Cristalografia - Elementos de simetria

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CRISTALOGRAFIA 
CAPÍTULO III 
NOTAÇÃO CRISTALOGRÁFICA 
 
 
3.1. EIXOS CRISTALOGRÁFICOS 
 
Denominamos eixos cristalográficos a um conjunto de linhas imaginárias 
paralelas às arestas limitantes das principais faces de um cristal, e que se interceptam no 
centro da cela unitária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixos cristalográficos de um cristal hipotético 
 
No exemplo acima, os três eixos são perpendiculares uns aos outros. O eixo a é 
horizontal e está orientado no sentido do fundo para a frente da figura; o eixo b também é 
horizontal e orientado no sentido da esquerda para a direita, e finalmente, o eixo c é vertical e 
orientado no sentido de baixo para cima. As extremidades dos eixos, segundo suas 
orientações, recebem um sinal + (positivo) ou – (negativo), conforme figura. 
 
 
3.2. SISTEMAS CRISTALINOS 
 
As trinta e duas classes de simetria dos cristais podem ser agrupadas em 06 (seis) 
sistemas cristalinos, devido às características de simetria em comum, a saber: 
 
¾ Sistema isométrico: É aquele em que todos os cristais possuem quatro eixos ternários de 
simetria e os eixos cristalográficos possuem comprimentos iguais e são perpendiculares entre 
si. 
 
¾ Sistema hexagonal: É aquele em que todos os cristais possuem: ou um eixo ternário de simetria, 
ou um eixo senário de simetria. Possuem 04 eixos cristalográficos; sendo 03 horizontais, com 
comprimentos iguais, cruzando-se em ângulos de 120°; o quarto eixo cristalográfico é o 
vertical, cujo comprimento é diferente dos demais. 
 
¾ Sistema tetragonal: Todos os cristais desse sistema têm a característica de possuírem um eixo 
quaternário de simetria. Possuem 03 eixos cristalográficos perpendiculares entre si, sendo os 
dois horizontais de comprimentos iguais e o vertical de comprimento diferente. 
 2
 
¾ Sistema ortorrômbico: A característica comum a todos os cristais deste sistema é apresentarem, ao 
menos, um eixo binário de simetria. Possuem 03 eixos cristalográficos perpendiculares entre si, 
todos com comprimentos diferentes. 
 
¾ Sistema monoclínico: Os cristais caracteristicamente apresentam apenas um eixo de simetria 
(binário), ou um único plano de simetria, ou a combinação de ambos. Possuem 03 eixos 
cristalográficos, todos com comprimentos diferentes. Dois eixos formam um ângulo oblíquo 
entre si, e o terceiro eixo é perpendicular ao plano formado pelos dois anteriores. 
 
¾ Sistema triclínico: Seus cristais caracterizam-se pela ausência de eixos ou planos de simetria. 
Possuem três eixos cristalográficos com comprimentos desiguais e oblíquos entre si. 
 
 
3.3. RELAÇÃO AXIAL 
 
Se pudéssemos manusear uma cela unitária de um cristal qualquer, procederíamos 
às medições de suas arestas, que são paralelas aos eixos cristalográficos e, conseqüentemente, 
obteríamos os comprimentos reais de seus eixos cristalográficos. Utilizando-se do “raios-X” 
podemos fazer medições muito precisas da cela unitária e, portanto, obter relações de 
comprimentos verídicos dos eixos cristalográficos. Vejamos os dados obtidos para o cristal de 
enxofre: 
 
Medida efetuada na 
cela ao longo do eixo Dimensões em Å 
a 10,48 
b 12,92 
c 24,55 
 
Se estabelecermos valores comparativos em função de b (uma unidade), 
obteremos as seguintes relações: 
 
Eixo a Eixo b Eixo c 
10,48 12,92 24,55 
0,81 1 1,90 
 
 Deste modo, os valores obtidos da operação acima expressam os comprimentos 
relativos das arestas da cela que, consequentemente, correspondem aos eixos cristalográficos. 
 
