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����
�
Capítulo 5 – Integrais Múltiplas 
 
1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável 
 
1.1. Integral Indefinida 
 
 
 
O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é 
chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de 
integração deve ser executada sobre uma função	�, usamos a notação: 
 �����	�� � 	��� 
 	� 
o que nos diz que a integral indefinida de �	é a família de funções dada por 	��� 
 	�, onde 	���� � ����. 
Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se: 
�� ����		��	 � ����													
													 ��� � ����	�� � ���� 
 
 
1.2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas 
Podemos usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula 
correspondente de integral indefinida que chamamos de integral imediata. 
 ���� � ���� �� ����	�� � ���� 
 � 
� � ��� � � 
 � 
������� com � � �� �� ���	�� � ����� 
 � 
 � ������� � 	� � �	
	� � � �� ���	�� � ������� 
 �	
� 
� �
�	�� � 
�
 � 
�
���� !���� � !����	�� � �
���� 
 � 
� !���� �
���� ��
������ � � !���� 
 � 
���|�|�� 	� � � �� ��� �� � ���|�|� 
 � 
Definição: Uma função 	 será chamada de antiderivada ou primitiva 
de uma função � num intervalo I se 	���� � ����, para todo � #	I. 
����
�
Exemplos: 
��	��$�� �	 �$��% 
 � � �&' 
 	� 
(�	�)�$	�� �	 �$*��%(
 � �
�+,*-,( 	� (-	�+,* 
 	� 
.�	��./�0	�1 �	 �./�0���./� 
 	� 
2�	� �√4*5 	�4 �	�46*7	�4 � 	.	 4�7 
 � � .	√45 
 � 
 
 
1.3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas 
 
 
Exemplos: 
��	��%	�7 
 ( 89:���� 	�� 
��%	�7
 (89:���� 	�� �	�%	�7 	�� 
	�( 89:��� 	�� � %� 	�7 	�� 
 	(�89:��� 	�� � 
� % ;�<2 
	��=
 	(	��
���� 
 �*� � %2�< 
 	(	�
���� 
 	%�� 
 	(�* �		 
� %2 �< 
 	(	�
���� 
 	�					!��
			� � %�� 
 	(�* 
 
(�	�>?	17 � '√1 
 �17@ 	�1 
�>?	17 � '√1 
 �17@ 	�1 � 	��?	17� 	�1 
 	�A�'√1B 	�1 
	�> �17@ 	�1 � 
� 	?�17 	�1 � '	� 1�,* 	�1 
 	� 167 	�1 �	 
� ? ;1<2 
 ��= � 	' ;17,*.,( 
 �*=
 ;16*�( 
 �7= � (	1< � 2	17,* � �(	1*
	�?�� � '�* 
 �7� � 
� 	(	1<� 2	17,* � �(	1* 
 	� 
 
��	�C	D		������ �	 C	D �����		�� 										C � !��1��1
 
(�	�E	���� F 	G���H	�� �	�����		�� 		F 	�G���		��							 
����
�
.�		� �I* � ��*I* 	�I 
�	�;I< � (I* 
 �I* = 	�I �	�>I* � ( 
 �I*@�I � �I*�I ��(�I 
� �I* �I � 
� �I*�I � (��I 
�I6*	 �I �I7. � (I 
 I6*����(
 �� 
 	� � 
� I7. � (I � �I 
 	� 
 
1.4. Técnicas de Integração – Método da Substituição 
 
Seja 	 uma função composta 	AG���B e primitiva de �, ou seja, 	� � �. Uma 
vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se: 
�J	AG���BK��� � 	AG���B 
 � 
Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se: 
�J	AG���BK��� � �	�AG���BD G����	��	 		!��
				�AG���B � �AG���B								 
�J	AG���BK� �� � ��AG���BD G���� � 	AG���B 
 � 
 
 
 
Diretrizes para o método da substituição: 
 
