Geometria Diferencial - Superfícies

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MTM1067 - Geometria Diferencial Profa. Claudia C Pansonato
Superf´ıcies — Lista de Exerc´ıcios XI
1. Seja F : U ⊂ R2 → R3 dada por
F (u, v) = (u senα cos v, u senα sen v, u cosα),
(u, v) ∈ U = {(u, v) ∈ R2;u > 0}, α = const.
a. Prove que F e´ um difeomorfismo local de U sobre
um cone C com o ve´rtice na origem e 2α como o aˆngulo
do ve´rtice.
b. F e´ uma isometria local?
2. Prove a seguinte “rec´ıproca”da proposic¸a˜o 1 (Man-
fredo pa´g.220): Seja ϕ : S → S¯ uma isometria e x : U → S
uma parametrizac¸a˜o em p ∈ S; enta˜o ϕ ◦ x e´ uma para-
metrizac¸a˜o em ϕ(p) e E = E¯, F = F¯ , G = G¯.
3. Mostre que um difeomorfismo ϕ : S → S¯ e´ uma
isometria se e somente o comprimento de arco de qualquer
curva parametrizada em S e´ igual ao comprimento de arco
da curva imagem por ϕ.
Sugesta˜o: A ida e´ imediata. Para provar a volta,
seja p ∈ S e v ∈ TpS, v 6= 0. Considere uma curva
α : (−�, �)→ S, com α′(0) = v. Temos que |dϕp(α′(0))| =
|α′(0)|, pois caso contra´rio, se |dϕp(α′(0))| > |α′(0)|, enta˜o
numa vizinhanc¸a J de 0 em (−�, �), |dϕp(α′(t))| > |α′(t)|.
Isto implica que o comprimento de α(J) e´ maior que o
comprimento de ϕ ◦ α(J), uma contradic¸a˜o.
4. Sejam S1, S2 e S3 superf´ıcies regulares. Prove que:
a) Se ϕ : S1 → S2 e´ uma isometria, enta˜o ϕ−1 : S2 → S2
tambe´m e´ uma isometria.
b) Se ϕ : S1 → S2, ψ : S2 → S3 sa˜o isometrias, enta˜o
ψ ◦ ϕ : S1 ◦ S2 e´ uma isometria.
Isto implica que as isometrias de uma superf´ıcie regular
S constituem um grupo, chamado grupo das isometrias de
S.
5. Seja S uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o. Prove que as
rotac¸o˜es em torno de seu eixo de rotac¸a˜o sa˜o isometrias
de S.