 
3.4. PARÂMETROS 
 
 Podemos estabelecer as medidas relativas das faces de um cristal fazendo a indicação 
de suas respectivas intercepções com os eixos cristalográficos. 
Dessa forma, diremos se uma face é paralela a um eixo e corta os outros dois, ou se é 
paralela a dois eixos e corta o terceiro, ou ainda, se corta os três eixos. Além disso, devemos 
determinar a que distância relativa tal face corta determinado eixo. 
 
 
 
 
 3
3.5. LEI DA RACIONALIDADE DOS ÍNDICES 
 
 Conhecida por lei de Haüy (1784), foi desenvolvida a partir de estudos teóricos sobre 
a estrutura cristalina dos minerais. 
Sejam OAB, OAC, OBC e ABC quatro planos principais de um cristal, de 
maneira que nenhum deles seja paralelo à intersecção de outros dois quaisquer. Num cristal, 
designam-se por planos principais, aqueles planos que correspondam à observação de uma 
propriedade descontínua como, por exemplo, uma face cristalográfica, um plano de clivagem, 
um plano de geminação (macla), como podemos observar na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Seja PQR um outro plano principal do mesmo cristal, não paralelo a qualquer dos 
precedentes. 
Consonante à lei da constância dos ângulos diedros, o plano ABC não será 
caracterizado pelas suas dimensões, mas pela sua orientação. Em outras palavras, não são 
importantes os comprimentos OA, OB e OC, mas são importantes para sua definição planar 
as razões: OA:OB, OB:OC e OC:OA. 
 
Do mesmo modo, para um plano PQR são fixas as razões OP:OQ, OQ:OR e 
OR:OP. 
 
O 
Q
R
C
P
A
B
 4
A lei de Haüy estabelece que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e consequentemente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde m/n, n/p e p/m são números racionais simples, ou seja, são números inteiros, 
normalmente pequenos, menores que 5. 
Os valores, necessariamente inteiros, de m, n e p para o plano PQR dependem, 
evidentemente, dos planos escolhidos, OAB, OAC, OBC e ABC, mas é sempre possível 
escolher planos principais, tais que aqueles parâmetros sejam pequenos números. 
A lei de Haüy tem como ponto de partida uma hipotética estrutura triperiódica dos 
cristais. Embora nenhuma medição possa provar que uma razão de comprimentos seja 
racional, a verdade é que os valores encontrados para as razões m/a, n/p e p/m são muito 
próximas de números racionais simples e tanto mais quanto maior for o rigor das medições, 
pelo que os dados da observação parecem confirmar aquela lei e a estrutura triperiódica dos 
cristais. 
 
O P
O Q
m
n
O A
O B
O Q
O R
n
p
O B
O C
=
=
OR
OP
p
m
OC
OA
=
O 
Q
R 
C 
P 
A 
B 
 5
3.6. EXPRESSÃO ARITMÉTICA DA LEI DA RACIONALIDADE DOS ÍNDICES E 
ÍNDICES DE MILLER 
 
 
Consideremos a face cristalográfica ABC, referida à forma primitiva na figura 
abaixo: 
 
 
 
Pela lei de Haüy, podemos fazer as seguintes relações: 
 
onde m, n e p, são números inteiros menores possíveis, e as faces da forma 
fundamental são convenientemente escolhidas. 
 
