Integrais de Linha

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Calcular ∫ +
C
2 )dy.xydx.y( ao longo do caminho poligonal fechado de 
A(1,0) para B(1,1), de B(1,1) para C(0,0), e, de C(0,0) para A(1,0). 
Resposta: 
6
1)dy.xydx.y(
C
2
−=+∫ . 
Solução: 
Observe que o caminho C é formado pelos segmentos de reta AB , BC e 
CA , formando um caminho poligonal fechado percorrido no sentido anti-
horário. 
Admita-se, então as curvas C1, C2 e C3 dadas por tais segmentos, ou seja: 
C1: AB , C2: BC , e, C3: CA . 
Logo, tem-se que: 
∫∫∫∫ +++++=+
321 C
2
C
2
C
2
C
2 dy.xydx.ydy.xydx.ydy.xydx.ydy.xydx.y . 
Considere, então, o cálculo de cada um dos integrais envolvidos. 
 (a) Cálculo de ∫ +
1C
2 dy.xydx.y 
Observando-se que a reta que passa pelos pontos A(1,0) e B(1,1) é 
dada por x = 1, tem-se que dx = 0 e C1 é tal que: 
ℜ⊂∈∀= ]1,0[y,1x:C1 . 
Logo: 
2
1dy.ydy.y.1dx.0(dy.xydx.y 1
0y
1
0y
C
2
1
==+=+ ∫∫∫
==
. 
(b) Cálculo de ∫ +
2C
2 dy.xydx.y 
Observando-se que a reta que passa pelos pontos B(1,1) e C(0,0) é 
dada (segundo a equação do feixe de retas )xx.(
xx
yy)yy( 1
12
12
1 −





−
−
=− ) 
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Lista de Exercícios Cs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
por: x)x(fy1x1y)1x.()10(
)10(1y ==⇒−=−⇒−
−
−
=− y = x, tem-se que 
dy = dx e C2 é tal que: 
ℜ⊂∈∀== ]1,0[x,x)x(fy:C2 , onde 2C é tomada do ponto B(1,1) 
até o ponto C(0,0). 
Logo: 
3
2dx.x2dx.x.xdx.x(dy.xydx.y 0
1x
20
1x
2
C
2
2
−==+=+ ∫∫∫
==
. 
(c) Cálculo de ∫ +
3C
2 dy.xydx.y 
Observando-se que a reta que passa pelos pontos C(0,0) e A(1,0) é 
dada por: y = 0, tem-se que dy = 0 e C3 é tal que: 
ℜ⊂∈∀= ]1,0[x,0y:C3 . 
Logo: 0)dy.0dx.0(dy.xydx.y 1
0x
C
2
3
=+=+ ∫∫
=
. 
Portanto, tem-se que: 
=+++++=+ ∫∫∫∫
321 C
2
C
2
C
2
C
2 dy.xydx.ydy.xydx.ydy.xydx.ydy.xydx.y 
6
10
3
2
2
1
−=+−= . 
 
(02) Determinar o trabalho realizado pela força j.5i.2F rrr −= sobre uma partí-
cula movendo-se ao longo do caminho poligonal tomado de A(0,0) até 
B(1,1), de B(1,1) até C(1,2) e de C(1,2) até D(2,2). 
 Resposta: .)t.u(6T −= . 
Solução: 
Imediatamente resulta que: 
∫∫∫ −=+−==
CCC
)dy.5dx.2(]dy.jdx.i].[j.5i.2[(Rd.FT rrrrrr . 
Contudo, o caminho C é formado pelas curvas C1: AB , C2: BC e C3: CD . 
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Lista de Exercícios Cs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
Portanto, resulta que: 
∫∫∫∫ −+−+−=−
321 CCCC
)dy.5dx.2()dy.5dx.2()dy.5dx.2()dy.5dx.2( . 
Calculando-se cada um dos integrais de linha envolvidos, tem-se que: 
Se C1: AB , então C1: y = x e dy = dx. 
Se C2: BC , então C2: x = 1 e dx = 0. 
Se C3: CD , então C3: y = 2 e dy = 0. 
Portanto: 
=−+−+−=− ∫∫∫∫
321 CCCC
)dy.5dx.2()dy.5dx.2()dy.5dx.2()dy.5dx.2( 
=+−−=−= ∫ ∫∫∫
= ==
2
1y
2
1x
1
0x
C
dx.2dy.5)dx.5dx.2()dy.5dx.2(
 
6253 −=+−−= . 
Ou seja: .)t.u(6Rd.FT
C
−== ∫
rr
. 
 
