Relatório Pêndulo Físico Física 2 Ufba

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE FÍSICA 
 
FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO. 
 
 
Amado Lacerda Rios 
João Elias Vieira Jr. 
Raquel Marques 
Thiago Marçal B. Filho 
 
 
Pêndulo Físico 
 
 
 
 
 
Salvador/BA 
Dezembro de 2017 
 
 
Amado Lacerda Rios 
João Elias Vieira Jr. 
Raquel Marques 
Thiago Marçal B. Filho 
 
 
 
Pêndulo Físico 
 
 
 
 
Relatório da atividade prática sobre 
pêndulo físico, vinculada à disciplina Física 
II - Laboratório, do Instituto de Física da 
Universidade Federal da Bahia, como 
requisito parcial para aprovação na 
disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
O experimento comprovou a relação teórica entre 
s T
, tanto para valores onde 
0s 
, como para os demais dados do experimento, através da linearização obtida 
por meio da relação entre 
2 2/ 4T s 
 e 
2s
. O experimento foi realizado com a 
medição do período de oscilação de uma haste metálica, variando a distância 
entre o ponto de fixação e a extremidade da haste, com o ponto de fixação mais 
distante da extremidade coincidindo com o centro de massa da referida haste. 
Além disso, alguns valores encontrados com a utilização das equações obtidas 
com os dados do experimento tiveram variações pequenas, quando comparados 
com seus valores teóricos. 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 No mundo da Física, o estudo das oscilações tem grande relevância, seja 
na mecânica, na acústica ou na eletricidade. 
 O pêndulo físico, ou pêndulo composto, é qualquer sistema suspenso por 
um ponto A, que pode girar em torno de um eixo horizontal que passa por este 
ponto. Existe uma infinidade de situações reais possíveis, e que não se sujeitam 
às condições quase ideais definidas para o pêndulo simples. Não obstante, o 
pêndulo simples, quando restrito às oscilações em um plano, é um caso especial 
de pêndulo físico. 
 A posição de equilíbrio do pêndulo físico é aquela em que o centro de 
gravidade do corpo está no plano que passa pelo eixo de sustentação. No caso 
onde a gravidade é constante, o centro de gravidade coincide com o centro de 
massa do corpo (caso deste experimento). Quando o pêndulo é deslocado da sua 
posição de equilíbrio, o torque restaurador será proporcional ao produto da força 
(mg) pela distância s do ponto onde ela é aplicada até o centro de massa do 
corpo. 
 
OBJETIVO GERAL: 
 
• Executar medidas de freqüências de um pêndulo físico de modo a 
relacioná-la com a geometria e distribuição de massa que o caracteriza. 
 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 
 
• Diminuir os erros da medida; 
• Aferir na balança a massa (m) da haste metálica; 
• Registrar na tabela a massa (m) da haste metálica; 
• Utilizar a régua para medir o comprimento da haste; 
• Registrar na tabela o comprimento da haste; 
• Medir o valor do período usando todos os pontos de fixação (orifícios) 
distintos ao longo da haste. Para tal, utilizamos a média de 10(dez) períodos. 
 
MATERIAIS: 
 
• Haste metálica perfurada; 
• Cronômetro ou relógio; 
• Bases, garras, barras cilíndricas; 
• Raio de roda de bicicleta; 
• Pêndulo Físico. 
 
METODOLOGIA: 
 
Inicialmente efetuamos leitura prévia do experimento. Efetuamos a 
regulagem da balança para que a mesma estivesse devidamente nivelada e 
efetuamos a pesagem da haste metálica, tendo o cuidado de colocá-la com seu 
peso distribuído uniformemente sob a balança. 
Em seguida efetuamos a medida do comprimento da haste metálica e da 
distância de cada orifício (ponto de fixação) ao orifício do centro da haste 
metálica, onde está localizado o centro de massa da mesma. 
Por fim, com a haste metálica pendurada, transfixada pelo raio de bicicleta 
nos pontos de fixação, a partir de uma pequena variação angular (pequeno 
ângulo de “largada”), fizemos a haste oscilar dez vezes para cada ponto de 
fixação, medindo o tempo gasto pela haste para concluir essas dez oscilações, a 
fim de calcular o período (tempo de 1 oscilação), equivalente à média aritmética 
entre o tempo total e o número de oscilações (10). Ou seja, para obtermos o 
tempo de um período, efetuamos a divisão do tempo total por 10(dez), obtendo , 
assim, a média do período da oscilação, adotada como o valor do período do 
pêndulo físico para cada respectivo ponto de fixação adotado. 
 
