Introdução às Equações Diferenciais (versão julho 2013)

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Introdução às Equações Diferenciais 
− Um roteiro para estudos − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luiz Fernando Provenzano − UFMT − Versão julho/2013 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
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Índice 
 
Equações Diferenciais - Um Pouco de História ......................................................................................... 3 
A Natureza das Equações Diferenciais ......................................................................................................... 8 
Definição e Notações ...................................................................................................................................... 8 
Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial.................................................................................11 
Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial..........................................12 
Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno ..............................................13 
Teorema de Existência e Unicidade........................................................................................................14 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau ..................................................................18 
Classificação.....................................................................................................................................................18 
1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ...........................................................18 
Sobre a Curva Tractriz ............................................................................................................................20 
2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas.................................................................................21 
3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis 
Separáveis....................................................................................................................................................25 
4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas..............................................................................................27 
Fator Integrante ........................................................................................................................................30 
Pesquisa de um Fator Integrante........................................................................................................30 
5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares..........................................................................................32 
Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau............35 
Exercícios Gerais de Aplicações ..........................................................................................................41 
Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem...........................................................................................45 
Superior à Primeira ...........................................................................................................................................45 
Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem .................................................................45 
Problema de Perseguição (Uma aplicação) ...................................................................................49 
Equações Diferenciais Lineares de Ordem N ......................................................................................54 
Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas de Coeficientes Constantes ..55 
Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas de Coeficientes 
Constantes ........................................................................................................................................................60 
Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes)............................................60 
Família de uma função ............................................................................................................................60 
Construção de uma Solução Particular Experimental (yp) .......................................................61 
Método da Variação dos Parâmetros .....................................................................................................67 
Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes 
Constantes ........................................................................................................................................................73 
Vibrações Mecânicas e Elétricas .........................................................................................................73 
Sistemas de Equações Diferenciais..............................................................................................................82 
Aplicações de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares ..............................................................87 
Noções de Equações Diferenciais Parciais................................................................................................92 
Sobre a Resolução..........................................................................................................................................93 
Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada. ............94 
O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis ............................96 
Anexos.................................................................................................................................................................. 100 
Fórmulas Básicas............................................................................................................................................. 101 
Sistemas de Unidades .................................................................................................................................... 104 
Bibliografia......................................................................................................................................................... 105 
 
 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 3 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais - Um Pouco de História 
 
 
De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise e do 
cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. 
Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de 
graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências 
físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações 
diferenciais são importantes em ambas: a matemática pura e a aplicada. A história sobre 
este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui. 
 Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de 
um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa e 
termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu 
desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes 
de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise 
necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois 
de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à 
perspectiva do século XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas 
uma pessoa. 
Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma 
pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas,na teoria e nas aplicações. 
 A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A 
partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e 
notação para a derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, 
logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As 
manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A 
integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu 
ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito 
especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e 
generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram 
estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas 
para aqueles que os seguiram. 
Ao redor do início do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações 
diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e 
ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações 
diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento 
desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da 
catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais 
estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas 
aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de 
um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi 
provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de 
mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações 
diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério 
Para ganhar conhecimento, adicione algo todos os dias. 
Para ganhar sabedoria, elimine algo todos os dias. 
 Lao-Tsé (1324 a.C. - 1408 a.C.) 
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de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos 
especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, 
todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries 
para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para 
vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou 
um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das 
equações diferenciais. No início do século XVIII, este e muitos outros matemáticos 
tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas 
variedades de equações diferenciais. Contudo, muitas equações ainda eram 
desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinqüenta anos de 
equações diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria geral. 
O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para 
consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas 
para atacar grandes famílias de equações. Muitas equações pareciam amigáveis, mas 
tornaram-se decepcionantemente difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções 
iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das 
equações diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para 
seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler entendeu o 
papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidamente 
achou que funções eram a chave para entender equações diferenciais e desenvolver 
métodos para suas resoluções. Usando seu conhecimento de funções, desenvolveu 
procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as 
propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e de 
muitas outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções novas 
baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações diferenciais. Suas 
técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas 
fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o método de 
variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas 
e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas 
para quase todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica 
que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um mestre que este 
assunto necessitava para se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se um 
assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna. 
Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas 
das idéias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a 
estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O 
trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e 
explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange 
seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados 
em mecânica, especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e 
energia potencial. As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na 
definição de função e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos 
e analisar novas famílias de equações diferenciais. Lagrange foi provavelmente o 
primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser um 
verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788, ele introduziu equações gerais 
de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. 
O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços, 
incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento de integração. Em 
1799, introduziu as idéias de um laplaciano de uma função. Laplace claramente 
reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é 
nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo 
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movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como 
resistência do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. 
Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muito dos 
avanços, desde os tempos de Euler, ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi 
resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O próximo na 
ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da 
difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em 
The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele 
fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta 
importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria 
matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel 
Bernoulli, e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota 
diferente. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença 
que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações. 
O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do século XIX, 
quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os 
dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gausse Cauchy. Gauss usou 
equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. 
Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemática. 
Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave 
para entender muitos dos resultados importantes das equações diferenciais aplicadas. 
Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a 
superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Inventou 
o método das características, o qual é importante na análise e solução de várias 
equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idéias 
de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise 
rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma 
teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier 
para prover soluções algébricas para equações diferenciais. 
Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar 
estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de 
Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou seu 
conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica, incluindo 
elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de 
equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de 
Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi 
publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to 
Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual Thomson, 
Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era 
um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à 
astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações 
planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver equações 
diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy 
enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do 
calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo 
equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da 
década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções 
elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. As 
investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinâmica, elasticidade, 
luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações 
diferenciais em todos os campos de estudo. 
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Na metade do século XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar 
sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro. 
Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta 
poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura do 
jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e 
um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou com 
determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley era um 
amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade 
Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas 
áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a noção de matrizes 
em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Josiah 
Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu 
trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido como o pai da 
análise vetorial. 
À medida que o final do século XIX se aproximava, os principais esforços em 
equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832--
1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de 
primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de 
equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas 
básicas foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funções 
trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou que a 
equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu 
trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram 
posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras 
equações diferenciais. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. 
Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. 
Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. O trabalho 
de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física. 
No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o 
"fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi 
Kovalevsky, a maior matemática antes do século XX. Depois de vencer dificuldades 
consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade de 
estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre 
equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se 
apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de 
Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central 
sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre 
equações diferenciais parciais. Posteriormente, no século XX, trabalhos teóricos de 
Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações 
para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famílias de equações 
diferenciais. 
O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e 
eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações 
diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos 
ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos 
pensaram que fosse matemático, e fez tanta física que os matemáticos pensaram que 
fosse físico. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para 
resolver equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é 
lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios 
em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do século XX, 
muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos para 
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equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes para 
sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant 
e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço. 
Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior 
matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre física matemática 
e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações 
diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo 
americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa 
de equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram as 
sementes de novas maneirasde pensar, as quais floresceram, tais como análise de 
séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e contribuiu 
em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, geometria e teoria de 
números. Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi, 
provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século XX, George Birkhoff 
usou as idéias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma 
teoria para a análise das propriedades das soluções destas equações. Na década de 
1980, a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e seus 
seguidores. 
 