(03) A força variável j).y2x4(i).y4x3(F rrr ++−= move uma partícula ao lon-
go da curva 



=
+=
2t3y
1t4x
:C , com 2t0 ≤≤ de (1,0) até (9,12). Calcular o 
trabalho realizado se as distâncias são dadas em centímetros e a força é 
dada em dynas. 
 Resposta: 440 ergs; 
Observação: 
O erg é a unidade de energia no sistema de unidades Centímetro-Grama-
Segundo (CGS). Entende-se que a palavra energia faz referência ao poten-
cial inato para executar trabalho ou realizar uma ação. Um erg equivale a 
1.10-7 joule ou 0,1µ J. 
Solução: 
Denotando por T o trabalho, é imediato que: 
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=+++−== ∫∫
CC
]dy.jdx.i].[j).y2x4(i).y4x3[(Rd.FT rrrrrr 
=+++−+= ∫
=
dt.t6))t3(2)1t4(4(dt.4))t3(4)1t4(3( 222
0t
=+++= ∫
=
dt).t36t4812t72( 322
0t
 
ergs440
4
t36
3
t48
t12
2
t72
2
0
432
=





+++= . 
 
(04) Calcular ∫ ++−
)2,1(
)1,0(
22 )dy).xy(dx).yx(( ao longo do segmento de reta 
tomado de (0,1) até (1,2). 
Resposta: 
3
5)dy).xy(dx).yx(()2,1(
)1,0(
22
=++−∫ . 
Solução: 
Primeiramente observe que a reta r que passa pelos pontos )1,0()y,x( 11 = 
e )2,1()y,x( 22 = é dada por: 
)xx.(
xx
yy)yy(:r 1
12
12
1 −





−
−
=− , ou seja: 
1xy:rx1y:r)0x.(
01
12)1y(:r +=⇒=−⇒−





−
−
=− . 
Logo, se 1xy:r += , então dxdydxdx.1dx).x('fdy =⇒=== . 
Conseqüentemente, tem-se que: 
=++−∫
)2,1(
)1,0(
22 )dy).xy(dx).yx(( 
∫
=
=++++−=
1
0x
22 dx).x)1x((dx)).1x(x( 
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CDCI/CMCD 
∫
=
=++++−−=
1
0x
22 dx).x1x2x(dx).1xx(
3
51
3
2
2
x2
3
x2dx).x2x2(1
0
1
0
23
2
=+=





+=+= ∫ . 
Assim sendo: 
3
5)dy).xy(dx).yx(()2,1(
)1,0(
22
=++−∫ . 
 
(05) Calcular ∫ ++−
)2,1(
)1,0(
22 )dy).xy(dx).yx(( ao longo da parábola definida 
por: 



+==
==
1t)t(gy
t)t(fx
2 . 
Resposta: 2)dy).xy(dx).yx(()2,1(
)1,0(
22
=++−∫ . 
Solução: 
Primeiramente observe que: 



=⇒+==
=⇒==
dt.t2dy1t)t(gy
dtdxt)t(fx
2 . 
Se x = 0, então t = 0. 
Se x = 1, então t = 1. 
Se y = 1, então t = 0. 
Se y = 2, então t = 1. 
Logo, tem-se que: 
=++−∫
)2,1(
)1,0(
22 )dy).xy(dx).yx(( 
∫
=
=+++−−=
1
0t
2222 )dt.t2).t)1t((dt).1tt(( 
∫
=
=++++−=
1
0t
532 dt).t2t4t2t21(
2
6
462
3
211
6
21
6
t2
4
t4
3
t2
2
t2
t
1
0
6432
=
++
=++++−=





++++−= . 
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Lista de Exercícios Cs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
Assim sendo: 2)dy).xy(dx).yx(()2,1(
)1,0(
22
=++−∫ . 
 
