Mat Fin CCA 2016 Aula 2 Juros Compostos

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JUROS OU CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Juros Compostos (ou juros sobre juros): capitaliza os rendimentos, formando o novo valor 
para cálculo de rendimentos no período seguinte. 
 
Cálculo do Valor Futuro - Fórmula Básica: 
 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 
 
 
 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1+𝑖)𝑛
 𝑛 =
𝑙𝑛(
𝐹𝑉
𝑃𝑉
)
𝑙𝑛(1+𝑖)
 𝐼𝑁𝑇 = 𝑃𝑉. [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖 = √
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝑛
− 1 
 
 
 
Exemplos: 
1) (Cálculo do montante) Uma pessoa aplicou o valor de $ 600,00 à taxa de 2% a.m. 
durante 5 meses, capitalizado mensalmente. Calcule o montante. 
 PV = $ 600,00 
 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 n = 5 períodos de capitalização (meses) 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 => 𝐹𝑉 = 600 . (1 + 0,02)5 = 662,45 
 
f FIN f 2 600 CHS PV 2 i 5 n FV 
 
 
2) (Cálculo do Valor Atual) Que valor, aplicado a juros compostos, à taxa de 2% a.m., 
capitalizada mensalmente durante 5 meses, formou o montante de $ 662,45? 
 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 n = 5 períodos de capitalização (meses) 
 FV = $ 662,45 
 
 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1+𝑖)𝑛
 => 𝑃𝑉 = 
662,45
(1+0,02)5
= 600 
 
 
f FIN f 2 662.45 CHS FV 2 i 5 n PV 
 
 
3) (Cálculo do Tempo) O valor de $ 600,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 2% 
a.m., capitalizada mensalmente, formando o montante de $ 662,45. Quanto tempo ficou 
aplicado? 
PV = $ 600,00 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
FV = $ 662,45 
 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
𝐹𝑉
𝑃𝑉)
𝑙𝑛(1 + 𝑖)
 => 𝑛 =
𝑙𝑛 (
662,45
600,00)
𝑙𝑛(1 + 0,02)
= 5,0001 
 
 
f FIN f 2 600 CHS PV 2 i 662.45 FV n 
 
 
4) (Cálculo da taxa) O valor de $ 600,00 aplicado a juros compostos, durante 5 meses, 
com capitalização mensal, formou o montante de $ 662,45. Calcule a taxa de juros. 
 PV = $ 600,00 
 n = 5 períodos de capitalização (meses) 
 FV = $ 662,45 
 
 
𝑖 = √
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝑛
− 1 => 𝑖 = √
662,45
600,00
5
− 1 = 2,000047% 𝑎. 𝑚. 
 
f FIN f 2 600 CHS PV 5 n 662.45 FV i 
 
 
5) (Cálculo dos juros) Quanto rendeu de juros o capital de $ 600,00, aplicado a juros 
compostos durante 5 meses à taxa de 2% a.m., capitalizada mensalmente. 
 PV = $ 600,00 
 i = 2% a.m. 
 n = 5 períodos de capitalização (meses) 
 
 
𝐼𝑁𝑇 = 𝑃𝑉. [(1 + 𝑛)𝑛 − 1] => 𝐼𝑁𝑇 = 600[(1 + 0,02)5 − 1] = 62,45 
 
 
f FIN f 2 600 CHS PV 2 i 5 n FV RCL PV + 
 
 
 
 
Taxa Nominal – Taxa Proporcional – Taxa Efetiva 
 
 
Taxa nominal: uma taxa de referência, não realmente paga ou recebida. 
 
Taxa proporcional: é a taxa de nominal expressa na unidade de tempo da operação. Por 
se expressa no tempo da operação, é chamada também de taxa efetiva. 
 
