( [ �4 � �(�W� h *p �W � � \ �( �4� � ( \ � ( h* �I �X � I X � �X �I �W h* �W � W ( h *p � �( h *p �W � ( W h *p � 2( h *p � � ( h *p �W� (� � 2� � 1 � ��21��1 Z I � 1�I � �1 lmn mo �X � � ��21��1 ��X � �� ��21� �1 X � �89:�21�2 g q 4 � 2 1 �4 � 2 �1�� ��4��42 � �89: �4�2 � �89: �21�2 �I �X � I X � �X �I �1 � ��21��1 � ��2 1 89:�21� � ��89:�21�2 �1 � ��2 1 89:�21� �2�89: �21��1 mas q 4 � 2 1 �4 � 2 �1�89:�4� �1 � � � �4�2 � � � �21�2 �1 � ��21��1 � ��2 1 89:�21� � ��21��' � %� � k������ q I � �� ����I � �� �� r �X � ��d�X � d �� X � � g �I �X � I X � �X �I ��� ��� �� � ����� � �� � �� �� � � ����� �� �� � � ����� � � � � ������ � �� � ���� � 1.6. Integral Definida Seja � uma função contínua definida no intervalo E�, MH. Dividindo este intervalo em � subintervalos de comprimentos iguais ∆�, a área t da região sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da área dos � retângulos de comprimento ∆� e altura ���u�, assim: Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de subdivisões do intervalo. Define-se a Integral Definida de � de a para b o seguinte limite: � ���� ��v w � lim�→z{���u� ∆� � u|� Observe que: A integral definida é um número e não uma função. S ���� } 0 � ~ � ~ M �1ã! � ������ } 0 v w �áW � � NU� �! N�! �� S ���� ~ 0 � ~ � ~ M �1ã! � ������ ~ 0 v w �áW � �M�N�! �! N�! �� Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre a área sob a curva de uma função que está acima do eixo horizontal � com a que está abaixo do eixo �. � ������ � v w � ������ � ������ v w !U � M Propriedade� � ���� �� � t� � t* t7 v w � y=f (x) a b t� t* t7 x y c t � {���u� ∆� � u|� � �� � �Exemplos: � Calcule as integrais definidas indicadas �� � � ��7 � A função ���� � � é contínua em E� Y .H . Calculando a antiderivada de ���� e considerando a constante de integração nula, tem-se: ��� � � � �� � � � !U � � �� Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se: � � �� � ���.� � � .� � 7� 7 � � � 7 � �-Y.'a (� � ��� &7 � ��� � &7 ���"�"� '. � ���'�� ���.� � �� >'.@ � ���(� .� � � � D ��*� �� Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula tem-se: Z I � �*�I � (��� � �� � �I( �� � D ���� � � ] >�I( @ � ]( � �( Então � � � D ��*� �� � � ( � * � *( � �( � <( � ( � � < � �( S � �!W !�1N�I� U E�Y MH IU� ��1N� WNX��� � �Y � � �Y �1P! � ������vw � ��� M� � �M� � ��� Teorema Fundamental do Cálculo �� � � 2� � �.� ��� ������ Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula tem-se: f I � . � ��I � ��� Z�X � � � �����X � �89: ��� ��. � ��� ������ � �. � ��D ��89:���� � ���89:����D����� � � ��. � �� 89:��� �� 89: ��� �� � ��.� �� 89:��� � � ���� � � �. 89:��� � !���� � � ���� � ��� Então, � �.� ��� ������ � A�. 89:��� � !