1) Decidir por uma substituição favorável I � G���D 
2) Calcular o diferencial �I � G����	��D 
3) Transformar o integrando apenas em função de I. 
4) Calcular a antiderivada envolvendo I. 
5) Substituir I por G��� na antiderivada. O resultado deve conter apenas a 
variável �. 
6) 
���G����DG������ � 	AG���B
 	�					 
��L
��!	�	�IM�1N1INOP!Q					 R 		I � G����I � G������			 
	���I�	�I � 	�I� 
 � 
Método da Substituição 
S
T�			IU�	VWNUN1NX�	�
	�Y 		� � �Y 
�1P! 
����
�
Exemplos: 
Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo: 
 ����
��(1��1 
Z I � (1			�I � (	�1 		 [ �1 � �I( 						 
��
��I�	( �I � �(��
��I��I � ��(89:�I�
 � � ��( 89:�(1�
 � 
 (��/<\	�4 
Z I � 24			�I � 2	�4 		 [ �4 � �I2 				 
	�/]		2 �I � �2�/] �I � �2 D /]���/� 
 � � /<\2	���/� 
 � 
 .��√.� 
 2	�� 
ZI � .� 
 2�I � .�� 		[ �� � �I. 				 
	�√I. 	�I � �.� I�,*�I � �.	^I7 *⁄.( ` �	
(a)I7 
 � �	(a)�.� 
 2�7 
 � 
 2���	 !���*�	�� 
R I � �*�I � (��� 		 [ ��� � �I( 			 
	� !���*�	�	�� � � 89:�I�>�I( @ �		 �(�89:�I��I � �	 �(�
��I�
 � � �( �
���*�
 � 
 %���*D �
� ;�7/ = 	�� 
b I � �7/�I � ./ �*�� 							 [ 	 �*�� �
/. �I			 
		� �
��I�/. �I	 � /. ��
��I��I � �/. !��I� 
 � � �/. !�;�7/ = 
 � 
 
����
�
1.5. Técnicas de Integração – Integração por Partes 
 
Se ���� e G��� são funções diferenciáveis, então pela regra do produto: A����D G���B� � � ����DG��� 
 	����D G���� 
Integrando ambos os lados: 
�A����	G���Bc��� � �� ����	G����� 
	�����	G������ 
����	G��� � �� ����	G����� 
	�����	G������ 
�����	G���� �� � ����	G�����G���	������� 
 
 
Esta fórmula expressa a integral dI	�X em função de outra integral, d X	�I. 
Escolhendo adequadamente I	e	�X pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 
1ª integral. Quando escolhemos as substituições para	I e para �XY em geral 
pretendemos que �X	seja o fator do integrando mais complicado que se 
sabia integrar. 
 
Exemplos: 
��	��	�
������		 
f I � ��I � ��										b
�X � �
������d�X � d �
������	X � �89:��� 																	g 		�I	�X � I	X �	�X	�I 
 
��	�
����	�� � ��D !���� ��� !����	�� � ��D !���� 
� !����	�� � 
� ��D 89:��� 
 �
���� 
 � 
 
(��WD %h �W																	 
f I � W�I � �W																			b
�X � %h�W			d �X � d %h�W	X � %h���%� 												g 				�I	�X � I	X �	�X	�I 
�WD%h �W � WD %h���%�� � %h���%� 	�W � WD %h���%� � ����%� D �%h 	�W � 
S
	I � ����	
		X � G���		�P!	�I�Oi
�	�N�
W
� NjX
N�Y 	
�1P! 
�����	G������ � ����	G��� ��G���	�������									 I � ���� g �I � � ������X � G��� g �X � G������ 				g 		�I		�X � ID X �	�X	�I 
Integração por Partes 
����
�
�WD%h �W � WD %h���%�� ����%� D %h���%�
 � �	 %h���%� >W � ����%�@ 
 � � %h�WD k��%� � ����*�%� 
 � 
 .�	�WD 
h* �W														 
f I � W�I � �W												lmn
mo �X � 
h *p 	�W� �X � �
h *p 		 �W
X � (	
h*
		g 		b 4 � W( 		[ 				�4 � �(�W�
h *p 		 �W � �
\	 �(	�4� � (	
\ � (	
h* 
�I	�X � I	X �	�X	�I 
�W	
h* �W � W	(
h *p �	�(	
h *p �W � 	(	W	
h *p �	2(
h *p 
 � � (
h *p �W� (� 
 � 
 2�	� 1	�
��21��1	 
Z I � 1�I � �1 									lmn
mo �X � �
��21��1	��X � ��
��21�	�1							
X � �89:�21�2
g		 q 	4 � 2	1				�4 � 2	�1��
��4��42 		� �89:	�4�2 �	�89:	�21�2 
�I	�X � I	X �	�X	�I 
�1	�
��21��1 � ��2 1 89:�21� � ��89:�21�2 �1 � ��2 1	 89:�21� 
 �2�89:	�21��1 
mas 
q 	4 � 2	1				�4 � 2	�1�89:�4� �1		 � �
�	�4�2 �	 �
�	�21�2 
�1	�
��21��1 � ��2 1	 89:�21� 
 �
��21��' 
 � 
 