 
Fonte: 
 
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm 
em setembro de 2008. 
 
 
...................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Provenzano, Luiz Fernando 
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A Natureza das Equações Diferenciais 
 
 
 
 Muitas das leis gerais da natureza, na física, na química, na biologia, na 
astronomia encontram a sua expressão mais natural na linguagem das equações 
diferenciais. Aplicações também surgem na matemática em si, especialmente na 
geometria, na engenharia, na economia, e em muitos outros campos da ciência 
aplicada. 
 É fácil de entender as razões que estão por detrás desta grande utilização de 
equações diferenciais. Para tanto, é bom relembrar que se ( )y f x= é uma dada função, 
então a sua derivada dy
dx
 pode ser interpretada como a taxa (ou razão) de variação de y 
em relação a x . 
Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação 
estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que 
governam o processo. Quando esta relação é expressa em símbolos matemáticos, o 
resultado é freqüentemente uma equação diferencial. 
Para ilustrar estas observações vejamos o exemplo que se segue. 
De acordo com a Segunda Lei de Newton do movimento, a aceleração a de um 
corpo de massa m é proporcional à força total F agindo sobre ele, com 1
m
 como a 
constante de proporcionalidade, assim, Fa
m
= ou .m a F= (1) 
Suponhamos, por hipótese, que um corpo de massa m cai livremente sobre a 
influência da gravidade. Nesse caso a única força que age sobre ele é m.g onde g é a 
aceleração devido à gravidade. Se y(t) é a distância abaixo do corpo para alguma altura 
fixada, então sua aceleração é 
2
2
d y
dt
, e (1) torna-se 
2
2 .
d y
m m g
dt
= ou 
2
2
d y g
dt
= (2) 
Se nós alterarmos a situação assumindo que o ar exerce uma 
força de resistência proporcional à velocidade, então a força total 
exercida sobre o corpo é . dym g k
dt
− e (1) torna-se 
 
2
2 .
d y dy
m m g k
dtdt
= − ou 
2
2 .
d y dy
m k m g
dtdt
+ = (3) 
As equações (2) e (3) são as equações diferenciais que 
expressam as atribuições essenciais dos processos físicos considerados. 
 
Definição e Notações 
 
Definição: Uma equação envolvendo as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais 
variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada 
de equação diferencial. 
 
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Exemplos: 
1. 13 −= x
dx
dy
 ; 6. ( ) ( ) xyyyyy 5''3'' 35 =++ ; 
2. 0.. =− dxydyx ; 7. yx
dt
dy
dt
dx
+=+ 2 ; 
3. 0652
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
 ; 8. 2
11
'
x
y
x
y =+ ; 
4. 12
2
2
2
=





+
dx
dy
dx
yd
e y ; 9. u v
y x
∂ ∂
= −
∂ ∂
 ; 
5. 
32
2
2 4. . 8. 0
d s ds
t s s
dtdt
 
− + = 
 
 ; 10. 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
 . 
Observação: A notação de Leibniz 
dx
dy
, 2
2
dx
yd
, 3
3
dx
yd
, ... ,
x
w
∂
∂
, 2
2
y
z
∂
∂
, ... , nos parece ser 
mais vantajosa sobre a notação ''' ,'' ,' yyy , ... , pois, explicita claramente as variáveis 
dependentes e as independentes. 
 
Ordem de uma Equação Diferencial 
 
 A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada de mais 
alta ordem que nela aparece. 
 
Grau de uma Equação Diferencial 
 
 O grau de uma equação diferencial, admitindo-se a mesma escrita na forma 
racional inteira em relação às derivadas, é dado pelo grau da derivada de mais alta 
ordem que nela aparece, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a 
derivada de mais alta ordem contida na equação. 
Exemplo: 1
3
33
3
=−
dx
yd
y
dx
yd
 ⇒ 3
32
3
3
dx
ydy
dx
yd
=−





 ⇒ 3a ordem e 2o grau. 
Preencha o quadro abaixo, com respeito à ordem e o grau, dos dez exemplos 
apresentados anteriormente: 
 
 
Exemplo Ordem Grau Exemplo Ordem Grau 
1 6 
2 7 
3 8 
4 9 
5 10 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 10 
 Classificação das Equações Diferenciais 
 
 As equações diferenciais são classificadas em: 
a) Equações Diferenciais Ordinárias: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) 
depende(m) de uma única variável, e portanto, só apresentam derivadas ordinárias 
(os oito primeiros exemplos); 
b) Equações Diferenciais Parciais: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) 
depende(m) de mais uma variável, e portanto, as derivadas são parciais (os dois 
últimos exemplos). 
 
Resolução de uma Equação Diferencial 
 
Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que 
substituídas conjuntamente com as suas derivadas na equação diferencial dada, a 
verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções, primitivas ou integrais da 
equação. 
Exemplos: 
 
1) A função xsencxcy cos 21 += , onde ∈21 , cc ℜ, são ditas constantes arbitrárias, é 
solução da equação diferencial 02
2
=+ y
dx
yd
 , pois, 
xcxsenc
dx
dy
 cos 21 +−= e xsencxcdx
yd
 cos 212
2
−−= . 
Substituindo na equação diferencial dada vem, 
 0 cos cos
?
2121 =++−− xsencxcxsencxc 
 00 = (Verdade → a igualdade se verificou). 
 
 
2) A função 22 yxz += é solução da equação diferencial 0=
∂
∂
−
∂
∂
y
z
x
x
zy , pois, 
x
x
z 2=
∂
∂
 e y
y
z 2=
∂
∂
. Substituindo estas derivadas parciais na equação dada vem, 
 022
?
=− xyxy 
 00 = (Verdade). 
 
 
3) Já a função 2xy = não é solução da equação diferencial 32 += x
dx
dy
, pois, 
x
dx
dy 2= e substituindo na equação diferencial dada vem, 322 +≠ xx . Logo, não se 
verificou a igualdade. 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
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Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial 
 
 Uma equação diferencial pode ser abordada de três maneiras diferentes: a 
analítica, a qualitativa e a numérica. 
 A forma analítica é aquela tradicional onde a solução, uma função explícita ou 
implícita, é encontradapelo uso direto do cálculo diferencial e integral. Num primeiro 
curso de Equações Diferenciais, geralmente, é dado prioridade a este processo 
analítico na busca da solução de uma equação diferencial. 
Aqui, já começa a ficar claro que por este processo analítico não é sempre 
possível encontrar a solução de todas as equações diferenciais, pois com já sabemos, 
existem muitas funções que não são integráveis. 
 Já pelo processo qualitativo, discute-se o comportamento das soluções e os 
aspectos das curvas integrais descritos por meio de campos de direções, isto é, 
graficamente. Este procedimento, no estudo das equações diferenciais ordinárias de 1a 
ordem, não envolve cálculos complicados e é baseado na interpretação da derivada. 
 Finalmente, na abordagem numérica, métodos numéricos são utilizados para 
aproximar soluções de problemas de valor inicial de equações diferenciais de 1a ordem. 
 No caso das equações diferenciais ordinárias, a solução analítica pode ser dos 
seguintes tipos: 
a) Solução Geral: É uma solução que contém tantas constantes arbitrárias essenciais 
quantas forem as unidades da ordem da equação considerada. 
Exemplo: xsencxcy cos 21 += (onde ∈21 , cc ℜ) é solução geral da equação 
diferencial 
02
2
=+ y
dx
yd
, pois, o número de constantes arbitrárias essenciais é 2, igual às unidades 
da ordem da equação diferencial considerada. 
b) Solução Particular: É a solução que se obtém atribuindo-se valores particulares às 
constantes arbitrárias, que figuram na solução geral. 
Exemplo: xy cos= é uma solução particular da equação 02
2
=+ y
dx
yd
 ,pois, é uma 
solução obtida da solução geral acima, quando 11 =c e .02 =c 
c) Solução Singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não 
pode ser obtida da solução geral. Também são chamadas de soluções perdidas. 
Sendo assim, apenas alguns tipos de equações diferenciais apresentam essa 
solução. 
Exemplo: Seja a equação de Clairaut 





