AP3 2012 2 Gabarito

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CEDERJ
ME´TODOS DETERMINI´STICOS 1 - AP3 - 2012.2
Questa˜o 1 (2 pontos). Resolva o sistema:


2y + x2 + 6x = −5
−9x+ 6y = 39
Soluc¸a˜o: Dividindo por 3 a segunda equac¸a˜o obtemos −3x + 2y = 13. Vamos subtrair
esta equac¸a˜o da primeira para eliminar y. Ficamos com x2 + 6x + 3x = −5 − 13, isto e´,
x2 + 9x = −18, ou ainda, x2 + 9x+ 18 = 0. Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau (por
Bhaskara ou pela fo´rmula da soma e do produto das ra´ızes), obtemos como ra´ızes x1 = −3
e x2 = −6. Para resolver o sistema ainda temos que encontrar os valores de y e montar
os pares ordenados da resposta. Sabemos que 2y = 13 + 3x, enta˜o, para x1 = −3 temos
2y1 = 13− 9 = 4, donde y1 = 2; para x2 = −6 temos 2y2 = 13− 18 = −5, isto e´, y2 = −2, 5.
Logo as soluc¸o˜es do sistema sa˜o (x1, y1) = (−3, 2) e (x2, y2) = (−6,−2, 5).
Questa˜o 2 (2 pontos). Responda aos itens abaixo.
a) Encontre o conjunto dos valores de x que satisfazem |3x− 9| − 5 > 10;
Soluc¸a˜o: |3x− 9| − 5 > 10⇔ |3x− 9| > 15, o que ocorre quando temos uma das duas
opc¸o˜es: 3x − 9 > 15 ou 3x − 9 < −15. No primeiro caso, segue que 3x > 24, isto
e´, x > 8. Ja´ no segundo caso, temos que 3x < −6, donde conclu´ımos que x < −2.
Logo o conjunto S dos valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o modular dada e´ S =
(−∞,−2) ∪ (8,∞).
b) Resolva a expressa˜o:
√
80÷
√
5−
(
−1
5
)
13
÷
(
−1
5
)
12
(
−1
5
)
−3
1
Soluc¸a˜o:
√
80÷
√
5−
(
−1
5
)
13
÷
(
−1
5
)
12
(
−1
5
)
−3
=
√
80√
5
−
(
− 1
513
)
÷
(
+
1
512
)(
−1
5
)
−3
=
√
80
5
−
(
− 1
513
)
× 5
12
1
(
−1
5
)
−3
=
√
16−
(
−1
5
)(
−5
1
)
3
= 4− 1
5
× 53
= 4− 25 = −21
Questa˜o 3 (3 pontos). Leia atentamento o trecho a seguir, adaptado do site de not´ıcias G1
em 22/10/2012:
“O pagamento do 13o sala´rio devera´ injetar cerca de R$ 131 bilho˜es na economia
brasileira ate´ dezembro, segundo aponta levantamento do Departamento Intersindical
de Estat´ıstica e Estudos Socioeconoˆmicos (Dieese) divulgado nesta segunda-feira (22).
O valor representa perto de 3% do Produto Interno Bruto (PIB) do pa´ıs e sera´ pago
a 80 milho˜es de pessoas, entre trabalhadores do mercado formal, inclusive empregados
dome´sticos, segurados da Prevideˆncia Social e aposentados e beneficia´rios de pensa˜o
da Unia˜o e dos estados.
Do montante que sera´ pago, perto de 20% (R$ 26 bilho˜es) ira˜o para os beneficia´rios
do INSS; outros R$ 93 bilho˜es (71%) sera˜o para os empregados formalizados; R$ 6,4
bilho˜es (4,9%) para aposentados e pensionistas da Unia˜o e R$ 5,3 bilho˜es (4,1%) para
os aposentados e pensionistas dos Estados.
A quantidade de pessoas que recebera˜o o 13o sala´rio e´ aproximadamente 2,5% acima
2
do calculado em 2011. [...]
A economia do Estado de Sa˜o Paulo devera´ receber cerca de R$ 39,4 bilho˜es em 13o
sala´rio, aproximadamente 30% do total do Brasil e 60% da regia˜o Sudeste. Esse mon-
tante representa em torno de 2,7% do PIB estadual.”
A partir das informac¸o˜es dadas no texto, responda aos itens a seguir.
a) Estime o PIB nacional.
Soluc¸a˜o: Conforme relatado na not´ıcia, os 131 bilho˜es correspondem a aproximada-
mente 3% do PIB nacional (que chamaremos de P ). Logo,
0, 03P = 131 bilho˜es
donde conclu´ımos que P = 131/0, 03 bilho˜es, isto e´, de acordo com a not´ıcia, o PIB
nacional e´ de aproximadamente 4 trilho˜es e 367 bilho˜es de reais.
b) Estime a quantidade de pessoas que receberam o 13o sala´rio em 2011.