 
%�	� k������		 
q I � ��	����I � �� 	�� 										r
�X � ��d�X � d ��	X � � 																	g 		 �I	�X � I	X �	�X	�I 
 
���	���	�� � ����� � �� �		 �� 		�� � � ����� �� 	�� � � ����� � � � �	������ � �� 
 � 
 
 
����
�
1.6. Integral Definida 
 
Seja � uma função contínua definida no intervalo E�, MH. Dividindo este 
intervalo em � subintervalos de comprimentos iguais ∆�, a área t da região 
sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da 
área dos � retângulos de comprimento ∆� e altura ���u�, assim: 
 
 
Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de 
subdivisões do intervalo. 
 
Define-se a Integral Definida de � de a para b o seguinte limite: 
� ����	��v
w
� lim�→z{���u�	∆�
�
u|�
 
Observe que: 
 
A integral definida é um número e não uma função. 
S
	���� } 0				� ~ � ~ M				
�1ã!	� ������	 } 0	v
w
�áW
�	� NU�	�!	
N�!	�� 
S
	���� ~ 0				� ~ � ~ M				
�1ã!	� ������	 ~ 0	v
w
�áW
�	�M�N�!	�!	
N�!	�� 
 
Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre a 
área sob a curva de uma função que está acima do eixo horizontal � com a 
que está abaixo do eixo �. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� ������ �	v
w
� ������ 
	� ������	v

	
w
			 !U		� € € M 
Propriedade�
� ����	��	 � 	t� � t* 
 t7
v
w
�
y=f (x) 
a b 
t� 
t* 
t7 
x 
y 
c 
t �	{���u�	∆�
�
u|�
�
��	�
�Exemplos: 
�	Calcule as integrais definidas indicadas 
��	� 
�			��7
�
 
A função ���� � 	
�	é contínua em E�	Y .H . Calculando a antiderivada de ���� e 
considerando a constante de integração nula, tem-se: 
	��� � �
�			�� � 
�					� !U		� � �� 
Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se: 
� 
�			�� � 				���‚.� �			 
� ‚.� �		7� 
7 � 
� �	
7 � 
	 ƒ �-Y.'a 
 
(�	� ��� 			&7 
� ��� 		�	&7 ���"�"� ‚'. � ���'�� ���.� � �� >'.@ �	 ���(�	 
 
 
.�	� �
�„ D ��*� �� 
Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula 
tem-se: 
Z I � �*�I � (��� 									�	�� � �I( 				 
�� 
�„ D ���� � � 
] >�I( @ � 
]( � 
�„( 
Então 
� �
�„ D ��*� �� � 
�
„( …�
* � 
*„( � 
�„( � 
<( � 
( � �
< � 
�( 
 
S
	�	�!W	 !�1N�I�	
U	E�Y MH	
			IU�	��1N�
WNX���	�
	�Y 	� � �Y 
�1P!	 
� ������vw � 		��� ‚M� � 	�M� � 	��� 
Teorema Fundamental do Cálculo 
��
�
�
2�	� �.� ���
������†
‡
 
Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula 
tem-se: 
						f	I � . � ��I � ���																			Z�X � �
�
�����X � �89:	��� 
��. � ���
������	 �	 �. � ��D ��89:���� � ���89:����D����� � 
�	��. � �� 89:��� �� 89:	��� �� � ��.� �� 89:��� � �
���� � 
� �. 89:��� 
 � !���� � �
���� � 	��� 
Então, 
� �.� ���
������ �†
‡
A�. 89:��� 
 � !���� � �
����Bˆ‡† � 
� A�.89:�/� 
 / 89:�/� � �
��/�B� A�.89:��� 
 � 89:��� � �
����B � � �. � / � �� � ��.
 � � �� � . � / 
 . � ' � / 
 �	 Encontre a área sob o gráfico da função no intervalo indicado 
 ��		���� � �*		
U		E�	Y �H 
jW
� � � �*			�� � 			 �7. ‚�� �		�‡ �7. � �7. �	�. 
 (�	���� � 89:��� 			
U		E�	Y / (⁄ H 
jW
� � � 89:�����		 �	†*‡ :e���� ‚/,(� � :e��/,(� � :e���� � � � � � �	 
 
����
�
2. Integral em relação a uma das variáveis de funções a mais de 
uma variável 
 
Seja ���Y ‰� uma função a duas variáveis � e	‰. 
 
Mantendo ‰ temporariamente constante, podemos calcular: 
 
Integral indefinida de � em relação a �: 
����Y ‰�	��	= 	��Y ‰� 
 ��‰�			�	�	pode ser função de ‰� 
 
Integral definida de � em relação a � com � variando � � � até � � M 
� ���Y ‰���vw � 		��Y ‰� ‚M� � 	�MY ‰� � 	��Y ‰� 
 
 
Mantendo � temporariamente constante, podemos calcular: 
 
Integral indefinida de � em relação a ‰: 
����Y ‰�	�‰	 � 	��Y ‰� 
 ����		��	pode ser função de �� 
Integral definida de � em relação a ‰ com ‰	variando ‰ � até ‰ � � 
� ���Y ‰��‰Š � 		��Y ‰� ‚� � 	��Y � � 	��Y �� 
 
 
Exemplos: 
 ��	��*	‰7	��	 � ‰7��*		��	 � ‰7�7. 
 	��‰�					 	 (�	��*	‰7	�‰	 � �*�‰7		�‰	 � �*‰<2 
 	����					 
 .�	�� 89:�‰���	 � 89:	�‰�� �		��	 � 89:�‰� �*( 
 	��‰�		 
 2�	�� 89:�‰��‰	 � �� 89:	�‰�		�‰	 � �	�
��‰� 
 	����		 
 
%�	� >�� 
 �	‰*@*� 	�� � � >��@*� 	�� 
 ‰*� �*� 	�� � ;���|�|� 
 ‰*�*( =‹x=2x=1 � 
�	����(� 
 (	‰*� � ;����� 
 ‰*( = � ���(�
 .‰*( 
����
�
 
'�	� >�� 
 �	‰*@
�
‡
	�‰ � ��� �‰
*
�
	
 � � ‰**
�
	�‰ � ;‰� 
�‰7
. = ‚
y=1
y=0 � 
�	>�� 
�
.@ � >
�� 
 �D �. @ 	 � . 
 �*.� 
 
-�	� ‰*�
����Œ5,* 	�� � ‰* 	� �
����Œ
5
,* 	�� � ‰* Ž� !���� ‚ x=y
3
x=pi/2 � 
� ‰*��89:�‰7�
 89:�/ (⁄ �� � �‰*89:	�‰7� 
 
?�	� ‰*	�
������ 	�‰ � �
����	� ‰*�� 	�‰ � �
���� ‰7. ‚y=xy=1‘ � 
� �
����	;�7. � �.= � �
������7 � ��. 
 
a�	� �‰		
�Œ�Œ„’“�Œ� 	�� � ‰	� 
�ŒŒ
„
’“�Œ� 	�� 
 
Calculando d 
�Œ 	�� pelo método da substituição, com ‰ temporariamente 
constante 
Z I � �‰			�I � ‰	�� 		 [ �� � �I‰ 				 
�
�Œ 	�� � �
]‰ 	�I	 � 
�Œ‰ 		 
Assim, 
� �‰		
�Œ�Œ„’“�Œ� 	�� � ‰ ;	
�Œ‰ = ‚ x=y
2
x=ln(y) � 		
�Œ ‚ x=y2x=ln(y) 
� 
Œ5 � 
’“�Œ�Œ � 
Œ5 � ‰Œ 
 
 
����
�
3. Integrais Repetidas 
 
Seja � uma função a duas variáveis contínua num retângulo ” � E�, MH • E , �H. 
Se para cada valor fixo de �, ���, ‰� for uma função integrável de ‰ podemos 
formar a integral definida: 
	� ���, ‰�Œ|Š
Œ|
	�‰ � � ���, ‰�Š

	�‰	 
O valor da integral acima depende somente do valor de �, então ela define 
uma função de �. 
 
