calculo aplicado 1 turma 2016

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Universidade Federal do Amapá 
Álvaro Costa Júnior 
 
 
 
 
 
Trabalho de Calculo aplicado 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macapá, AP , 06 de setembro de 2016 
 
Universidade Federal do Amapá 
Álvaro Costa Júnior 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de Calculo aplicado 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Macapá, AP , 06 de setembro de 2016 
 
Este trabalho tem como objetivo 
mostrar solução de problemas 
matemáticos (limites ,derivadas e 
integrais) através da utilização de 
softwares matemáticos. 
1. Limite 
Aplicando a definição de limite na função abaixo, tem-se o número 4 como 
resultado final do problema e o esboço de seu gráfico em seguida. 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 ; logo, trata-se de uma indefinição. Assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comandos necessários: 
 Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS (Ctrl+Shift+k).Feito 
isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela fique nos moldes do 
software, depois colocar “Limite[ <Expressão>, <Valor> ]”. Feito isso, para esboçar o 
gráfico, basta clicar em um pequena bola ao lado da função. 
GEOGEBRA 
2.Continuidade 
Para uma função ser contínua, são necessárias três condições: 
1-A função precisa estar definida no ponto. 
2-O limite tem que existir no ponto 
3-O valor do limite precisa ser igual ao valor da função no ponto 
 e , sendo . 
1- 
2- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
 
Verificando se o limite é igual ao valor acima, tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comandos necessários: 
 Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS (Ctrl+Shift+k).Feito 
isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela fique nos moldes do 
software. Feito isso, para esboçar o gráfico, basta clicar em um pequena bola ao lado 
da função. 
Geogebra 
 
 
3. DERIVADAS 
A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. 
Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a 
inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a 
derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são 
retas, a derivada depende do valor de x. 
As funções encontram-se respectivamente antes e depois da derivação, 
representadas nos gráficos abaixo. 
 
 
 
 
 
 Comandos necessários: 
Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS (Ctrl+Shift+k).Feito 
isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela fique nos moldes do 
software. Já para derivara-la e conveniente selecionar a barra semi superior como 
ícone ( f ’) na opção “derivar”. Feito isso, para esboçar o gráfico, basta clicar em um 
pequena bola ao lado da função. Geogebra 
3.1 Máximos e Mínimos 
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função , é 
necessário primeiramente deriva-la. Observe 
 ,após a derivação igualando a função =0,obtem-se o ponto 
crítico. 
 
 
 
 
Feito isso, imaginando uma reta pondo 
 
 
 como valor central e escolhendo 
valores para as extremidades para saber onde ela cresce e decresce, no caso 
 . 
 
 
Logo, 
 
 
 é o ponto mínimo da função. 
Obs: Essa função só possui ponto mínimo. 
 
 
 
 
Comandos necessários: 
Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS (Ctrl+Shift+k).Feito 
isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela fique nos moldes do 
software. Já para derivara-la e conveniente selecionar a barra semi superior como 
ícone ( f ’) na opção “derivar”. Feito isso, para esboçar o gráfico, basta clicar em um 
pequena bola ao lado da função. Assim aparecerão os pontos de máximo e mínimo. 
3.2 Gráficos de funções 
 [ ] 
 Domínio  
 , se tratando de uma equação de grau 2, as raízes são os 
pontos críticos. Assim 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comandos necessários: 
Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS (Ctrl+Shift+k).Feito 
isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela fique nos moldes do 
software. Feito isso, para esboçar o gráfico, basta clicar em um pequena bola ao lado 
da função. 
Geogebra 
3.3 Taxas relacionadas 
Exemplo: O raio de uma esfera está variando a uma taxa de 5 m/s. Com que está 
variando o volume dessa esfera no instante em que o raio é 2m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comandos necessários 
Primeiramente, é necessário digitar “volume esfera” na plataforma de busca do 
software, clicar “enter”, e ele irá gerar a figura e resolver a função escolhida. 
Wolfram Alpha 
 
 
 
 
 
 
 
4.Integral 
A integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras 
planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a 
grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com 
grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas. A seguir serão mostradas as 
aplicações de integral. 
4.1 Medidas 
Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um 
destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada 
um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial. 
 . ∫ √ 
 
 
 Fórmula do comprimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
= ∫ √ (
 
 
 )
 
 
 
 
 
= ∫ √ 
 
 
 
 
 
 
 =∫
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 
 
 Comandos necessários: 
 Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS (Ctrl+Shift+k).Feito 
isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela fique nos moldes do 
software. Feito isso, para esboçar o gráfico, basta clicar em um pequena bola ao lado 
da função. 
Geogebra 
4.2 Áreas 
 ∫ 
 
 
 ∫ [ ] 
 
 
 
 
 
 Comandos necessários:Clicar em “Exibir” na barra superior e selecionar a janela CAS 
(Ctrl+Shift+k).Feito isso, é necessário digitar a função, clicar em “enter” para que ela 
fique nos moldes do software. Já para integra-la e conveniente selecionar a barra 
semi superior como ícone ( f ’) na opção “integrar”. Feito isso, para esboçar o gráfico, 
basta clicar em um pequena bola ao lado da função. 
Geogebra 
 
 
 
 
4.3 Volume ∫ 
 
 
 
 Considerando as diversas formas que encontram-se na natureza, é possível verificar que 
muito poucas têm formas regulares, dificilmente pode se encontrar o volume de um corpo 
sólido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas 
são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porém 
antes que a teoria do Cálculo fosse elaborada os volumes eram calculados por 
aproximações. Abaixo é mostrado um exemplo de cálculo de volume através de integral. 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
Comandos necessários 
Primeiramente, é necessário digitar “volume <função> x<x<x” na plataforma de 
busca do software, clicar “enter”, e ele irá gerar a figura e resolver a função 
escolhida. 
Wolfram Alpha 
 
 
5.0 Circuitos 
Exemplo: Encontrar a resistência equivalente e a corrente que passa pelo circuito 
abaixo, pelos resistores e .,com uma ddp=36 volts. 
 
 
  estão em série, e por isso são somados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  estão em paralelo, porém possuem o mesmo valor, 
logo é necessário somar e dividir por 2, neste caso. 
Ao final a resistência total do circuito é dada por 
Para encontrar a corrente usa-se a fórmula 
 
 
 
 
 
 
 Comandos necessários: 
Primeiramente é necessário clicar na barra “Digi-key Catalog” que se encontra na 
parte esquerda da tela, após deve se clicar na opção “capacitors” para gerar os 
capacitores .Para gerar resistores, se deve clicar na opção “resistors”. Ao final deve 
se montar de maneira simples o circuito. 
Schemelt circuits