Mat Fin CCA 2016 Aula 6 Anuidades 1

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Anuidades 
 
Séries de pagamentos ou recebimentos referentes a pagamentos de alguma dívida, 
independentemente de sua origem, se de compra, de empréstimo ou outra. 
 
Anuidades imediatas: séries de pagamentos ou recebimentos sem carência. 
 
Classificação
 
Periódicas
Não Periódicas{
Temporárias
Perpétuas{
Constantes
Variáveis{
Antecipadas
Postecipadas ou Postergadas{
Antecipadas
Postecipadas ou Postergadas{
Imediatas
Diferidas
Quanto ao período
Quanto ao prazo
Quanto ao valor
Quanto a forma{
{
Periódicas
Não Periódicas{
Temporárias
Perpétuas{
Constantes
Variáveis{
Antecipadas
Postecipadas ou Postergadas{
Antecipadas
Postecipadas ou Postergadas{
Imediatas
Diferidas
Quanto ao período
Quanto ao prazo
Quanto ao valor
Quanto a forma{
{
Aplicação
Desconto
ANUIDADES{
Anuidade Postecipada ou Postergada – Modelo Básico 
 
As parcelas ocorrem no final dos períodos. 
 
Cálculo do Valor Atual 
Qual o valor à vista de uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 prestações 
mensais, de R$ 500,00, com a primeira paga um mês após a compra, sabendo que o 
comerciante cobra juros de 3,5% a.m. 
PMT = $ 500,00 
n = 4 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) 
i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 => PV = ? 
 
 
Utilizando o Fator. 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛) => 
𝑃𝑉 = 500,00 × 𝐹𝐴𝑃(3,5%; 4) = 500,00 × 3,673079 = 1.836,54 
 
 
 
Não utilizando o Fator. 
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇 × [1 − (1 + 𝑖)−𝑛]
𝑖
 
 
𝑃𝑉 =
500 × [1 − (1 + 0,035)−4]
0,035
=
500 × 0,128558
0,035
= 1.836,54 
 
 
 
Dedução da Expressão do Fator FAP(i%;n) 
 
Considere um fluxo de caixa com 4 pagamentos periódicos de R$1 e taxa de juros de 
3,5%. 
 
 
O valor atual é dado por: 
 
PV = 1 x FSP(3,5%;1) + 1 x FSP(3,5%;2) + 1 x FSP(3,5%;3) + 1 x FSP(3,5%;4) 
 = 1 x [FSP(3,5%;1) + FSP(3,5%;2) + FSP(3,5%;3) + FSP(3,5%;4)] 
 
Sabendo que FSP (i%, n) = 1 / (1+ i)
n
 
 
PV = 1 x [0,966184 + 0,933511 + 0,901943 + 0,871442] 
 = 1 x [3,3673079] 
 
Fórmula Geral: 
𝐹𝑆𝑃(𝑖%; 𝑛) =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛
 
 
----- 
FSP (fator de valor montante para valor presente): FSP(i%;n) = 1 / (1 + i)n 
Progressão Geométrica (PG) 
 
Toda uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro (a
1
), 
multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão. 
 
Exemplos: a) 2, 8, 32, 128, 512, 2048, ... a
1
 = 2; q = 4 
 
b) 2, 3,6, 6,48, 11,664, 20,9952, 37,79136, ... a
1
 = 2; q = 1,8 
 
 
 
 
 
Dada uma progressão, pode-se achar sua razão dividindo-se quaisquer dois números 
sucessivos da PG: 
 
𝑞 =
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG 
 
Seja a PG (a
1
, a
2
,
 
a
3
,
 
a
4
, ... ,
 
a
n
, ...) . 
 
A soma dos n primeiros termos S
n
 é: 
 
S
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 + a
4
 + ... + a
n-1 
+ a
n
 
 
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: 
 
S
n
.q = a
1
.q + a
2
.q + a
3
.q + a
4
.q + ... + a
n-1
.q
 
+ a
n
.q 
 
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: 
 
S
n
.q = a
2
 + a
3
 + a
4
 + ... + a
n 
+ a
n
.q 
 
Observe que a
2
 + a
3
 + a
4
 + ... + a
n 
 é igual a S
n
 - a
1
. Logo, substituindo, vem: 
 
S
n
.q = S
n
 - a
1 
+ a
n
.q 
 
 
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: 
 
𝑆𝑛 =
𝑎𝑛. 𝑞 − 𝑎1
𝑞 − 1
 
 
Se, ainda, substituirmos a
n
 = a
1
.q
n-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula 
da soma, ou seja: 
 
𝑆𝑛 = 𝑎1
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
 
 
 
Exemplo: 
Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG (2, 8, 32, 128, 512, 2048, ...). Sabemos 
que a
1
 = 2 e q = 4. Então: 
 
𝑆10 = 2
45−1
4−1
 = 682 ( = 2 + 8 + 32 + 128 + 512) 
 
 
 
 
Progressão Geométrica Ilimitada (infinitos termos) e Decrescente 
 
Nestas condições tem-se, no limite, a
n
 = 0. Substituindo na fórmula anterior, vem: 
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
 
 
Exemplo de aplicação: 
 