���� � � ����B � � A�.89:�/� / 89:�/� � � ��/�B� A�.89:��� � 89:��� � � ����B � � �. � / � �� � ��. � � �� � . � / . � ' � / � Encontre a área sob o gráfico da função no intervalo indicado �� ���� � �* U E� Y �H jW � � � �* �� � �7. �� � � �7. � �7. � �. (� ���� � 89:��� U E� Y / (⁄ H jW � � � 89:����� � * :e���� /,(� � :e��/,(� � :e���� � � � � � � ���� � 2. Integral em relação a uma das variáveis de funções a mais de uma variável Seja ���Y � uma função a duas variáveis � e . Mantendo temporariamente constante, podemos calcular: Integral indefinida de � em relação a �: ����Y � �� = ��Y � ��� � � pode ser função de � Integral definida de � em relação a � com � variando � � � até � � M � ���Y ���vw � ��Y � M� � �MY � � ��Y � Mantendo � temporariamente constante, podemos calcular: Integral indefinida de � em relação a : ����Y � � � ��Y � ���� �� pode ser função de �� Integral definida de � em relação a com variando � até � � � ���Y �� � ��Y � � � ��Y � � ��Y �� Exemplos: �� ��* 7 �� � 7��* �� � 7�7. ��� (� ��* 7 � � �*�7 � � �*<2 ���� .� �� 89:���� � 89: ��� � �� � 89:�� �*( ��� 2� �� 89:��� � �� 89: �� � � � � ��� ���� %� � >�� � *@*� �� � � >��@*� �� *� �*� �� � ;���|�|� *�*( =x=2x=1 � � ����(� ( *� � ;����� *( = � ���(� .*( ���� � '� � >�� � *@ � � � ��� � * � � � ** � � � ;� �7 . = y=1 y=0 � � >�� � .@ � > �� �D �. @ � . �*.� -� � *� ����5,* �� � * � � ���� 5 ,* �� � * � !���� x=y 3 x=pi/2 � � *��89:�7� 89:�/ (⁄ �� � �*89: �7� ?� � * � ������ � � � ���� � *�� � � � ���� 7. y=xy=1 � � � ���� ;�7. � �.= � � ������7 � ��. a� � � ���� �� � � � �� �� Calculando d � �� pelo método da substituição, com temporariamente constante Z I � � �I � �� [ �� � �I � � �� � � ] �I � � Assim, � � ���� �� � ; � = x=y 2 x=ln(y) � � x=y2x=ln(y) � 5 � �� � 5 � ���� � 3. Integrais Repetidas Seja � uma função a duas variáveis contínua num retângulo � E�, MH E , �H. Se para cada valor fixo de �, ���, � for uma função integrável de podemos formar a integral definida: � ���, �| | � � � ���, � � O valor da integral acima depende somente do valor de �, então ela define uma função de �. Se t��� for uma função integrável em relação a � de � � � a � � M, tem-se: � t����|v �|w �� � � � ���, �|��� |��� � �|v �|w �� � � � ���, ���� ��� �v w �� Se para cada valor fixo de , ���, � for uma função integrável de � podemos formar a integral definida: � ���, ��|v �|w �� � � ���, �v w �� O valor da integral acima depende somente do valor de , então ela define uma função de . Se t�� for uma função integrável em relação a de � a � �, tem-se: � t��| | � � � � ���, ��|v�� �|w�� ��| | � � � � ���, �v�� w�� �� � t��� � � ���, � � � t��� � � ���, ���� ��� �� Generalizando para quando os limites de integração forem dependentes de ��� t��� t�� � � ���, �v w �� � t�� � � ���, �v�� w�� ��� Generalizando para quando os limites de integração forem dependentes de : ���� � As integrais � � ���Y �v��w�� �� � e � � ���Y ������� �vw �� são chamadas de integrais repetidas. Técnicas para o cálculo das integrais repetidas As integrais são calculadas na ordem que as diferenciais aparecem, ou seja, da esquerda para a direita. Exemplos: �� � � �* 7* �*6� �� � � � �* 7* �*6� �� � � �* � 7 * �*6� �� � � � �* ;<2 =y=2y=0*6� �� � � �* ;(<2 � �<2 =y=1y=0*6� �� � � 2 �**6� �� � 2� �**6� �� � 2 ;�7. = x=2x=-1 � 2 ;?.� ����. = � 2 >a.@ � �( (�� � � 89:����* �� * � � � � � 89:����* �� * � � � � 89:���* �� * � � � A� ����B x=pix = pi/2* � � � A� ��/� � � ��/ (⁄ �B* � � � � ��� ��* � � � � * � � �;*( = y=2y=0 � �;(*( � �= � �( .