−=
dx
dy
dx
dy
xy ln . Ela possui solução geral 
dada por cxcy ln. −= e solução singular dada por xy ln1+= (verifique!). É fácil notar 
que a solução singular não pode ser obtida da solução geral. 
 No caso das equações diferenciais parciais as soluções analíticas são dos 
seguintes tipos: 
a) Solução Geral: É uma solução que contém funções arbitrárias. 
Exemplo: Dada a equação diferencial parcial 0=
∂
∂
−
∂
∂
y
z
x
x
zy , a função arbitrária 
)( 22 yxfz += é solução geral da equação diferencial, pois, f é uma função de 
argumento 2 2u x y= + , isto é, )(ufz = , sendo 22 yxu += , e derivando z em relação a 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 12 
x e a y, tem-se xuf
x
z 2).('=
∂
∂
 e yuf
y
z 2).('=
∂
∂
. Substituindo-se na equação 
diferencial dada vem, 
02).('2).('.
?
=− yuxfxufy ∴ 00 = (Verdade). 
b) Solução Completa: É uma solução que contém constantes arbitrárias. 
Exemplo: Dada a equação diferencial parcial 
y
z
x
z
y
zy
x
z
xz
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= . , 
a função baybxaz ... ++= , onde a e b são constantes arbitrárias, é solução completa 
da equação dada (Verifique). 
c) Solução Particular: É a solução obtida da solução completa, atribuindo-se valores às 
constantes arbitrárias. 
Assim, uma das mais importantes diferenças entre as soluções das equações 
diferenciais ordinárias e as soluções das equações diferenciais parciais, é aquela que, 
enquanto a solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n contém n 
constantes arbitrárias de integração, a solução geral de uma equação diferencial parcial 
contém funções arbitrárias. 
Outra particularidade que existe, é de que nem sempre o número de funções 
arbitrárias ou de constantes arbitrárias traduz a ordem da equação diferencial parcial. 
 
 
 Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial 
 
 
 Sob o ponto de vista geométrico a solução geral de uma equação diferencial 
ordinária representa uma família de curvas. Estas curvas chamam-se curvas integrais. 
Uma solução particular é representada por uma curva desta família. 
Exemplo: Seja a equação diferencial x
dx
dy 2= , cuja solução geral é dada por 
 cxy += 2 . 
Esta solução geral nada mais é do que uma Família de Parábolas, todas de 
concavidade voltada para cima e simétricas em relação ao eixo y, conforme mostra a 
figura abaixo, para alguns valores de .3 , 5,1 ,1 ,0 ,1 , 54321 ====−= cccccc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 13 
Observação: Existem infinitas parábolas nesta família, onde cada uma delas 
representa uma solução particular (uma para cada determinado valor de 
∈c ℜ). 
 
Exemplos: 
 
1) Verifique se 321 ).( cexccy x ++= é solução da equação diferencial 
02 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
. 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dado cxxy +−=
2
3 2
 determine a equação diferencial de menor ordem possível 
que não contenha nenhuma constante arbitrária. 
 Solução: 
 
 
 
3) Dado xsencxcy 2 2 cos 21 += determine a equação diferencial de menor ordem 
possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. 
 Solução: 
 
 
 
 
Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno 
 
Na resolução de equações diferenciais, estamos interessados não somente nas 
suas soluções gerais, mas também naquelas soluções que satisfazem certas 
condições. 
Aqui trataremos daquelas condições que são conhecidas como condições 
iniciais e condições de fronteira (contorno) de equações diferenciais ordinárias. 
 Uma condição inicial é uma condição, na solução de uma equação diferencial, 
em um único ponto; condições de fronteira (contorno) são condições, na solução de 
uma equação diferencial, em dois ou mais pontos. 
 A equação diferencial com condição inicial será chamada de um Problema de 
Valor Inicial; aquela que envolve suas condições de fronteira (contorno) será chamada 
de um Problema de Valores de Fronteira (contorno). 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 14 
Exemplos de Problemas de Valor Inicial: a) 




=
=
2)0(y
ky
dx
dy
 , 
 b) 





=
=
=−−
3)0('
0)0(
0.2'''
y
y
yyy
 
 
Exemplo de Problema de Valores de Fronteira (Contorno): 
2
2 4. 0
(0) 1
' 2
2
d y y
dx
y
y pi

+ =

=

  = 
  
 
 
Teorema de Existência e Unicidade 
 
É sempre importante ter-se alguns teoremas básicos que nos habilitem a 
determinar se uma dada equação diferencial com condições iniciais tem ou não uma 
solução única. 
 Afortunadamente, existem teoremas que nos ajudarão (nem sempre) a 
responder estas questões. Aqui nós abordaremos os Teoremas da Existência para 
equações diferenciais ordinárias de 1a
 
e 2a ordem, sem nos preocuparmos com as 
demonstrações dos mesmos. 
 Os teoremas a seguir apresentam as condições suficientes para a garantia da 
existência e unicidade de soluções. 
 
Teorema 1: Sejam as funções f e 
y
f
∂
∂
 contínuas num domínio D do plano xy contendo 
o ponto (xo , yo). Então, existe um intervalo Io : 0x x h− < , (h>0) [ou xo – h < x < xo + h ], 
no qual há uma solução única , y = y(x), satisfazendo a equação diferencial ),( yxf
dx
dy
= 
e a condição inicial y(xo) = yo. 
 As condições de continudade das funções f e 
yf
∂
∂
 são fáceis de serem 
verificadas mas, em geral, não é possível determinar um intervalo específico Io no qual 
uma solução está definida sem realmente resolver a equação diferencial. Este teorema 
estabelece apenas a existência local de solução. 
 
 
Exemplo: Dado o problema de valor inicial 2.
(1) 1
dy
x
dx
y

=

 =
 
Seja uma região D (cinza) no plano xy que contém o Fig.I 
ponto 0 0( , ) (1,1)x y = . Como ( , ) 2.f x y x= e 0
f
y
∂
=
∂
 são 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 15 
contínuas em D , existe algum intervalo Io : 1x h− < , (h>0), no qual há uma solução 
única 2( )y x= , satisfazendo a equação diferencial 2.dy x
dx
= e a condição inicial (1) 1y = 
(Fig.I). 
 