 
Se t��� for uma função integrável em relação a � de � � � a � � M, tem-se: 
 
� t����|v
�|w
�� � � � ���, ‰�Œ|Š���
Œ|���
	�‰ ‘�|v
�|w
	�� �	� � ���, ‰�Š���
���
	�‰v
w
	�� 
 
 
Se para cada valor fixo de ‰, ���, ‰� for uma função integrável de � podemos 
formar a integral definida: 
� ���, ‰��|v
�|w
	�� � � ���, ‰�v
w
	��	 
O valor da integral acima depende somente do valor de ‰, então ela define 
uma função de ‰. 
 
 
Se t�‰� for uma função integrável em relação a ‰ de	‰ � a ‰ � �, tem-se: 
 
� t�‰�Œ|Š
Œ|
�‰ � � � ���, ‰��|v�Œ�
�|w�Œ�
	��‘Œ|Š
Œ|
	�‰ � 	� � ���, ‰�v�Œ�
w�Œ�
	��Š

	�‰ 
t��� � � ���, ‰�Š

	�‰	�
t��� � � ���, ‰�Š���
���
	�‰�
Generalizando para quando os limites 
de integração forem dependentes de ���
t�‰��
t�‰� � � ���, ‰�v
w
	��	�
t�‰� � � ���, ‰�v�Œ�
w�Œ�
	���
Generalizando para quando os limites 
de integração forem dependentes de 
‰: 
����
�
As integrais � � ���Y ‰�v�Œ�w�Œ� 	��Š 	�‰ e � � ���Y ‰�Š������ 	�‰vw 	�� são chamadas de 
integrais repetidas. 
 
Técnicas para o cálculo das integrais repetidas 
 
As integrais são calculadas na ordem que as diferenciais aparecem, ou seja, 
da esquerda para a direita. 
 
Exemplos: 
 ��	� � �*	‰7*‡ 	�‰*6� 	�� � 	� � �*	‰7*‡ 	�‰‘*6� 	�� � 	� �* � ‰7	*‡ 	�‰‘*6� 	�� � 
�	� �* ;‰<2 =‚y=2y=0‘*6� 	�� �	� �* ;(<2 � �<2 =‚y=1y=0‘*6� 	�� �	� 2	�**6� 	�� 
� 	2� 	�**6� 	�� � 2	;�7. =‹ x=2x=-1 � 2	 ;?.� ����. = � 2	 >a.@ � �( 
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$]% =‹u=1u=0 � ;
+- � 
‡- = � ;
$% � 
‡% = � 
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+- � 
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 (.%	 
 
����
�
4. Integral Dupla sobre Regiões Retangulares 
 
Seja uma função L � ���, ‰� a duas variáveis definida numa região retangular ” onde 
 ” � E�, MH • E , �H � ›��, ‰� ∈ 	œ*	|	� ~ � ~ M	
	 ~ ‰ ~ � 
 
Sejam U e	�, respectivamente, o número de subdivisões em � e ‰. Assim, o 
domínio será subdividido em U. � sub-retângulos de áreas iguais a ∆t � ∆�	∆‰. 
 
Seja ��už∗ ,‰už∗ � um ponto de um sub-domínio ”už, 1 ~ N ~ U	
	1 ~ T ~ �. A soma 
de Riemann é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se for tomado o limite deste somatório quando U	
	� → ∞ obtemos a integral 
dupla de	� sobre a região ”. 
¡���,‰�
¢
	�t �	 lim£,�→z 		{ 	{�A�už∗ , �už∗ B	∆t
�
ž|�
£
u|�
						→ 			�
��
	¤I
	!	kNUN1
	
�N�1� 
Se ���, ‰� � 0	para todo o domínio ”,	a integral dupla representa o volume 
abaixo do gráfico da função e acima do domínio ”. Se ���, ‰� € 0	em todo o 
domínio a integral dupla é negativa e seu módulo representa o volume 
acima do gráfico de � e abaixo do domínio. 
Se ���, ‰� � 1		então ¡���,‰�
¢
	�t � ¡�t
¢
	.		 
 