�� � ]�&]<] �X� �I � � � ]&]<] �X� �I � � ] � &]<] �X� �I � � � ] v=6uv=4u� �I � � ]E &]� <]H� �I � � � +] � $]�� �I � � +]� �I � � $]� �I � ; +]- =u=1u=0 � ; $]% =u=1u=0 � ; +- � - = � ; $% � % = � � +- � �- � $% �% � +- � $% (.% ���� � 4. Integral Dupla sobre Regiões Retangulares Seja uma função L � ���, � a duas variáveis definida numa região retangular onde � E�, MH E , �H � ��, � ∈ * | � ~ � ~ M ~ ~ � Sejam U e �, respectivamente, o número de subdivisões em � e . Assim, o domínio será subdividido em U. � sub-retângulos de áreas iguais a ∆t � ∆� ∆. Seja ��u∗ ,u∗ � um ponto de um sub-domínio u, 1 ~ N ~ U 1 ~ T ~ �. A soma de Riemann é dada por Se for tomado o limite deste somatório quando U � → ∞ obtemos a integral dupla de � sobre a região . ¡���,� ¢ �t � lim£,�→z { {�A�u∗ , �u∗ B ∆t � |� £ u|� → � �� ¤I ! kNUN1 �N�1� Se ���, � � 0 para todo o domínio , a integral dupla representa o volume abaixo do gráfico da função e acima do domínio . Se ���, � 0 em todo o domínio a integral dupla é negativa e seu módulo representa o volume acima do gráfico de � e abaixo do domínio. Se ���, � � 1 então ¡���,� ¢ �t � ¡�t ¢ . Assim,a integral dupla representa o volume de um cilindro de altura igual a 1 e base o que corresponde à área da região . { {�A�u∗ ,�u∗ B ∆t � |� £ u|� � ���� � Técnicas para o cálculo da integral múlipla O Teorema de Fubini: relaciona a integral dupla com as integrais repetidas Determinam-se os intervalos de integração, substitui-se �t por �� � e calculam-se as integrais repetidas encontradas. Exemplos: 1� Calcule a integral dupla sobre a região indicada ¡� ���� cos���t ¢ onde � E0, / 2⁄ H E0, / 2⁄ H � � ����� cos��|/* | ��|/* �| �� � � � ���� � cos��|/* | ��|/* �| �� � � � � ���� �� ���� y=pi/2y=0 �|/* �| �� � � � ����Esen�π/2� � sen�0�H�|/* �| �� � � � � �����|/* �| �� � �� !����� x=pi/2x=0 � �cos�/ 2⁄ �� �� cos�0�� � 1 Como ���, � � � ����cos�� é sempre positiva no domínio , o resultado da integral múltipla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função ���, � � � ����cos�� e pelos planos � � 0, � � / 2⁄ , �0 � //2. 2� Calcule a integral dupla sobre a região indicada ¡� *�t ¢ onde � E�1,0H E0,1H � � � *�| �|6� ��|� | � � � * � � �| �|6� ��|� | � � � * ;�*2 = x=0 x=-1 |� | � � � * ;02 � ��1�* 2 = |� | � � � �*2 |� | � � �;76 = y=1 y=0 � �;1 7 6 � 0= � � 1 6 ���� � Como a função é sempre negativa no domínio o módulo da integral dupla, ou seja, 1/6 representa o volume do sólido que está acima do gráfico da função e abaixo da região . 3� Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide L �* 2* � 16, os planos � � 2 e � 2, e os três planos coordenados. X!kIU �¡���, ��t ¢ onde ���, � � L � 16 � �* � 2* ¡�16� �* � 2*� �t ¢ onde � E0,2H E0,2H � � �16� �* � 2*��|* �| ��|* | � � � � ;16� � �73 � 2*�= �|* �| x=2x=0 |* | � � � � >32 � 83� 4*@ |* | � � � >883 � 4*@ |* | � � ;883 � 47 3 = y=2 y=0 � � >1763 � 32 3 @ � �0� 0� � 144 3 � 48 u. v. 4) Encontre a área de um círculo de raio R áW � � ¡ �t ¢ �t � W �¨ �W � �W, ¨�| 0 ~ W ~ , 0 ~ ¨ ~ 2/ � � Wh|¢ h| �W �¨©|* ©| � � W*2 r=R r=0 �¨ ©|* ©| � � � ;*2 � 0= �¨ ©|* ©| � � *2 �¨ ©|* ©| � *2 � �¨ ©|* ©| � � *2 ¨ θ=2pi θ=0 � * 2 E2/� 0H � /* �W� W�¨� ¨� �t� W��
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