Como a face ABC é definida somente pela sua orientação e não por uma posição fixa 
no espaço, podemos considerar que: 
 
OA = m·a ; OB = n·b ; e OC = p·c 
 
As quantidades, m, n e p são designadas por características numéricas (ou 
coeficientes de derivação) da face ABC; e os seus inversos, depois de convertidos 
proporcionalmente em números inteiros, irão constituir os índices de Miller, h, k e l, daquela 
face. Ou seja: 
 
OA = 1,5a ; OB = 2b e OC = 3c ; consequentemente m:n:p = 3:4:6 
 
Sendo h:k:l = m-1:n-1:p-1 (h,k,l, inteiros primos entre si), teremos: 
 
h:k:l: = 4:3:2 
 
OA
OB
m
n
a
b
OB
OC
n
p
b
c
e OC
OA
p
m
c
a
= ⋅ = ⋅ = ⋅;
X 
O
Y 
Z
A
B
C
a
b
c
 6
O índice de Miller para uma face (ou outro plano principal do cristal) é anotado entre 
parênteses, ou seja: 
(h,k.l) = (4,3,2) 
 
Sempre que uma face intercepte um eixo coordenado na parte negativa deste, o 
respectivo índice de Miller receberá um traço sublinhando-o na parte superior; e sempre que 
uma face for paralela a um eixo coordenado, o respectivo índice será igual a zero. No caso deuma face unitária (ou fundamental) o símbolo será (1,1,1). 
 
Seja a figura abaixo, onde acham-se ilustradas as posições relativas de seis planos 
principais de um cristal OAB, OAC, OBC, ABC, BCE e BDE: 
 
 
 
 
 
 
 
Por serem normais entre si, definindo, portanto, um sistema de eixos coordenados 
cartesianos, escolheremos como faces coordenadas os planos OAB, OAC e OBC. Qualquer 
uma das faces restantes pode ser tomada como unitária, à falta de qualquer informação sobre a 
sua importância relativa. 
A 
X 
Y 
Z
E 
D
O
C
B 
 7
A 
X 
Y
Z 
 
D
O
C
B
A 
X 
Y
Z 
E 
D
O
C
B
1ª possibilidade: ABC é a face unitária: 
 
A relação axial será então, 
 
a : b : c = OA : OB : OC = 1,630 : 1 : 1,5600 
 
índice da face BED: 
 
OE = 1/2 OA 
OB = 1 OB 
OD = 1/3 OC 
 
De onde, 
 
m : n : p = 1/2 : 1 : 1/3 
 
e 
 
h : k : l = m-1 : n-1 : p-1 = 2 : 1 : 3 
 
Conclusão: BED tem por índice (2 1 3). 
 
 
índice da face BCE: 
 
OE = 1/2 OA 
OB = 1 OB 
OC = 1 OC 
 
De onde, 
 
m: n: p = 1/2 : 1 : 1 
 
pelo que 
 
h : k : l = 2 : 1 : 1 
 
Conclusão: BCE tem por índice (2 1 1). 
 8
A 
X 
Y
Z 
E 
D
O
C
B
A 
X 
Y
Z 
E 
D
O
C
B
2ª possibilidade: BED é a face unitária: 
 
A relação axial será então, 
 
a : b : c = OE : OB : OD = 0,8150 : 1 : 0,5200 
 
índice da face ABC: 
 
OA = 2 OE 
OB = 1 OB 
OC = 3 OD 
 
De onde, 
 
m : n : p = 2 : 1 : 3 
 
pelo que, 
 
h : k : l = 1/2 : 1 : 1/3 = 3 : 6 : 2 
 
Conclusão: ABC tem por índice (3 6 2). 
 
 
 
índice da face BCE: 
 
OE = 1 OE 
OB = 1 OB 
OC = 3 OD 
 
De onde, 
 
m : n : p = 1 : 1 : 3 
 
pelo que, 
 
h : k : l = 1 : 1 : 1/3 = 3 : 3 : 1 
 
 
Conclusão: BCE tem por índice (3 3 1). 
 
 
 
 9
A 
X 
Y
Z 
E 
D
O
C
B
A 
X 
Y
Z 
E 
D
O
C
B
3ª possibilidade: BCE é a face unitária: 
 
A relação axial será então, 
 
a. : b : c = OE : OB : OC = 0,8150 : 1 : 1,5600 
 
índice da face ABC: 
 
OA = 2 OE 
OB = 1 OB 
OC = 1 OC 
 
De donde, 
 
m : n : p = 2 : 1 : 1 
 
pelo que, 
 
h : k : l = 1/2 : 1 : 1 = 1 : 2 : 2 
 
Conclusão: ABC tem por índice (1 2 2). 
 