 
 
RESULTADOS E TRATAMENTO DE DADOS 
 
 
 Tabela 1 
Dados das constantes 
Constante Valor 
 L(m) 0,40 
 m(kg) 0,128 
 Icm(kgm^2) 1,71 x 
310
 
 Icm(gcm^2) 1,71 x 
410
 
 g(m/s^2) 9,7803 
 g(cm/s^2) 978,0300 
 Pi 3,141592654 
 
 Tabela 2 
Dados das variáveis 
 Dados s(cm) t(seg) 
 1 19,0 1,04 
 2 17,0 1,00 
 3 15,0 0,97 
 4 13,0 0,96 
 5 11,0 0,97 
 6 9,0 0,97 
 7 7,0 1,02 
 8 5,0 1,13 
 9 3,0 1,37 
 10 2,0 1,68 
 11 1,0 2,13 
 12 0,0 - 
Somatório 
 Qte dados(n) 12 
 
 Tabela 3 
Dados das variáveis 
 Dados (Tab. 2) Log s (cm) Log t (seg) 
 2 1,2304 0,0000 
 4 1,1139 -0,0177 
 6 0,9542 -0,0132 
 8 0,6990 0,0531 
 10 0,3010 0,2253 
 
 
 
Tratamento dos dados: 
 
 Determine, a partir do gráfico, a dependência funcional entre T e s 
neste limite. 
 No gráfico log x log construído, podemos verificar que a relação entre o Log(s) x 
log(t) é uma relação linear, curva decrescente que indica uma relação inversa 
entre as variáveis. 
 
Assim tomando no gráfico, dois pontos, que passam pela reta (melhor reta que 
representa os pontos em análise e observação) que construímos com base nos 
cinco pontos marcados no gráfico, temos: 
 
1) Cálculo do coeficiente angular da reta 
 a = tangente do ângulo da reta com os eixos da abscissa; 
 a = variação de log( t ) / variação de log ( s ) 
 Tomando os pontos dos dados "4" e "8" da tabela 2 acima, tendo em vista que 
pelo gráfico os mesmos estão totalmente contidos na reta, teremos: 
 
a = (log 1,13 - log 0,96) / (log 5 - log 13) 
 a = (0,0531+0,0177) / (0,6990 – 1,1139) 
 
a = -0,1706 
 
 
 
1) Cálculo do coeficiente linear da reta 
 A equação da reta é dada por: 
 y' = ax' + b 
onde: 
y' = log (t) 
x' = log (s) 
a= -0,1706 (calculado no item anterior) 
b = ? 
 Tomando, mais uma vez, um ponto da reta, vamos substituí-lo na equação acima 
e encontrar o valor de "b". 
 
 
Introduzindo os dados do ponto "8" na equação temos: 
 
y' = log 1,13 
x' = log 5 
 log 1,13 = -0,1706 * log 5 + b 
 
b = log 1,13 + 0,1706 * log 5 
 
b = 0,1723 
 
 
 
A equação da reta será 
 
y' 0,1706x' 0,1723  
 
 Como a relação no gráfico log x log foi uma relação linear, temos que a relação 
entre s x t é uma relação exponencial do tipo 
y x 
. 
 Como
y x 
, aplicado log nos dois lados da equação obteremos: 
 
log y log( x )
log y log log x

 
 
 
 
Como, 
y' 0,1706x' 0,1723  
, temos: 
0,1706  
 
e 
log 0,1723 1,4870    
 
 Por fim encontramos a equação da relação s x t como: 
 
y x 
, com 
0,1706  
 e 
1,4870 
 
 Logo: 
 
0,17061,4870y x
 
 
Assim, confirmamos a dependência entre s e t é expressa por uma relação de 
potência com expoente negativo para o intervalo considerado. 
 