Teorema 2: Sejam as funções f, 
y
f
∂
∂
 e 
z
f
∂
∂
 contínuas num domínio tridimensional D 
contendo o ponto (xo , yo , zo). Então, existe um intervalo Io : 0x x h− < , (h>0) , no qual 
há uma solução única , y = y(x), satisfazendo a equação diferencial )',,('' yyxfy = e as 
condições iniciais y(xo) = yo e 00 )(' zxy = . 
 Note-se que os teoremas acima não se referem ao tamanho do intervalo Io. Eles 
meramente afirmam que ela existe este intervalo. Além disso, estes teoremas não nos 
indicam um método para encontrar esta solução única. Estes teoremas fornecem 
aquelas que são conhecidas como as condições suficientes para a existência de uma 
solução única. Isto é, se as condições estabelecidas nas hipóteses dos respectivos 
teoremas são satisfeitas, então, nós assumiremos que existe uma única solução para o 
problema de valor inicial, em algum intervalo Io. Contudo, as condições estabelecidas 
nas hipóteses destes teoremas não são necessárias, isto é, se estas condições não 
forem todas satisfeitas, poderá existir uma única solução. 
 
Exemplos: 
1) Mostre que o problema de valor inicial 




=
=
key
ky
dx
dy
)1(
 
tem uma única solução no intervalo Io : 1x h− < (h>0). 
Solução: 
 Aqui, f(x,y) = ky e k
y
yxf
=
∂
∂ ),(
. 
 Claramente, ambas as funções f e 
y
f
∂
∂
 satisfazem a hipótese do Teorema 1 em 
todo plano xy. Em particular, podemos aplicar este teorema em qualquer domínio D 
contendo o ponto (xo ,yo) = (1,ek). Assim, existe um intervalo Io : 0 1x x x h− = − < , no qual 
há uma única solução, y(x), satisfazendo a equação diferencial e sua condição inicial. 
 A solução geral é dada por y = c.ek.x onde c é uma constante arbitrária. 
 Desde que y = ek em x = 1, nós encontramos c = 1. Assim, y = ek.x é a única 
solução do problema de valor inicial no intervalo Io : 1x h− < . 
 Neste exemplo, esta única solução existe sobre o intervalo −∞ < x < ∞ 
 
2) Mostre que o problema de valor inicial: 



=
+=
0)0(
4' 2
y
yy
 
tem uma única solução no intervalo Io : x h< . 
Solução: 
 Aqui, f(x,y) = 4+ y2 e y
y
yxf 2),( =
∂
∂
. 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 16 
 As funções f(x,y) e 
y
yxf
∂
∂ ),(
, satisfazem a hipótese do Teorema 1 em qualquer 
ponto do plano xy. 
 Para um domínio D contendo o ponto (xo,yo) = (0,0) asseguramos, pelo teorema, 
a existência de um intervalo Io : 0 0x x x x h− = − = < , onde há uma única solução y(x) 
satisfazendo o problema de valor inicial. 
 A solução para este problema é y = 2.tg 2x (observe gráfico acima). 
 Assim, esta função é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io: 
x h< . 
 Neste exemplo, a solução única realmente existe sobre o intervalo 
44
pipi
<<− x . 
 Note, contudo, que esta solução única não pode ser estendida além deste 
intervalo, pois, qualquer intervalo maior conteria os pontos 
4
pi
−=x e/ou 
4
pi
=x , e a 
função y dada por y = 2.tg 2x não é definida nestes pontos. 
 
3) Mostre que y = e 2x – e− x é a única solução do problema de valor inicial. 
 





=
=
=−−
3)0('
0)0(
0.2'''
y
y
yyy
 , no intervalo Io : x h< . 
Solução: 
 )',,('' yyxfy = onde '2)',,( yyyyxf += . 
Assim, f(x,y,z) = 2y + z e 






=
∂
∂
=
∂
∂
1),,(
2),,(
z
zyxf
y
zyxf
 
 Claramente, as funções f , 
y
f
∂
∂
 e 
z
f
∂
∂
 satisfazem a hipótese do Teorema 2. Em 
particular, podemos aplicar o teorema para qualquer domínio D contendo o ponto 
(xo ,yo ,zo) = (0,0,3). Assim, existe um intervalo Io : 0 0x x x x h− = − = < , no qual há uma 
única solução y(x) satisfazendo a equação diferencial e as condições iniciais dadas 
acima. 
 
Exercícios 
 
1) Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação diferencial 
correspondente: 
 Funções Equações Diferenciais 
a) 221 2 xcxcy ++= → 0212
2
=+−
xdx
dy
xdx
yd
 ; 
b) tt ececs 3221 += − → 062
2
=−− s
dt
ds
dt
sd
 ; 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 17 
c) 2).( cxcy −= → ( ) 08'4' 23 =+− yxyyy ; 
d) )2( cos 21 ctcs += → 042
2
=+ s
dt
sd
 ; 
e) beay b
x
−= . 
 
 
 
 → 0
2
2
2
=+





−
dx
dy
dx
dy
dx
ydy ; 
f) xxx eececy 2231 3
1
−+= − → xey
dx
dy
dx
yd 2
2
2
32 =−− ; 
g) tsenttsenctcx 3 .
2
13 3 cos 21 ++= → txdt
xd 3 cos392
2
=+ . 
2) Verifique se as funções u = x2− y2 , u = ex.cos y e u = ln (x2+ y2) são soluções da 
equação diferencial de Laplace 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
. 
3) Dadas as curvas abaixo, determine para cada uma delas, a equação diferencial de 
menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. 
 a) cyx =+ 22 Resp.: 0=+ ydyxdx ; 
b) xcey = Resp.: 0=− y
dx
dy
 ; 
c) ).( 223 yxcx −= Resp.: 
dx
dy
xyxy 23 22 =− ; 
d) 321 )( cexccy x ++= Resp.: 02 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 ; 
e) xx ececy −+= 221 Resp.: 022
2
=−− y
dx
dy
dx
yd
 . 
 
4) Mostre que y = ex+1 – 3.(x+1) é a única solução do problema de valor inicial 



=−
+=
1)1(
3'
y
yxy
 para algum intervalo Io : 1x h+ < . 
 
5) Mostre que 
x
xxxy
sen1
cos)cos2(
+
−+
= é a única solução do problema de valor inicial 



=
=+
1)0(
 cos sec.'
y
xxyy
 , para algum intervalo Io : x h< . 
 
6) Encontre uma função ( )r x de modo que (ln )y sen x= , 0x > , seja solução da 
equação diferencial ordinária: [ ] .0 ' ).( =+
x
yyxr
dx
d
 
.................................................... 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 18 
 
Equações Diferenciais Ordinárias 
de 1a Ordem e 1o Grau 
 
 
 Como já foi citado anteriormente, nem todas as equações diferenciais possuem 
solução analítica[podemos até afirmar que não são “muitos” os tipos (classes) de 
equações diferenciais que as possuem]. 
Assim sendo, aqui vamos abordar somente alguns poucos tipos de equações 
diferenciais ordinárias de 1a ordem e 1o grau, para os quais foram criados 
procedimentos analíticos para se encontrar as suas respectivas soluções. 
Muitos desses procedimentos foram descobertos pela necessidade de se 
conhecer a solução de uma determinada equação diferencial, a qual, na realidade, era 
o modelo matemático de um problema real, outros procedimentos, foram criados por 
mera curiosidade matemática. 
A habilidade para se encontrar a solução analítica (exata) de uma equação 
diferencial depende da habilidade em se reconhecer a que tipo (classe) a equação 
diferencial em questão se enquadra e da aplicação de um método específico para o 
cálculo da solução, pois, o método que se aplica para resolver um tipo de equação 
diferencial, não necessariamente serve para resolver outro. 
 