Resolva a equação: x + x /2 + x /4 + x /8 + x /16 + ... =100 
 
 PG ilimitada com a
1
 = x e q = 1/2 
 
Logo, substituindo na fórmula, vem: 
𝑆∞ =
𝑥
1 − 1 2⁄
= 100 => 𝑥 = 50 
 
 
 
 
 
PG na Matemática Financeira: 
 
Suponha n pagamentos mensais de R$100, com carência de 30 dias, e uma taxa de 
juros de i % ao mês. O valor presente desse financiamento é: 
 
𝑃𝑉 =
100
1 + 𝑖
+
100
(1 + 𝑖)2
+
100
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
100
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
 
𝑃𝑉 = 100 [ 
1
1 + 𝑖
+
1
(1 + 𝑖)2
+
1
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
1
(1 + 𝑖)𝑛
] 
 
 PG com 𝑎1 =
1
1+𝑖
 e 𝑞 =
1
1+𝑖
 
 
A soma da PG fica 𝑆𝑛 =
1
1+𝑖
(
1
1+𝑖
)
𝑛
−1
1
1+𝑖
−1
. Rearranjando, 
 
𝑆𝑛 =
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖(1+𝑖)𝑛
 que é o FSP(i%;n) 
 
 
Amortização pelo Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) 
 
Caso Sem Carência Postecipada ou Postergada 
 
Uma mercadoria que pode ser adquirida em 4 prestações mensais, de R$ 500,00, com a 
primeira paga um mês após a compra, com juros de 3,5% a.m. Qual seria seu preço a 
vista? 
PMT = $ 500,00 
n = 4 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) 
i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
 
n PMT INT AMORT Saldo 
0 0,00 0,00 0,00 1.836,54 
1 500,00 64,28 435,72 1.400,82 
2 500,00 49,03 450,97 949,85 
3 500,00 33,24 466,76 483,09 
4 500,00 16,91 483,09 0,00 
 
Em que: 
 
n PMT INT AMORT Saldo 
0 0,00 0,00 0,00 1.836,54 
1 500,00 64,28 435,72 1.400,82 
2 500,00 49,03 450,97 949,85 
3 500,00 33,24 466,76 483,09 
4 500,00 16,91 483,09 0,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Cálculo da Prestação) 
Uma mercadoria que custa à vista $ 1.836,54 foi vendida em 4 prestações mensais, com 
a primeira paga 1 (um) mês após a compra. Sabendo que a taxa de juros cobrada é 3,5% 
a.m., qual é o valor de cada prestação? 
PV = $ 1.836,54 
i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. 
n = 4 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) 
 => PMT= $ ? 
 
Utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 𝑛)⁄ => 
𝑃𝑀𝑇 = 1.836,54 𝐹𝐴𝑃(3,5%; 4) =⁄ 1.836,54 3,673079⁄ = 500,00 
 
Não utilizando o Fator: 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑃𝑉 × 𝑖
[1 − (1 + 𝑖)−𝑛]
 
𝑃𝑀𝑇 =
1.836,54 × 0,035
[1 − (1 + 0,035)−4]
=
64,2789
0,128558
= 500,00 
 
 
(Cálculo da Quantidade de Prestações) 
A mercadoria de $ 1.836,54 foi vendida em prestações mensais de $ 500,00, à taxa de 
3,5% a.m., pagando a primeira 1 (um) mês após a compra. Quantas prestações devem 
ser pagas? 
PV = $ 1.836,54 
PMT = $ 500,00 
i = 3,57% a.m. = 0,035 a.m. 
=> n = ? 
 
𝑛 = [
𝑙𝑛(1−
𝑃𝑉×𝑖
𝑃𝑀𝑇
)
𝑙𝑛(1+𝑖)
] => 
 
𝑛 = − [
𝑙𝑛 (1 −
1.836,54 × 0,035
500,00 )
𝑙𝑛(1 + 0,035)
] = − [
𝑙𝑛(0,871442)
𝑙𝑛(1,035)
] = − [
−0,13761
0,034401
] = 4 
 
 
 
(Cálculo da Taxa) 
A mercadoria que custa $ 2.100,00 pode ser adquirida em 6 prestações mensais, sem 
entrada e sem acréscimo, ou à vista com 10% de desconto. Calcule a taxa de juros. 
PV = $ 1.890,00 (2.100 - 10%) 
PMT = $ 350,00 ( 2.100  6) 
n = 6 prestações mensais (anuidade Postecipada ou Postergada) 
=> i = ? 
Sabe-se que 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐴𝑃(𝑖%;𝑛). Então: 
𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 6) =
𝑃𝑉
𝑃𝑀𝑇
=> 𝐹𝐴𝑃(𝑖%; 6) =
1.890
350
= 5,4000 
Mas 𝐹𝐴𝑃(𝑖%, 6) =
[1−(1+𝑖)−6]
𝑖
= 5,4000 
Por aproximação: 
FAP(i%;6) = 5,4000 FAP(3,25%;6) = 5,372590 
FAP (3,00%;6) = 5,417191 FAP(3,00%;6) = 5,417191 
 ∆ = 0,017191 0,25% = 0,044601 
=> ∆ = 0,25% . 0,017191 / 0,044601 = 0,09636% => i = 3% + 0,09636% = 3,09636%