(06) Calcular ∫ +++
C
22 dy)x2y(dx)y3x( , se C é dada por 



+=
=
1ty
tx
2 , com 
1t0 ≤≤ ; 
Resposta: 8dy)x2y(dx)y3x(
C
22
=+++∫ . 
Solução: 
Observe que 



=⇒+=
=⇒=
dt.t2dy1ty
dtdxtx
2 . 
Logo, tem-se que: 
=+++∫
C
22 dy)x2y(dx)y3x(
∫
=
=+++++=
1
0t
2222 dt.t2).t2)1t((dt)).tt(3t( 
∫
=
=++++=
1
0t
532 dt).t2t4t8t23(
8
6
21
3
813
6
t2
4
t4
3
t8
2
t2
t3
1
0
6432
=++++=





++++= . 
 
(07) Calcular ∫ −++
C
dy)xy(dx)yx( , se C é o segmento de reta tomado de 
(1,1) a (4,2); 
Resposta: 11dy)xy(dx)yx(
C
=−++∫ . 
Solução: 
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CDCI/CMCD 
Observando-se que a equação da reta que passa por (1,1) e (4,2) é dada 
por: 
3
2
3
xy)1x(
3
11y)1x.(
14
12)1y( +=⇒−=−⇒−





−
−
=− , tem-se que 
3
dxdy = . 
Logo, resulta que: 
 ∫∫
=
=





−++





++=−++
4
1x
C
3
dx
.x
3
2
3
xdx.
3
2
3
x
xdy)xy(dx)yx( 
119/99
9
2475
x.
9
8
2
x
.
9
10
.dx.
9
26
9
x10
4
1
4
1x
2
==
+
=





+=




 +
+= ∫
=
. 
 
(08) Calcular ∫ −
C
ydxxdy , se C é dada por: 



=
+=
)tsen(y
)tcos(2x
, com pi≤≤ 2t0 ; 
Resposta: pi=−∫ 2ydxxdy
C
. 
Solução: 
Se )tcos(2x += , então dt).t(tsendx −= . 
Logo, tem-se que: 
∫∫∫
pi
=
pi
=
=+=++=−
2
0t
2
0t
22
C
dt).1)tcos(2(dt)).t(sen)t(cos)tcos(2(ydxxdy 
[ ] pi=pi+=+= pi
=
220t)tsen(2 2
0t
. 
 
(09) Calcular ∫ +
C
22 )dy.xy10dx.yx6( ao longo da curva 3xy = entre os pontos 
M(1,1) e N(2,8). 
Resposta: 3132)dy.xy10dx.yx6(
C
22
=+∫ . 
Solução: 
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Lista de Exercícios Cs4C3e04 
 
CDCI/CMCDObserve-se que se 3xy = , dx.x3dy 2= . 
Logo, tem-se que: 
∫∫ =+=+
)8,2(
)1,1(
2632
C
22 )dx.x3.x.x10dx.x.x6()dy.xy10dx.yx6(
 
=−+−=





+=+= ∫
=
)3)1024.(3()164(
10
x30
6
x6dx).x30x6(
2
1
1062
1x
95
 
3132306963 =+= . 
 
(10) Calcular ∫ +
C
dy)y2x( , se C é o arco da parábola 2yx = tomado de (1,-1) 
a (9,-3); 
Resposta: 
3
2dy)y2x(
C
−=+∫ . 
Solução: 
Se 2yx = , então dy.y2dx = . 
Logo, tem-se que: 
3
21
3
19
3
27
2
y2
3
ydy).y2y(dy)y2x(
3
1
233
1
2
C
−=−++
−
=





+=+=+
−
−
−
−
∫∫ .