 Definição: Diz-se que uma Equação Diferencial Ordinária é de 1a Ordem e 1o 
Grau se a mesma pode ser escrita na forma 
),( yxF
dx
dy
= ou 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM . 
 
Classificação 
 Começaremos agora nosso estudo sobre a metodologia de resolução de 
algumas classes ou tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau: 
1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 
a) Equações Diferenciais de Variáveis Separadas: 
São aquelas equações diferenciais que podem ser expressas da forma 
0)()( =+ dyyNdxxM . 
Se as funções M e N são integráveis, obtemos imediatamente a solução geral da 
equação diferencial proposta aplicando-se o operador integral (que é um operador 
linear) a ambos os membros da equação diferencial. 
Assim, resulta [ ]∫ =+ cdyyNdxxM )()( ∴ ∫ ∫ =+ cdyyNdxxM )()( . 
Observe que o c representa a soma algébrica de todas as constantes de integração. 
Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial 0.. =+ dyydxx . 
Solução: 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 19 
b) Equações Diferenciais Redutíveis às de Variáveis Separadas: 
Uma equação diferencial da forma 0).().().().( 2211 =+ dyyNxMdxyNxM , pode ser 
reduzida a uma equação diferencial de variáveis separadas, mediante a 
multiplicação da equação pela expressão 
1 2
1
( ). ( )N y M x , chamada fator de 
integração. 
Assim, temos 0)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
=+ dy
yN
yNdx
xM
xM
, que é uma equação diferencial de 
variáveis separadas. 
Observação: Este tipo de equação diferencial pode também aparecer escrito na 
forma de derivada, isto é, )().( yhxg
dx
dy
= . Assim, multiplicando-se ambos os 
membros da equação por )(
1
yh
 e a seguir por dx (por definição, xdx ∆= é o 
acréscimo da variável independente, então, seu valor é constante e diferente de 
zero), tem-se 
 dxxgdx
dx
dy
yh
)()(
1
= (4) 
Como dydx
dx
dy
= (ou dxxfdy ).('= , isto é, a diferencial da variável dependente é 
igual ao produto da derivada da função pela diferencial da variável 
independente) de (4) resulta, dxxgdy
yh
)()(
1
= ∴ 0)(
1)( =+− dy
yh
dxxg , que é 
uma equação diferencial de variáveis separadas, cuja solução poderá ser obtida 
por integração, se as funções )(xg e )(
1
yh
 forem integráveis. 
Exemplos: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1) 0=+ xdyydx ; 
Solução: 
 
 
2) 13 += x
dx
dy
 ; 
Solução: 
 
 
3) 04 =−− dy
y
x
xdx ; 
Solução: 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 20 
4) 
yx
y
dx
dy
).1(
1
2
2
+
+
= . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre a Curva Tractriz 
 
 Suponhamos que um ponto P é arrastado ao longo do plano xy por um fio PT de 
comprimento constante a, ou seja, T desloca-se a partir da origem na direção positiva 
do eixo x e P é arrastado a partir do ponto )0 ,(a . Nestas condições, determinar o 
caminho percorrido pelo ponto P ? 
 A curva descrita pela trajetória deste ponto P é chamada de Tractriz (do latim 
tractum que significa arrastar) ou curva Equitangencial. 
O Modelo matemático: 
 Das condições do problema e observando 
a sua representação gráfica ao lado, conclui-se 
que o segmento de reta PT é tangente à curva 
no ponto P, e portanto, sua inclinação é dada por 
 
QP
QT
dx
dy
−= ou 
2 2
 dy a x
dx x
−
= −
 
que é uma equação diferencial de variáveis 
separáveis em x e y. 
A Resolução: 
 Separando-se as variáveis, integrando 
 e usando o fato de que 0=y quando ax = 
[condição inicial 0)( =ay ], obtemos 
 
2 2
2 2
.ln a a xy a a x
x
 
− −
= − − − 
 
 
 ou 
2 2
2 2
.ln a a xy a a x
x
 + −
= − − 
 
 
 
que é a equação da Tractriz. 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 21 
 Esta curva é de considerável importância, pois, sua revolução em torno do eixo y 
gera a superfície que é um modelo para a versão da geometria não-Euclidiana de 
Lobachevski. 
 
 
Solução Singular (ou Solução Perdida): Dada uma Equação Diferencial de 
Variáveis Separáveis, digamos ( ). ( )dy g x h y
dx
= , devemos ter cuidado quando estivermos 
separando as variáveis, uma vez que os divisores podem se anular em um ou mais 
pontos. Especificamente, se r for um zero da função ( )h y , substituir y r= em 
( ). ( )dy g x h y
dx
= torna nulo ambos os membros; em outras palavras, y r= é uma solução 
constante na equação diferencial. Mas, após a separação das variáveis, o primeiro 
membro da equação ( ).( )
dy g x dx
h y
= fica indefinido em r. Conseqüentemente, y r= 
pode não aparecer na família de soluções (solução geral) obtidas após a integração e 
simplificação. Lembre-se que essa solução é chamada de solução singular. 
Exemplo: Resolver 2 4dy y
dx
= − . 
Solução: Separando as variáveis temos 2 4
dy dx
y
=
−
 ou 
1 1
4 4
.
2 2
dy dx
y y
 
− = 
− + 
 e 
integrando vem 1
1 1ln 2 ln 2
4 4
y y x c− − + = + ⇒ 2ln 4.
2
y
x k
y
−
= +
+
 ⇒ 
4.2
2
x ky e
y
+−
= ±
+
 ⇒ 4.
2
.
2
xy c e
y
−
=
+
 ⇒ 
4.
4.
1 .2.
1 .
x
x
c ey
c e
+
=
−
 (Solução Geral). 
 Agora, se fatorarmos o segundo membro da equação diferencial 2 4dy y
dx
= − , teremos 
( 2).( 2)dy y y
dx
= − + e é fácil verificar que 2y = e 2y = − são duas soluções constantes. 
A solução 2y = é uma solução particular, pois, pode ser obtida a partir da solução 
geral, atribuindo-se para a constante arbitrária c o valor zero. Já, a solução 2y = − é 
uma solução singular, pois, não pode ser obtida a partir da solução geral, mediante a 
atribuição de um valor à constante arbitrária c. Isto indica que esta solução foi perdida 
no início do processo de solução. A inspeção da equação diferencial 
1 1
4 4
.
2 2
dy dx
y y
 
− = 
− + 
 indica claramente que precisamos omitir 2y = ± nessas etapas. 
 