Calculando os dados 2
24
T s

 e 2s e construindo o gráfico 
2
2
24
T s
s



 
 
 
 
Dados das Variáveis 
x
 
y
 Mínimos quadrados 
Dados s(cm) t(seg) 
2s
 
2 24T s 
 
x y
 
2x1 1 2,13 1,00 0,1149 0,1149 1,00 
2 2 1,68 4,00 0,1430 0,5719 16,00 
3 3 1,37 9,00 0,1426 1,2836 81,00 
4 5 1,13 25,00 0,1617 4,0430 625,00 
5 7 1,02 49,00 0,1845 9,0393 2.401,00 
6 9 0,97 81,00 0,2145 17,3744 6.561,00 
7 11 0,97 121,00 0,2622 31,7219 14.641,00 
8 13 0,96 169,00 0,3035 51,2874 28.561,00 
9 15 0,97 225,00 0,3575 80,4369 50.625,00 
10 17 1,00 289,00 0,4306 124,4472 83.521,00 
11 19 1,04 361,00 0,5205 187,9168 130.321,00 
Somatório 102 13,24 1334,00 2,8355 508,2374 317.354,00 
Qt. de dados(n) 11 
 
A construção do 2
2
24
T s
s



, demonstrou uma relação linear entre os valores de 
2
24
T s

 e 2s . 
 
Assim, através do método dos mínimos quadrados vamos encontrar o coeficiente 
linear e angular da reta através das seguintes equações: 
 
 
2 2
i i i i
i i
x y n x y
a
x n x
 


  
 
 e 
 
2
2 2
i i i i i
i i
x y x x y
b
x n x
  


   
 
 
 
 Então temos: 
 
         
2
 1334 2,8355 – 11 508,2374 / 1334 11 317354 0,001057a           
 
           
2
 508,2374 1334 317354 2,8355 / 1334 11 317354 0,129646b            
 
 
 
Assim a equação da relação linear entre 2
24
T s

 e 2s é dada por: 
 
2
2
2
0,0011 0,1296
4
T s
s


 
 
 
Determinando a dependência do momento de Inércia ( I ) do 
pêndulo físico em função da distância s. 
 Sabemos que: 
 
 2
2
2
0,0011 0,1296
4
T s
s


 
 ( I ) ; 
2
2
2
2
12
4
L
s
T s
g
 
 
   ( II ) e 2 2
12
mL
I ms 
 ( III ) 
 
 
Se na equação ( II ) dividirmos e multiplicarmos o temo 2
2
12
L
s
 por 
m
 
 Teremos: 
 
2
2
2 2
2 2
1 1
12
4 4
mL
ms I
mT s T s Im
g g mg 
 
   
      (IV) 
 Substituindo a equação (IV) na equação ( I ) teremos: 
 
2 20,0011 0,1296 0,0011 0,1296
I
s I mg s mg
mg
      
 
 
Assim, temos: 
 128,0
978,03
125.187,84
0,0011 137,7066
0,1296 16.224,3441
m
g
m g
m g
m g


 
  
  
 
(massa da haste utilizada) 
 
 
Logo, 
 
2137,7066 16.224,3441I s  
 => Equação que representa a relação entre o 
Momento de Inércia ( I ) e s. Sendo I expresso em 
2g cm
 e s em 
cm
. 
 Pela equação podemos notar que para s = 0 (centro de massa) o valor de I 
assume o valor de 
216.224,34g cm
. Já o valor teórico, com base nas medidas 
verificadas durante o experimento (
40L cm
 e 
128,0m g
) foi de 
217.066,67 g cm
. Assim temos uma diferença absoluta de 842,33 que, em termos 
percentuais, representa 4,94%, ou seja, um erro relativo menor que 5%. 
 