Fórmula básica: 𝑖𝑝 = 𝑖 (
𝑛𝑑
𝑛𝑐
) 
 
Em que: ip = taxa proporcional 
i = taxa nominal 
 nd = tempo de desconto 
 nc = tempo de capitalização 
Na fórmula, (𝑛𝑑/𝑛𝑐) indica a razão das unidades de tempo. 
Exemplos: 
 
1) Qual a taxa mensal proporcional a uma taxa nominal de 9% a.a.? 
 i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 
 nc = 12 meses 
 nd = 1 mês 
 
𝑖𝑝 =
𝑖 . 𝑛𝑑
𝑛𝑐
 => 𝑖𝑝 =
0,09 . 1
12
 = 0,0075 ou 0,75% ao mês 
 
2) Qual é a taxa nominal anual, proporcional a uma taxa efetiva diária de 0,15%? 
 i = 0,15% a.d. = 0,0015 a.d. 
 nc = 1 dia 
 nd = 360 dias 
 
𝑖𝑝 =
𝑖 . 𝑛𝑑
𝑛𝑐
 => 0,0015 =
𝑖 . 1
360
 = 0,54 ou 54% ao ano 
 
 
 
Taxa Equivalente: é a taxa efetiva medida para diferentes capitalizações. Deve gerar 
sempre o mesmo montante. 
 
Fórmula básica: 𝑖𝑒 = (1 + 𝑖𝑝)
𝑛𝑑
𝑛𝑐 − 1 
 
 
Em que: ie = taxa efetiva 
 ip = taxa proporcional 
 nd = tempo de desconto (unidade de tempo da operação) 
nc = tempo de capitalização (unidade de tempo da taxa nominal) 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule a taxa equivalente mensal a uma taxa efetiva de 9% a.a. 
 i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 
 ie = ? 
 nc = 12 meses 
 nd = 1 mês 
 
 𝑖𝑒 = (1 + 𝑖)
𝑛𝑑
𝑛𝑐 − 1 => 𝑖𝑒 = (1 + 0,09)
1
12 − 1 = 0,007207 𝑜𝑢 0,7207% ao mês 
 
f FIN f 6 100 CHS PV 100 ENTER 9 + FV 12 n i 
 
Note aqui que como a taxa é 9%a.a., um PV=100 implica em FV = 109 após um ano. 
Calculamos, então, qual a taxa que capitalizada mensalmente para um montante inicial 
de 100 retorna ganho de 9. 
 
Assim, FV = 100(1 + 0,09)1 = 109 e FV = 100(1 + 0,007207)12 = 109 
 
2) Qual é a taxa efetiva anual, equivalente a taxa efetiva de 0,15% a.d.. 
 i = 0,15% a.a. = 0,0015 a.a. 
 nc = 1 dia 
 nd = 360 dias 
 
 𝑖𝑒 = (1 + 𝑖)
𝑛𝑑
𝑛𝑐 − 1 => 𝑖𝑒 = (1 + 0,0015)
360
1 − 1 = 0,715212 𝑜𝑢 71,5312% ao ano 
 
 
Juros sobre Período Fracionário 
 
Período fracionário: quando o tempo não corresponde a um número inteiro de períodos 
de capitalização. 
 
 
 
Juros Simples na Parte Fracionária - Método 
 
1º. Determine a taxa de juros equivalente à parte inteira 
2º. Calcule o montante futuro referente à parte inteira. 
3º. Considere o montante futuro calculado como valor presente 
4º. Determine a taxa de juros incidente ao período fracionário 
5º. Calcule o valor futuro referente à parte fracionária 
 
 
Exemplos: 
 
1) Uma pessoa aplicou o valor de $ 1.500,00, a juros compostos, a taxa efetiva de 15% 
a.a., capitalizada mensalmente, durante 8 meses e 21 dias, sendo a parte fracionária 
calculada a juros simples. Calcule o montante. 
 PV = $ 1.500,00 
 i = 15% a.a. = 0,15 a.a. (~ taxa efetiva) 
 n = 8 meses e 21 dias 
 
Cálculo da taxa mensal (como temos a taxa efetiva, calculamos a taxa equivalente): 
ie = (1 + i)
nd
nc − 1 => ie = (1 + 0,15)
1
12 − 1 = 0,011715 ou 1,17149% ao mês 
Cálculo do montante ao final de 8 meses: 
FV = PV . (1 + i)n => FV = 1 500 . (1 + 0,0117149)8 = 1 646,48 
Cálculo da taxa de juros diária (partindo da taxa equivalente, calculamos a taxa proporcional) 
ip =
i . nd
nc
 => ip =
0,0117149 . 1
30
= 0,00039 ou 0,039% ao dia 
Calcula o montante ao final de 21 dias 
FV = PV . (1 + i. n) => FV = 1 646,48. (1 + 0,00039 . 21) = 1 659,65 
2) Uma pessoa aplicou o valor de $ 1.500,00, a juros compostos, a taxa nominal de 15% 
a.a., capitalizada mensalmente, durante 8 meses e 21 dias, sendo a parte fracionária 
calculada a juros simples. Calcule o montante. 
 PV = $ 1.500,00 
 i = 15% a.a. = 0,15 a.a. (~taxa nominal) 
 n = 8 meses e 21 dias 
 
