A3 - Matemática Financeira - Período Fracionário e Taxas

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Matemática Financeira 
Aplicada
Aula 3
Prof. Nelson Pereira Castanheira
Contextualização
� Período Fracionário
� Taxa Nominal
� Taxa Efetiva
� Taxa Real
� Taxa Aparente
Período Fracionário
� O Período Fracionário 
corresponde a uma capitalização 
descontínua. Há um período inteiro 
e um período fracionário sobre os 
quais devemos calcular juros
� Como exemplo, suponha que 
temos uma conta vencida há 3 
meses e 22 dias e o juro de mora 
é de 2% ao mês. Temos como 
período 3 meses inteiros e mais 
22 dias, que são uma fração do 
mês
� Convenção linear: aplicamos juro 
simples na parte fracionária do 
tempo
� Convenção exponencial: 
aplicamos juro composto também 
na parte fracionária do tempo
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Taxas
� Taxa Nominal X Taxa Efetiva
• A Taxa Nominal é aquela que 
nos informam que pagaremos; 
a Taxa Efetiva é a que, de fato, 
pagaremos
� No mercado financeiro, a Taxa 
Nominal é a que aparece escrita 
em um título de crédito ou em um 
contrato qualquer, independente 
do prazo de formação do juro e 
da sua incorporação ao capital 
que o produziu
� O que isso significa?
• Significa que, normalmente, nos 
informam uma taxa relacionada 
a um período longo. Por exemplo: 
uma taxa ao ano. Entretanto, 
a capitalização ocorre com 
periodicidade menor. Por 
exemplo: mês a mês
� Assim, ao final de um ano, a taxa 
de juro efetivamente paga será 
maior que a taxa nominal que nos 
informaram, uma vez que foi 
calculado juro sobre juro durante 
12 meses
Taxa Real X Taxa Aparente
� A Taxa Real é aquela que leva 
em conta a inflação relativa ao 
período a que a taxa se refere 
� A Taxa Aparente não leva em 
conta a inflação do período
Instrumentalização
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Convenção Linear
� O cálculo deve ser feito em duas 
etapas: 
1) para a parte inteira do tempo 
(n), calcula-se o montante a 
juro composto
2) para a fração não inteira de 
tempo (n), admite-se a 
formação linear de juros, ou 
seja, calcula-se o montante 
a juro simples
� M = C . ( 1 + i )n . ( 1 + i . n1 )
Juro composto
Juro simples
Convenção Exponencial
� O cálculo do juro em um período 
fracionário, adotando a convenção 
exponencial, tem em conta o juro 
composto o tempo todo, ou seja, 
tanto na parte inteira do tempo 
(n) quanto na parte não inteira 
(n1)
�M = C . ( 1 + i )n+n1
Juro composto o tempo inteiro
� Taxa Nominal
• Utiliza-se a fórmula matemática:
Taxa que se 
quer conhecer
Taxa 
conhecida
Período da taxa 
que se quer 
conhecer
Período da taxa 
conhecida
1
21
2
n
n.i
i =
� Taxa Aparente X Taxa Real
• A relação existente entre as 
taxas aparente e real é dada 
por meio de:
Taxa real
Taxa aparente
Taxa de inflação
i = (1+ia)
(1+I)
- 1
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Aplicação
Exemplo 1
� Um capital de R$ 1.000,00 é 
aplicado à taxa de juro composto 
de 2% a.m. por um período de 
4 meses e 15 dias, com 
capitalização mensal
� Qual será o montante obtido, 
utilizando a convenção linear?
Temos que:
C = 1.000,00
i = 2% = 0,02 a.m.
n = 4 m ; n1 = 15 d = 15/30 m
M = C . ( 1 + i )n . ( 1 + i . n1 )
Juro composto
Juro simples
M = C . ( 1 + i )n . ( 1 + i . n1 )
M = 1000.(1 + 0,02)4.(1 + 0,02.0,5)
M = 1000 . 1,082432 . 1,01
M = 1.093,26
Exemplo 2
� Suponha o exercício anterior
� Temos que:
C = 1.000,00
i = 2% = 0,02 a.m. 
n = 4 m ; n1 = 15 d = 0,5 m
M = C . ( 1 + i )n+n1
M = 1000 . (1 + 0,02)4 + 0,5
M = 1000 . 1,093203
M = 1.093,20
� Atenção: no período fracionário, 
o juro simples é maior que o 
composto
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� 2) Uma pessoa emprestou 
R$ 3.000,00 e pagou, no final do 
período, R$ 3.300,00. Essa pessoa 
pagou, no ato do empréstimo, 
despesas no valor de R$ 30,00. 
Determine as taxas nominal, 
efetiva e real dessa operação, 
sabendo que a inflação no período 
foi de 2%
Valor do Capital: C = 3000
Valor do Montante: M = 3300
Taxa de despesa: 30
Taxa de inflação: I = 0,02
� Cálculo da Taxa Nominal
M = C . ( 1 + i )n
3300 = 3000 . (1 + i )1
i = 300 = 0,10 no período
3000
Ou seja: i = 10% no período
� Cálculo da Taxa Efetiva
M = C . ( 1 + i )n
3300 = (3000 – 30) . (1 + i )n
3300 – 2970 = 2970 . i
i = 330 = 0,1111 no período
2970
Ou seja: i = 11,11% no período
� Cálculo da Taxa Real
O capital menos as despesas, 
corrigido pela inflação, é:
(3000 – 30) . 1,02 = 3029,40
M = C . ( 1 + i )n
3300 = 3029,40 . (1 + i )n
i = 270,60 = 0,0893 
3029,40
i = 8,98% no período
Síntese
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Período Fracionário e Taxas
� Em período fracionário, o 
mercado utiliza a Convenção 
linear
� As aparências enganam: a Taxa 
Real é menor que a Aparente, 
pois é descontada a inflação do 
período
� Realmente, as aparências 
enganam: a Taxa Nominal (que 
nos contam que pagaremos) é 
sempre menor que a Taxa Efetiva 
(aquela que realmente 
pagaremos)
Referências de Apoio
� ASSAF NETO, A. Matemática 
financeira e suas aplicações. 
São Paulo: Atlas, 1998.
� CASTANHEIRA, Nelson Pereira. 
Matemática financeira 
aplicada. Curitiba: Ibpex, 2010.