Soluc¸a˜o: E´ relatado que 80 milho˜es de pessoas recebera˜o o de´cimo terceiro e que a
quantidade de pessoas que recebera˜o este sala´rio e´ aproximadamente 2,5% acima da
quantidade calculada em 2011 (que chamaremos de x). Logo,
1, 025x = 80 milho˜es
donde conclu´ımos que x = 80/1, 025 milho˜es, isto e´, aproximadamente 78 milho˜es de
pessoas receberam o de´cimo terceiro em 2011.
c) Estime a que porcentagem do PIB nacional corresponde o PIB da regia˜o Sudeste.
ATENC¸A˜O: Este enunciado conte´m um erro - onde esta´ escrito PIB deveria estar
escrito de´cimo terceiro. Devido a esta incorrec¸a˜o todos os alunos que fizeram a prova
recebera˜o o ponto relativo a este item.
3
Soluc¸a˜o: Observe que a parcela do de´cimo terceiro destinada a Sa˜o Paulo corresponde
ao mesmo tempo a 30% do total do de´cimo terceiro do Brasil (que chamaremos de de
B) e a 60% do de´cimo terceiro do Sudeste (que chamaremos de S). Logo temos que:
0, 3B = 0, 6S
Da´ı, conclu´ımos que
S =
0, 3
0, 6
B = B/2 = 0, 5B
, isto e´, o total em de´cimo terceiro pago no Sudeste corresponde a 50% do total nacional.
Questa˜o 4 (2 pontos). Em uma not´ıcia do site G1 de 22/10/2012, sobre o faturamento de
micro e pequenas empresas (MPEs), declara-se que: “De acordo com a pesquisa Indicadores
Sebrae-SP, as MPEs paulistas faturaram R$ 46 bilho˜es em agosto [de 2012], [...] R$ 4 bilho˜es
acima do resultado de agosto de 2011.”.
Considerando que a varia´vel x represente o nu´mero de meses passados desde agosto de
2011 e a varia´vel y represente o faturamento mensal das MPEs paulistas em milho˜es de reais
(x meses apo´s agosto de 2011), se aproxima´ssemos este faturamento mensal por uma func¸a˜o
afim tomando por base os faturamentos de agosto de 2011 e agosto de 2012, ter´ıamos o
seguinte gra´fico:
4
Utilizando os dados apresentados no enunciado:
a) Encontre a fo´rmula da func¸a˜o afim representada no gra´fico acima;
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de f(x) a func¸a˜o que buscamos, onde x e´ o nu´mero de meses
transcorridos apo´s agosto de 2011 e f(x) e´ o faturamento em bilho˜es. Como trata-se
de uma func¸a˜o afim, sua fo´rmula deve ser f(x) = ax+ b para paraˆmetros a e b a serem
determinados.
Em agosto de 2011, quando x = 0, segundo a not´ıcia, o faturamento foi de 42 bilho˜es
(4 bilho˜es a menos que os 46 bilho˜es de agosto de 2012), isto e´, f(0) = 42. Logo,
a× 0 + b = 42, isto e´, b = 42.
Ja´ em agosto de 2012, quando x = 12, segundo a not´ıcia, o faturamento foi de 46
bilho˜es, isto e´, f(12) = 46. Logo, a× 12 + 42 = 46, isto e´, 12a = 4, donde conclu´ımos
que a = 1/3.
Logo,
f(x) =
x
3
+ 42
b) De acordo com o modelo linear apresentado (func¸a˜o afim), fac¸a uma previsa˜o para o
faturamento das MPEs paulistas em maio de 2013.
Soluc¸a˜o: Ja´ temos a fo´rmula da func¸a˜o. Precisamos descobrir a que valor x corresponde
o meˆs maio de 2013. Contando o nu´mero de meses transcorridos desde agosto de 2011,
verificamos que maio/2013 correspondera´ a x = 21. Usando a fo´rmula obtida demos
que
f(21) =
21
3
+ 42 = 7 + 42 = 49
Logo, segundo nosso modelo linear, a previsa˜o para maio de 2013 e´ de um faturamento
de 49 bilho˜es.
5
c) Ainda segundo o modelo linear apresentado, quantos meses devem se passar (contando
a partir de agosto de 2011) para que o faturamento mensal das MPEs paulistas atinja
a marca de R$ 60 bilho˜es?
Soluc¸a˜o: Para calcular quantos meses se passara˜o ate´ que seja atingida a marca de 60
bilho˜es, devemos descobrir para que valor de x temos f(x) = 60. A partir da fo´rmula
de f vemos que:
x
3
+ 42 = 60⇔ x
3
= 18⇔ x = 54
Logo, de acordo com nosso modelo linear, o faturamento mensal das MPEs paulistas
chegara´ a 60 bilho˜es de reais passados 54 meses (ou quatro anos e meio) de agosto de
2011.
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