 
índice da face BDE: 
 
OE = 1 OE 
OB = 1 OB 
OD = 1/3 OC 
 
De onde, 
 
m : n : p = 1 : 1 : 3 
 
pelo que, 
 
h : k : l = 1 : 1 : 3 
 
Conclusão: BDE tem por índice (1 1 3). 
 
 
Os resultados obtidos estão resumidos no quadro abaixo: 
 
Faces coordenadas Face unitária Relação axial Símbolo das faces ABC BDE BCE 
OAB = (001) ABC 1,630 : 1 : 1,560 (111) (213) (211) 
OAC = (010) BDE 0,815 : 1 : 0,520 (362) (111) (331) 
OBC = (100) BCE 0,815 : 1 : 1,560 (122) (113) (111) 
 10
 
EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO 
 
 
1. Dados os planos abaixo, como simuladores de faces de um cristal hipotético , e 
considerando a face abc, como face principal (ou fundamental), calcule os índices 
de Miller de todas as faces. 
 
 
1.1. Face 1 = abc (cor negra): _____________________ 
1.2. Face 2 (verde): _____________________________ 
1.3. Face 3 (azul): ______________________________ 
1.4. Face 4 (vermelha): __________________________ 
1.5. Face 5 (marrom): ___________________________ 
 
 
2. Dados os índices de Miller (abaixo), deduza as respectivas relações 
paramétricas. 
 
 Índices de Miller (hkl) cálculo relações paramétricas a:b:c 
2.1. (221)_______________________________________________________ 
 
2.2. (212)_______________________________________________________ 
 
2.3. (201)_______________________________________________________ 
 
2.4. (100)_______________________________________________________ 
 
2.5. (201)_______________________________________________________ 
 
 
 11
3.7. FORMA 
 
 Em notação cristalográfica o conceito de forma é diferente daquele já estudado. 
 
 No presente caso, em específico, forma refere-se a um grupo de faces de um 
cristal, que possuam as mesmas propriedades físicas e químicas, por serem formadas 
pelos mesmos átomos no mesmo arranjamento geométrico e, além disso, mantenham uma 
mesma relação para com os elementos de simetria. 
 
Exemplos: 
 
O cristal de apofilita possui três formas 
 
{010}, {111} e {001} 
O cristal de pirita possui duas formas 
 
 
{001} e {011} 
 
 
 Ao todo, podem ser distinguidas, pelas relações angulares de suas faces, 48 tipos 
diferentes de formas de cristais. Trinta e dois correspondem às formas gerais das 32 classes de 
cristais; 10 são formas especiais fechadas do sistema isométrico; e 06 são formas abertas 
especiais (prismas) dos sistemas hexagonal e tetragonal. 
 
Algumas Das Formas Mais Gerais são: 
 
Pédio: trata-se de uma única face compreendendo uma forma; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
Pinacóide: Trata-se de uma forma constituída por duas faces paralelas; 
 
 
 
 
Domo: É o caso de duas faces não paralelas, mas simétricas em relação a um plano de 
simetria; 
 
 
 
 
Esfenóide: É o caso de duas faces não paralelas, mas simétricas em relação a um eixo de 
simetria binária ou quaternária; 
 
 
 
Biesfenóide: É uma forma constituída por quatro faces pertencentes a dois esfenóides, onde 
o esfenóide superior se alterna com o inferior; 
 
 
 
 13
Prisma: É uma forma composta por 3, 4, 6, 8 ou 12 faces, todas paralelas ao mesmo eixo; 
 
 
 
 
Pirâmide: É uma forma composta por 3, 4, 6, 8 ou 12 faces não paralelas que se 
encontram em um único ponto; 
 
 
 