Cálculo da taxa mensal (como temos a taxa nominal, calculamos a taxa proporcional): 
ip =
i . nd
nc
 => ip =
0,15 . 1
12
= 0,0125 ou 1,25% ao mês 
 
Cálculo do montante ao final de 8 meses 
FV = PV . (1 + i)n => FV = 1 500 . (1 + 0,0125)8 = 1 656,73 
 
Cálculo do montante ao final de 21 dias 
𝐹𝑉 = PV . (1 + i. n) => FV = 1 656,73 (1 +
0,0125 . 21
30
) = 1 671,23 
 
 
Juros Compostos na Parte Fracionária 
 
(Mesmo procedimento) 
 
 
 
Exemplos: 
1) Uma pessoa aplicou o valor de $ 1.500,00, a juros compostos, a taxa efetiva de 15% 
a.a., capitalizada mensalmente, durante 8 meses e 21 dias, sendo a parte fracionária 
também calculada a juros compostos. Calcule o montante. 
 PV = $ 1.500,00 
 i = 15% a.a. = 0,15 a.a. 
 n = 8 meses e 21 dias 
 
Calcule a taxa equivalente mensal 
ie = (1 + i)
nd
nc − 1 => ie = (1 + 0,15)
1
12 − 1 = 0,0117149 ou 1,17149% ao mês 
 
Calcule o montante após a quantidade inteira de períodos de capitalização 
FV = PV . (1 + i)n => FV = 1 500 . (1 + 0,0117149)8 = 1 646,48 
 
Determine a taxa de juros equivalente diária 
ie = (1 + i)nd
nc − 1 => ie = (1 + 0,0117149)
1
30 − 1 = 0,000388 ou 0,0388% ao dia 
 
Calcular o montante usando a taxa equivalente diária 
FV = PV . (1 + i)n => FV = 1 646,48 . (1 + 0,000388)21 = 1 659,95 
 
... 
Alternativamente, pode-se transformar os dias em meses e fazer o cálculo direto 
FV = PV . (1 + i)n => FV = 1 500 . (1 + 0,0117149)8
21
30 = 1 659,95 
2) Uma pessoa aplicou o valor de $ 1.500,00, a juros compostos, a taxa nominal de 15% 
a.a., capitalizada mensalmente, durante 8 meses e 21 dias, sendo a parte fracionária 
também calculada a juros compostos. Calcule o montante. 
 PV = $ 1.500,00 
 i = 15% a.a. = 0,15 a.a. 
 n = 8 meses e 21 dias 
 
Calcule a taxa mensal, através da proporcionalidade de taxas: 
ip =
i . nd
nc
 => ip =
0,15 . 1
12
= 0,0125 ou 1,25% ao mês 
Calcule o montante para a parte inteira de períodos de capitalização. 
FV = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 => 𝐹𝑉 = 1 500 . (1 + 0,0125)8 = 1 656,73 
Determine a taxa equivalente diária 
𝑖𝑒 = (1 + 𝑖)
𝑛𝑑
𝑛𝑐 − 1 => 𝑖𝑒 = (1 + 0,0125)
1
30 − 1 = 0,00041417 𝑜𝑢 0,041417% ao dia 
Calcule o montante acrescido dos juros na parte fracionária 
 
 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 => 𝐹𝑉 = 1 656,73 . (1 + 0,0041417)21 = 1 671,20 
 
 
Alternativamente, pode-se calcular usando o tempo medido em meses 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 => 𝐹𝑉 = 1 656,73. (1 + 0,0125)
21
30 = 1 671,20 
 
 
Ou ainda, pode-se fazer o cálculo direto usando o período em meses 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 => 𝐹𝑉 = 1 500. (1 + 0,0125)8
21
30 = 1 671,20