 
2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas 
 
 a) Função Homogênea: Diz-se que uma função, digamos, ),( yxf é uma função 
homogênea de grau de homogeneidade n, para algum n ℜ∈ , em relação às 
variáveis x e y, se tiver para todo *+ℜ∈λ 
),(.).,.( yxfyxf nλλλ = 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 22 
Exemplos: Verifique se as funçõesabaixo são homogêneas e dê o grau de 
homogeneidade: 
1) 22),( yxyxf += 
 
 
2) 
yx
yxyxf
.
),(
33
−
= 
 
3) 
x
yxyxg
25),( += 
 
4) x
y
eyyxh .),( = 
 
 
5) )1 ln .(ln),( 3 −−= yxxyxf 
 
 
 
b) Equação Diferencial Homogênea 1: É toda equação diferencial que pode ser escrita 
da forma 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM , onde M e N são funções homogêneas e de 
mesmo grau, em relação a x e y. 
 Assim, se a equação diferencial é homogênea ela pode ser transformada, mediante 
a substituição xvy .= (ou yvx .= ), em uma equação diferencial de variáveis 
separáveis em v e x (ou v e y), que depois de encontrada a sua solução geral faz-se 
a substituição 
x
y
v = (ou 
y
x
v = ) para se obter a solução geral da equação 
diferencial inicial. 
Observação: Uma equação diferencial também pode ser identificada como 
homogênea se ela puder ser escrita da forma 





=
x
yF
dx
dy
 ou 





=
y
xF
dx
dy
. 
Exemplos: Encontre a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas 
abaixo: 
a) 0).()..(2 22 =+++ dyyxdxyxx 
Solução: 
 
 
1
 O significado da palavra “homogênea”, aqui apresentado, não é o mesmo daquele quando abordarmos as Equações Diferenciais 
Lineares, página 32. 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 23 
b) 
dx
dyyx
dx
dy
xy .22 =+ 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 24 
Exercícios 
 
I) Achar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 
a) 0).3().2( =−−+ dyxdxy R: cxy =−+ )3).(2( 
b) 0).1(. 2 =+− dyxdxxy R: 2 2. 1c y x= + 
c) 0).32.().3.( =+−+ dxxydyxx R: . .( 3)y c x x= + 
d) 0.1.1 22 =−−+ dxydyx R: 21.(ln xxcysenarc ++= 
e) 0. . =+ θθρρ dtgd R: θρ cos.c= 
f) 0).1( 2 =−− dxydyx R: 1)1.( ln. =− xcy 
g) ( 2 ). (2 3 ). 0x y dx x y dy+ + − = R: cyxyx =−+ 22 34 
h) 0).64().53( =+++ dyyxdxyx R: cyxyx =++ )2.()( 2 
i) 0.).(2 =++ dyydxyx R: c
x
yx
tgarcyxyx =+−++ 22 22ln
2
1
 
j) 0).75().108( =+++ dyxydxxy R: cyxyx =++ 32 )2.()( 
k) 0).3().2( =+++ dyyxdxyx R: cyxyx =++ 22 322 
l) 0).21().13.(2 =−++ dzwdwzz R: zczw .)31).(12( =+− 
m) dxzxdxzdzx .4.2.2 22 +=− R: 041 22 =−+ xccz 
n) 0.2).4( =++ dyxdxyx R: cyxx =+ 23 6 
o) 
21
.ln. 




 +
=
x
y
dy
dx
xy R: cyyyxxx +++=− ln2
2
1
9
1ln
3
1 233
 
 
II) Achar a equação da curva que passa pelo ponto )0,1( e cujo coeficiente angular 
é, em qualquer ponto igual a 
xx
y
+
−
2
1
. R: xxy −=+ 1)1.( 
 
III) Achar a solução particular que é determinada pelos valores de x e y dados. 
a) 04 =+
x
dy
y
dx
 , 4=x , 2=y R: 324 22 =+ yx 
b) dyxydxyx .2).( 22 =+ , 1=x , 0=y R: xxy −= 22 
 
..................................................... 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 25 
3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de 
Variáveis Separáveis 
São as equações diferenciais da forma 





++
++
=
222
111
cybxa
cybxa
F
dx
dy
, onde 
22111 ,,,, bacba e 2c são constantes. 
 Para este tipo de equações temos a considerar dois casos: 
a) Se det 0
22
11 ≠





ba
ba
 a equação diferencial se reduzirá a uma Equação Diferencial 
Homogênea. 
Para tanto, forma-se o sistema 



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
 , cuja solução admitamos ser 
α=x e β=y . A seguir, realizamos na equação diferencial considerada as seguintes 
substituições 
 
 



=→+=
=→+=
dvdyvy
dudxux
β
α
, com as quais vamos obter uma Equação 
Diferencial Homogênea em u e v. 
 Esta mudança de variáveis, geometricamente, equivale a uma translação dos 
eixos coordenados para o ponto ),( βα , que é a interseção das retas do sistema acima. 
Desse modo, as retas com variáveis u e v se interceptarão na origem ( ).021 == cc 
Exemplo: Resolver a equação diferencial 
23
132
−+
−−
=
yx
yx
dx
dy
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 26 
b) Se det 0
22
11
=





ba
ba
 , a equação diferencial se reduzirá a uma Equação Diferencial 
de Variáveis Separáveis. 
 Para tanto, faz-se tybxa =+ 11 (ou tybxa =+ 22 ), sendo t uma função de x. 
Então, derivando-se em relação a x vem, 
 





−= 1
1
1
a
dx
dt
bdx
dy
 
Substituindo estes resultados na equação diferencial dada, obtém-se uma Equação 
Diferencial de Variáveis Separáveis em t e x. 
Exemplo: Resolva a equação diferencial 
136
12
−−
+−
=
yx
yx
dx
dy
 . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 27 
Exercícios 
 
 
Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 
 
1) 0).13().32( =−−−− dyyxdxyx R: cxyxy =





−+





−





−−





−
22
7
32
7
2
.
7
3
.6
7
2
 
 
2) 0).232().132( =+++−+ dyyxdxyx R: 3 3 9.ln 2 3 7x y x y c+ = − + − + 
 
3) 0).52().42( =+−++− dxyxdyyx R: )3.()1( 3 +−=−+ yxcyx 
 
4) 
342
12
++
++
=
yx
yx
dx
dy
 R: cxyyx =−+++ 48584 ln 
 
5) 0).56().34( =−−−−− dyyxdxyx R: )23.()12( 2 −−=−− yxcyx 
 
6) 0).32().42( =−+−−+ dyyxdxyx R: 





−+=+−
3
7
.)1( 3 yxcyx 
 
7) 
yx
yx
dx
dy
++
−−
=
1
331
 R: cyxyx =+−−++ 1ln.23 
 
8) ( )21++= yx
dx
dy
 R: )( 1 cxtgx ++−− 
 
9) )(2 yxtg
dx
dy
+= R: cyxsenxy =++− ).(2 .2.2 
 
 
................................................ 
 