Escalenoédro: É uma forma fechada apresentando 08 faces (tetragonal) ou 12 faces 
(hexagonal). As faces estão agrupadas em pares simétricos. Para as formas com 08 faces, 
existem dois pares de faces acima e dois pares abaixo em posições alternadas. Para as formas 
com 12 faces, existem três pares acima e três pares abaixo em posições alternadas. Nos 
cristais perfeitamente desenvolvidos, cada face é um triângulo escaleno; 
 
 
 
Trapezoédro: São formas que possuem 6, 8 ou 12 faces; onde, 3, 4 ou 6 faces superiores 
estão giradas em relação a 3, 4 ou 6 faces inferiores. Além destas, existe um trapezoédro 
isométrico, uma forma de 24 faces. Nos trapezoédros bem desenvolvidos, cada face é um 
trapézio; 
 
 
 
Bipirâmide: São formas fechadas apresentando 6, 8, 12, 16 ou 24 faces. Na verdade, são 
formas obtidas através da reflexão de pirâmides sobre um plano de simetria horizontal; 
 
 
 
Romboédro: É uma forma fechada, composta por 06 faces, cujas arestas de interseção não 
formam ângulos retos entre si. São formas exclusivas da divisão romboédrica do sistema 
hexagonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14
3.8. ZONAS 
 
 A um conjunto de faces, cujas arestas de interseção são paralelas entre si, 
denominamos zona. À linha que atravessa o centro de um cristal, e mantém paralelismo com 
as arestas das faces de uma zona, denominamos eixo da zona. 
 
 No exemplo abaixo, a linha [100] é o eixo da zona composta pelas faces b, r, c; e 
respectivamente, [001] é o eixo da zona composta pelas faces b, m, a. 
 
 
 
 
 
 Duas faces quaisquer, não paralelas, determinam uma zona; e o símbolo da zona, 
para tais faces, é escrita da seguinte forma: 
 
Sejam as faces: (hkl) e (pqr); 
 
O símbolo da zona será: [k . r – l . q , l . p – h . r , h . q – k . p] 
 
 
EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO 
 
Escreva os símbolos das zonas da figura acima a partir de sua formulação; 
A partir de modelo cristalográfico analógico fornecido em aula, encontre as formas, as 
zonas, e eixos eescreva os símbolos de faces, formas e zonas. 
 
 
 
3.9. HÁBITO DO CRISTAL 
 
 É a forma característica e comum, ou a combinação de formas em que a substância 
se cristaliza. O hábito de um cristal inclui a configuração geral e as irregularidades de seu 
crescimento, se estas irregularidades são de ocorrência comum. A galena, por exemplo, tem 
um hábito cúbico, a magnetita, octaédrico e a malaquita, fibroso. Isto significa que, embora 
estes minerais sejam encontrados em cristais que mostram outras formas, tais ocorrências são 
relativamente raras e seu "hábito" é cristalizar na maneira indicada. Pouco se sabe quanto aos 
fatores determinantes do hábito; pensa-se, no entanto, que a natureza da solução, a velocidade 
de crescimento do cristal, a temperatura e a pressão desempenham um papel nessa 
determinação. 
 15
Os cristais podem crescer mais rapidamente em uma direção do que em outra; outros 
cristais ao redor podem interferir e, de várias maneiras, o crescimento simétrico não se realiza. 
Diz-se destes cristais que são malformados. Ordinariamente, a quantidade de malformação 
não é tão grande a ponto de impedir o cristalógrafo de imaginar prontamente qual seria o 
cristal desenvolvido idealmente e, assim, determinar sua simetria. Deve-se notar que a 
simetria real de um cristal não depende da configuração simétrica e do tamanho de suas faces, 
mas anta da aparência física das faces e do arranjo simétrico dos ângulos interfaciais. Nas 
ilustrações abaixo estão representadas várias formas de cristal, primeiramente, desenvolvidas 
de maneira ideal e, depois, malformadas.