Assim,a integral dupla representa o volume de um cilindro de altura igual a 
1 e base ” o que corresponde à área da região ”. 
 
 
 
{	{�A�už∗ ,�už∗ B	∆t
�
ž|�
£
u|�
�
����
�
Técnicas para o cálculo da integral múlipla 
 
O Teorema de Fubini: relaciona a integral dupla com as integrais repetidas 
Determinam-se os intervalos de integração, substitui-se �t por ��	�‰ e 
calculam-se as integrais repetidas encontradas. 
Exemplos: 
 1�	Calcule a integral dupla sobre a região indicada 
 
 
¡�
���� cos�‰��t			
¢
onde 
 ” � E0, / 2⁄ H• E0, / 2⁄ H 
 
 
 
 
 
� � ����� cos�‰�Œ|†/*
Œ|‡
�‰‘�|†/*
�|‡
	�� � � �
���� � cos�‰�Œ|†/*
Œ|‡
�‰‘�|†/*
�|‡
	�� � 
� � �
���� Ž��
��‰�� ‚y=pi/2y=0 
�|†/*
�|‡
	�� � � �
����Esen�π/2� � sen�0�H�|†/*
�|‡
	�� � 
� � �
�����|†/*
�|‡
	�� � �� !����� ‹x=pi/2x=0 � �cos�/ 2⁄ �� �� cos�0�� � 1	 
Como ���, ‰� � �
����cos�‰� é sempre positiva no domínio ”, o resultado da 
integral múltipla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo 
gráfico da função ���, ‰� � �
����cos�‰� e pelos planos � � 0, � � / 2⁄ , ‰ �0	
	‰ � //2. 
 
 2�	Calcule a integral dupla sobre a região indicada 
 
 
¡�	‰*�t			
¢
onde 
 ” � E�1,0H • E0,1H 
 
 
 
 
 
� � �	‰*�|‡
�|6�
��‘Œ|�
Œ|‡
	�‰ � � ‰* � �	�|‡
�|6�
��‘Œ|�
Œ|‡
	�‰ � � ‰* ;�*2 =‹
x=0
x=-1‘
Œ|�
Œ|‡
	�‰ � 
� ‰* ;02 �
��1�*
2 =‘
Œ|�
Œ|‡
	�‰ � � �‰*2
Œ|�
Œ|‡
	�‰ � �;‰76 =‚
y=1
y=0 � �;1
7
6 � 0= � �
1
6 
����
�
Como a função é sempre negativa no domínio o módulo da integral dupla, 
ou seja, 1/6 representa o volume do sólido que está acima do gráfico da 
função e abaixo da região ”. 3�	Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide L 
 �* 
 2‰* � 16, 
os planos � � 2	e	‰ � 2, e os três planos coordenados. 
 
X!kIU
 �¡���, ‰��t			
¢
onde ���, ‰� � L � 16 � �* � 2‰* 
 
 
 
¡�16� �* � 2‰*�	�t			
¢
onde 
 ” � E0,2H • E0,2H 
 
 
 
 
� � �16� �* � 2‰*��|*
�|‡
��‘Œ|*
Œ|‡
	�‰ � � � ;16�	 � �73 � 2‰*�=
�|*
�|‡
‹x=2x=0‘
Œ|*
Œ|‡
	�‰ � 
� � >32	� 83� 4‰*@
Œ|*
Œ|‡
	�‰ � � >883 	� 4‰*@
Œ|*
Œ|‡
	�‰ � ;88‰3 �
4‰7
3 =‚
y=2
y=0 � 
� >1763 �
32
3 @ � �0� 0� �
144
3 � 48		u. v. 
 
 
4) Encontre a área de um círculo de raio R 
áW
� � ¡	�t	
¢
 
	�t � W	�¨	�W 
” � ›�W, ¨�|	0 ~ W ~ ”	, 0 ~ ¨ ~ 2/	 
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