119_AP3-MetDet-2008-1-gab[1]

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do 
Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Resolução da Terceira Avaliação Presencial – AP3 
 
1ª Questão (2,0 pts) 
 
 U 
 A B C D 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que: n (U) = 100, n (A) = 30, n (B) = 20, n (C) = 15, n (A∪∪∪∪B) = 40, 
n (C∪∪∪∪D) = 35 e n (A∩∩∩∩B) = 2.n(C∩∩∩∩D). 
Determine: 
(a) n(A∩∩∩∩B) 
(b) n(D) 
(c) n(U – (A∪∪∪∪B∪∪∪∪C∪∪∪∪D)) 
 
Solução: 
(a) Como n (A∪∪∪∪B) = n (A) + n (B) - n(A∩∩∩∩B), 40 = 30 + 20 - n(A∩∩∩∩B). Logo, 
n(A∩∩∩∩B) = 10. 
(b) Da equação n (A∩∩∩∩B) = 2.n(C∩∩∩∩D), concluímos que n(C∩∩∩∩D) = 5. 
 
 Preenchendo o diagrama: 
 
 U 
 A B C D 
 20 10 10 10 5 20 
 
 
 
 
Concluímos que n(D) = 20. 
(b) Como n (A∪∪∪∪B) = 40 e n (C∪∪∪∪D) = 35 e são uniões disjuntas, temos que 
n(U – (A∪∪∪∪B∪∪∪∪C∪∪∪∪D)) = 100 – 75 = 25. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pts) 
 
(a) Esboce o gráfico da função 



≥+−
<+
=
254
21)( 2 xsexx
xsex
xf . 
(b) Calcule, se existirem, )(lim)(lim),(lim
222
xfexfxf
xxx →→→ −+
. 
(c) f é contínua em x = 2? Justifique sua resposta. 
 
Solução: 
 (a) O gráfico é dado por: 
 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
 
 
(b) 
3)1(lim)(lim
1)54(lim)(lim
22
2
22
=+=
=+−=
−−
++
→→
→→
xxf
xxxf
xx
xx
 → o limite )(lim
2
xf
x→
 não existe. 
(c) Podemos concluir pelo gráfico ou pelos limites acima que f é não é 
contínua em x = 2. 
 
3ª Questão (2,0 pts) 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 
1
1
+
−
x
x
 em 
00 =x . 
Solução: 
O coeficiente da reta tangente ao gráfico no ponto ( ))0(,0 f é dado por )0('f . 
Para calcular a derivada da função, temos que utilizar a regra do quociente: 
1
1)(
+
−
=
x
x
xf 
.)1(
2
)1(
11
)1(
1).1()1.(1)´(
1)('1)('
1)(1)(
222 +
=
+
+−+
=
+
−−+
=
==
+=−=
xx
xx
x
xx
xf
xvxu
xxvxxu
 
De 2
1
2
)10(
2)0(' 2 ==+=f vem que o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto (0 , -1) é 2. 
Assim a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 
1
1
+
−
x
x
 em 00 =x 
é 12)( −= xxy . 
 
4ª Questão (2,0 pts) 
Considere a função 2012
2
7
3
)( 2
3
++−= xx
x
xf .Determine: 
a) A derivada primeira. 
b) A derivada segunda. 
c) Os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f, 
fazendo o estudo do sinal da derivada primeira. 
d) Os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para cima e os 
intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para baixo, fazendo 
o estudo do sinal da derivada segunda. 
e) Máximos, mínimos e ponto de inflexão, se houver. 
 
Solução: 
O domínio da função 2012
2
7
3
)( 2
3
++−= xx
x
xf é ).,( +∞−∞=ℜ 
a) )3).(4(12701.122.
2
7
3
.3)´( 2
2
−−=+−=++−= xxxxx
x
xf . 
 
b) 72)´´( −= xxf . 
 
c) Pontos críticos: f ´(x) = 0 → (x-3).(x-4) =0 → x = 3 ou x = 4. 
 -∞ 3 4 +∞ 
f´(x)=x2-7x+12 + - + 
f (x) ↑ ↓ ↑ 
 
Logo, do estudo do sinal acima podemos concluir que: 
f é crescente em (-∞ , 3) ∪ (4 , ∞) e f é decrescente em (3 , 4). 
 
d) Estudo do sinal da segunda derivada: 
5,3
2
70)´´(
72)´´(
==⇔=
−=
xxf
xxf
 
 
 - ∞ 3,5 +∞ 
f ’’(x) = 2x-7 - + 
f (x) ∩ ∪ 
 
A função é côncava no intervalo (- ∞ , 3.5) e a função é convexa no intervalo 
(3.5 , +∞). 
 
e) f possui um ponto de inflexão em (3.5 , f (3.5)) = (3.5 , 33.4166). 
 f possui um máximo local em x = 3, dado por f (3) = 5.332
67
=
. 
 f possui um mínimo local em x = 4, dado por f (4) = 3.333
100
=
. 
 
5ª Questão (2,0 pts) 
a) Resolva a integral definida ( )∫
1
0
32-t dt . 
b) Resolva a integral indefinida ∫ xdxln , para x > 0. 
Solução: 
 
a) Para resolver vamos fazer uma substituição de variáveis: 
dtdu
dt
du
ttu
=↔=
−=
1
2)(
. 
Fazendo a substituição de variáveis na integral obtemos: 
 
.
4
)2(
4
)2(
44
33
∫ ∫ +
−
=+==− CtCuduudtt 
( )
4
15
4
16
4
1
4
)20(
4
)21(
4
)2(2-t
441
0
41
0
3
−=−=
−
−
−
=

−
=∫
tdt . 
 
b) Para resolver a integral indefinida ∫ xdxln vamos utilizar a técnica de 
integração por partes: ∫∫ −= vduvudvu .. . Sejam, 
 
dx
x
du
xdx
du
xxxu
11
0,ln)(
=↔=
>=
 
dxdv
dx
dv
xxv
=↔=
=
1
)(
 
Assim, CxxCxxxdxxxdx
x
xxxxdx +−=+−=−=−= ∫ ∫∫ )1(lnlnln
1
.lnln .