4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas 
 
 Uma equação diferencial ordinária de 1a ordem escrita da forma 
 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM (5) 
é dita Exata se o 1o membro for uma diferencial total (ou exata) de uma função ),( yxU , 
isto é,dy
y
Udx
x
UdU
∂
∂
+
∂
∂
= (6) 
 Neste caso a equação diferencial (5) pode ser escrita 0=dU e mediante 
integração obteremos a solução geral de (5) que é da forma U(x,y) = c. 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 28 
 
Cálculo de U(x,y) 
 
Comparando (5) e (6) vemos que (5) é uma diferencial exata se existe uma 
função U(x,y) tal que, 
x
UM
∂
∂
= (I) e 
y
UN
∂
∂
= (II), 
então, 
xy
U
y
M
∂∂
∂
=
∂
∂ 2
 e 
2N U
x x y
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂
 
e, pelo Teorema de Schwartz, como 
2 2
 
U U
y x x y
∂ ∂
= ⇒
∂ ∂ ∂ ∂
 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
 → (Condição 
necessária para que a equação diferencial 0).,().,( =+ dyyxNdxyxM seja uma 
Equação Diferencial Exata). 
 Para calcularmos a expressão de U(x,y) vamos integrar (I) em relação a x. 
Portanto, 
 ∫ += )(.),( yQdxMyxU , onde Q(y) é uma função só de y (III) 
Para determinarmos Q(y), derivamos (III) em relação a y e usamos (II). 
Assim, ( ) NyQdxM
yy
U
=+
∂
∂
=
∂
∂
∫ )('. ⇒ ( )∫∂∂−= ).)(' dxMyNyQ (função só de y). 
Fazendo ∫ = PdxM . , y
PNyQ
∂
∂
−=)(' ∴ dy
y
PNyQ ∫ 





∂
∂
−= .)( e substituindo em (III) 
vem, ( , ) . .PU x y M dx N dy
y
 ∂
= + − ∂ ∫ ∫
, onde ∫= dxMP . 
Como U(x,y) = c, a solução geral da Equação Diferencial Exata 
0).,().,( =+ dyyxNdxyxM será dada por cdy
y
PNdxM =





∂
∂
−+∫ ∫ .. . 
Exemplos: Calcular a solução geral de cada uma das equações dadas: 
1) 0).46().63( 3222 =+++ dyyyxdxxyx 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 0.2).( 22 =−− dyxydxyx 
Solução: 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 29 
Exercícios 
 
 
I) Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 
 
 1) 0).23().12( =−+−+− dyyxdxyx R: cyyxxyx =−++− 22 34222 
 
 2) 0).2.(. =−+ dyyexdxe yy R: cyex y =− 2. 
 3) 0). cos2().( 23 =+++ dyyxydxyx R: cysenxyx =++ 
4
2
4
 
 4) 0.1.2)( cos..)( cos. =





+++





+ dy
y
xxyxdx
x
y
xyy R: cyxyxysen =++ ln.2)( 
 5) 
yxy
xyx
dx
dy
2
2
+
+
−= R: cyyx =++ 222 )1.( 
 6) 0). cos1(). .1( =−++ dyxdxxseny R: cxyyx =−+ cos. 
 7) 032 4
22
3 =
−
+ dy
y
xydx
y
x
 R: c
yy
x
=−
1
3
2
 
 8) 0).2 cos..2(). cos.( 22 =+−+− dyyxyxexdxxyye yy R: 2 2. yx e sen xy y c− + = 
 9) 0).42().32( 22 =++− dyyxdxxy R: cyxyx =+− 4322 
10) 22 . 6xdyx x e y x
dx
= − + R: cxeexxy xx =−+− 322.2 
 
II) Resolva os problemas de valor inicial (determine a solução particular): 
 1) ( ) 0. .. cos.2 2 =−− dyysenxdxeyx x , 0=x R: 2 .cos 1xx y e− = − 
 2) 
2
2
cos . 
.(1 )
dy xy x sen x
dx y x
−
=
−
 , 2)0( =y R: 3cos)1.( 222 =−− xxy 
 3) eydyyxxsenydxxyxxy ==+−+−− )0( , 0). ln .2().23 cos.( 322 
 R: 2 3 2. .ln 0y sen x x y x y y y− − + − = 
 
III) Mostre que qualquer Equação Diferencial de 1a ordem e 1o grau de Variáveis 
Separáveis por ser transformada em uma Equação Diferencial Exata. 
 
 
............................................................... 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 30 
Fator Integrante 
 Quando multiplicamos uma expressão dyyxNdxyxM ).,().,( + , que não é 
diferencial exata, isto é, 
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
, por uma função ),( yxλ e ela se transforma em uma 
expressão diferencial exata, a esta função chamamos de Fator Integrante. 
Exemplo: Seja a equação diferencial 0.. =− dyxdxy , onde yyxM =),( e xyxN −=),( . 
Assim, 11 −=
∂
∂
≠=
∂
∂
x
N
y
M
 e, portanto, a equação não é uma Equação Diferencial 
Exata. 
 Porém, se multiplicarmos essa equação diferencial por 2
1
x
 ou 2
1
y
 ou 22
1
yx +
, 
ela se converterá em uma Equação Diferencial Exata (Verifique!). 
Logo, 2
1
x
 , 2
1
y
 e 22
1
yx +
 são fatores integrantes da equação diferencial dada. 
 
Pesquisa de um Fator Integrante 
 
 Vamos supor que ),( yxλ seja um fator integrante da equação diferencial 
0).,().,( =+ dyyxNdxyxM . Se multiplicarmos ambos os membros desta equação por 
),( yxλ , teremos 0.... =+ dyNdxM λλ (7) 
 Como por suposição, λ é fator integrante da equação (7), então, ela é uma 
Equação Diferencial Exata e, portanto, 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂ )()( λλ
. 
Calculando as derivadas parciais temos 
x
N
x
N
y
M
y
M
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ λλλλ 
 





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
y
M
x
N
x
N
y
M .λλλ (8) 
A equação (8) é uma equação diferencial de derivadas parciais de 1a ordem em λ , e 
por enquanto a sua solução não pode ser calculada. Assim, para simplificar esta 
equação vamos supor que λ é apenas uma função de x ou y . 
 Supondo que λ seja uma função apenas de x , 0=
∂
∂
y
λ
 e (8) se transforma em 
 





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
y
M
x
N
x
N .λλ (9) 
Dividindo ambos os membros de (9) por N.λ− , temos 





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
x
N
y
M
Nx
11 λ
λ (10) 
A equação (10) só terá sentido se o 2o membro for função só de x . Desse modo, 
)(1 x
dx
d ψλλ = ∴ dxx
d ).(ψλ
λ
= ∴ ∫∫ = dxx
d ).(ψλ
λ
 ∴ 
∴ ∫= dxx).(ln ψλ ∴ ∫=
dxx
e
).(ψλ . 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 31 
 Analogamente, supondo que λ seja uma função apenas de y , 0=
∂
∂
x
λ
 e (8) se 
transforma em 





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
y
M
x
N
My
11 λ
λ , que só terá sentido se o 2
o
 membro for função 
só de y . Desse modo, )(1 y
dy
d φλλ = ∴ dyy
d ).(φλ
λ
= ∴ ∫∫ = dyy
d ).(φλ
λ
 ∴ 
∴ ∫= dyy).(ln φλ ∴ ∫=
dyy
e
).(φλ . 
 Observemos que, pelo processo adotado, podemos determinar um fator 
integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam 
a pesquisa desse fator. 
Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais, transformando-as em 
Equações Diferenciais Exatas, através da multiplicação por um fator integrante. 
1) 0).1(.2 =++ dyxydxy 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 0.2).( 22 =+− dyxydxyx 
Solução: 
Introduçãoàs Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 32 
Exercícios 
 
I) Verifique se cada uma das equações diferenciais dadas não é Exata. A seguir, 
pesquise um fator integrante e calcule a solução geral de cada uma delas. 
1) dxexdxydyx x .... 2=− R: xexxcy .. += 
2) dyxdxydyy ..2 =+ R: 2 .y x c y+ = 
3) 0). ln( 3 =−+ dyxydx
x
y
 R: ycyx .ln.2 3 =+ 
4) 0).( 22 =−+ dyxdxxyx R: ln yx c
x
− = 
5) dyxxdxy ).().1( 22 +=+ R: c
x
xytgarc +
+
=
1
 ln 
Nota: Nesta última equação não é possível encontrar, por este processo, um fator 
integrante que seja função apenas de x ou de y. Identifique a qual tipo esta 
equação diferencial pertence e resolva-a. 
II) Resolva o problema de valor inicial dado encontrando um fator integrante: 
 0).4(. 2 =++ dyyyxdxx , 0)4( =y R: 20)4( 22 =+xe y 
 
 
......................................................... 
 
 
5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares 
 
 São aquelas que podem ser escritas na forma QyP
dx
dy
=+ . , onde P e Q são 
funções de x . 
 Se Q = 0 é denominada Equação Diferencial Linear Homogênea ou Incompleta. 
Observação: Aqui o sentido de homogênea é diferente daquele descrito nas equações 
diferenciais do 2o tipo (página 21). 
 Encontra-se a solução geral de uma equação deste tipo, utilizando-se o Método 
da Substituição (ou Método de Lagrange) ou transformando-a em uma Equação 
Diferencial Exata, pela multiplicação de um fator integrante. 
 
Método da Substituição ou Método de Lagrange 
 Seja a equação diferencial QyP
dx
dy
=+ . (11) 
 Antes vamos examinar dois casos particulares: 
1o) Se P = 0 ⇒ Q
dx
dy
= ∴ dxQdy .= ∴ ∫ += cdxQy . 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
 33 
2o) Se Q = 0 ⇒ 0. =+ yP
dx
dy
 ∴ dxP
y
dy
.−= ∴ cdxPy +−= ∫ . ln ∴ 
.P dx c
y e
− +∫
= ∴ 
.
.
P dx cy e e
−∫
= ∴ ∫=
− dxP
eky .. . 
Em cada um destes casos percebe-se que a equação diferencial resultante é sempre 
uma Equação Diferencial de Variáveis Separáveis. 
 Agora, vamos nos ater para o caso geral, quando P e Q são ambas funções não 
nulas. 
 Neste caso, pelo Método da Substituição, vamos fazer tzy .= , onde z e t são 
funções de x, sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar. 
 Assim, 
dx
dz
t
dx
dt
z
dx
dy
.. += e substituindo em (11) vem QtzP
dx
dz
t
dx
dt
z =++ .... 
 ∴ Q
dx
dz
ttP
dx
dt
z =+





+ .. (12) 
Se conseguirmos obter os valores de z e t, obviamente teremos a solução geral de (11) 
que é uma Equação Diferencial Linear dita completa, já que tzy .= . Assim, 
pesquisaremos em (12) um modo de calcular estas duas funções, z e t. Isto pode ser 
feito impondo-se as seguintes condições, em (12): 





=
=+
Q
dx
dz
t
tP
dx
dt 0.
 
Resolvendo a equação diferencial 0. =+ tP
dx
dt
, resulta ∫= − dxPekt .1. e levando-se este 
resultado em Q
dx
dz
t = temos Q
dx
dz
ek dxP =∫− .. .1 ∴ Qekdx
dz dxP
..
1 .
1
∫
= ∴ 
 Qdxe
k
dz dxP ..1 .
1
∫
= 
e integrando, 2
.
1
..
1 kdxQe
k
z
dxP
+∫= ∫ . 
Como, tzy .= ⇒ 




 ∫






+∫=
−
∫
dxPdxP
ekkdxQe
k
y
.
12
.
1
....
1
 
 ⇒ 




 +∫∫= ∫
−
cdxQeey dxPdxP ... .. 
que é a solução geral de (11). 
Exemplos: Resolva as equações diferenciais: 
1) x
x
y
dx
dy
=− ; 
Solução: 
Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos 
Provenzano, Luiz Fernando 
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 2) 0 cot =−+
x
xg
x
y
dx
dy
. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Resolver as seguintes equações diferenciais: 
a) 2−=− x
x
y
dx
dy
 R: ) ln.2.( cxxxy +−= 
b) xsenxtgy
dx
dy
 . =− R: 





+= c
xsen
xy
2
 . sec
2
 
c) xyxtg
dx
dy
 cos). ( += R: 1 1
 2 .sec 
2 4
y x sen x c x = + + 
 
 
d) 44' xy
x
y =+ R: 54 9
1
x
x
cy += 
e) 0.5' =− yy R: xecy 5.= 
 
2) Resolva os problemas de valor inicial: 
a) 0=−+ xey
dx
dy
x , bay =)( R: 
x
eabey
ax
−+
= 
b) xsenyy ' =+ , 1)( =piy R: ( )xxseney x cos 
2
1
−+= −pi 
3) Pesquise um fator integrante para a Equação Diferencial Linear QyP
dx
dy
=+ . . A 
seguir resolva o exercício (1a) por este processo. 
 
4) A equação diferencial da forma nyQyP
dx
dy
.. =+ (*) 
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Provenzano, Luiz Fernando 
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onde n∈ℜ e P e Q são funções de x, é chamada de Equação Diferencial de 
Bernoulli. Para n = 0 e n = 1 a equação é Linear. Porém, se y ≠ 0 ela pode ser 
escrita da forma QyP
dx
dyy nn =+ −− 1. (**) 
Fazendo a substituição nyw −= 1 , com n ≠ 0 e n ≠ 1, então, 
dx
dyyn
dx
dw n
.).1( −−= e 
substituindo em (**) obteremos a Equação Diferencial Linear 
 QnwPn
dx
dw ).1(.).1( −=−+ (***) 
Resolvendo em w e x e, a seguir, substituindo nyw −= 1 , obteremos a solução 
geral para (*). 
 Assim sendo, resolver as seguintes equações diferenciais: 
 
 a) 2.1 yxy
xdx
dy
=+ R: 2
.
1
xxC
y
−
= 
 b) 2
1
y
y
dx
dy
x =+ R: 33 .1 −+= xCy 
 c) )1..( 3 −= yxy
dx
dy
 R: xeCxy .33 .
3
1
++=− 
 d) yxy
dx
dy
x .22 =+ R: xCe y
x
.= 
 
............................................. 
 
 
 
 
Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias 
de 1a Ordem e 1o Grau 
 
 Com freqüência, desejamos descrever o comportamento de algum sistema ou 
fenômeno do mundo real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, econômicos, 
sociológicos e mesmo biológicos. A representação idealizada (simplificada) deste 
sistema ou fenômeno envolvendo símbolos matemáticos é chamada de modelo 
matemático ou simbólico. 
 A construção de um modelo matemático que represente o comportamento de um 
sistema ou fenômeno pode não ser uma tarefa fácil, pois, o mesmo deve envolver um