 
 
Obtendo o raio de giração (k) em função de (s) 
 Pela definição temos que: 
 
I
k
m

 
 
Elevando os dois lados da equação ao quadrado teremos: 
 
2 Ik
m

 
 
Multiplicado os dois lados da equação por 1/g, teremos 
 
2k I
g mg

 
 
Sabemos pela equação (IV) que 2
24
T s I
mg


, então 
 
2 2
24
k I T s
g mg 

 
 
 
Pela equação ( I ) sabemos que 2
2
2
0,0011 0,1296
4
T s
s


 
 
 Então, temos que: 
 
2 2
2
2
0,0011 0,1296
4
k I T s
s
g mg 

   
 
 Assim podemos concluir que: 
 
2
20,0011 0,1296
k
s
g
 
 
 
Portanto, 
 
2 20,0011 0,1296k g s g   
 
 
Substituindo 
g
 na equação por 
2978,03g cm s
 
 teremos: 
 
0,0011 1,0758g  
 e 
 
0,1296 126,7527g  
 
 
 
 Portanto, a relação entre o raio de giração (k) e s é dada por: 
 
2 21,0758 126,7527k s 
, sendo k e s expressos em cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
Inicialmente percebemos que no primeiro gráfico traçado (s x t), distancia 
do ponto de fixação ao centro de massa X período, o período inicialmente diminui 
à medida que o valor de s diminui, ou seja, à medida que o orifício utilizado para 
fixação da haste metálica está mais próximo do centro de massa da mesma. 
Entretanto, a partir de um certo ponto mais próximo do centro de massa, o 
período passa a aumentar, até que, quando o ponto de fixação coincide com 
centro de massa, o período tende ao infinito, ou seja, a haste metálica não chega 
a concluir sequer 1 oscilação completa. 
 
Notamos, ainda, através do referido gráfico que a relação ( s x t) possui um 
mínimo quando s => L/4, ou seja, quando s tende para o ponto representado pela 
metade da distância entre a extremidade da haste metálica e centro de massa. No 
gráfico, podemos perceber que esse mínimo é alcançado entre s igual a 9,0 cm a 
13 cm, sendo L igual da 40 cm. Porém esse valor mínimo de (T) cresce, tendendo 
ao infinito, quando (s) tende a zero, ou seja, quando o ponto de fixação se 
aproxima do centro de massa (s = 0). Vide gráficos em anexo. 
 
Traçamos num gráfico log-log os valores de s x t, tais valores representam 
a parte da curva decrescente do primeiro gráfico, ou seja, para os dados de s 
tendendo a zero. Obtivemos , então, a equação da relação entre os dados para 
essa parte do primeiro gráfico, que como já era esperado, conforme o formato do 
gráfico apresentado, uma dependência em uma lei de potência com expoente 
negativo, conforme abaixo: 
 
0,17061,4870y x
 , sendo x (s) expresso em cm e y (T) expresso em seg. 
 
Com a construção do gráfico 2 2
2
2
4
T s
s



, verificamos, como esperado, 
um gráfico linear, e através do método dos mínimos quadrados encontramos a 
seguinte equação, que relaciona as grandezas acima: 
 
2
2
2
0,0011 0,1296
4
T s
s


 
 
 
 
 Através das deduções matemáticas expressas no item tratamento de 
dados deste relatório, deduzimos as seguintes relações entre as grandezas: 
 
2137,7066 16.224,3441I s  
 (relação do momento de inércia I e s ) 
 
2 20,0011 0,1296k g s g   
 ( relação do raio de giração k em função de s ) 
 
 Pela equação 
2137,7066 16.224,3441I s  
 podemos notar que para s = 0 
(centro de massa) o valor de I assume o valor de 
216.224,34g cm
, representando 
uma diferença percentual de menos de 5% em relação ao valor teórico, o que 
pode ser considerada uma boa representação, haja vista os erros inerentes ao 
experimento (resistência do ar, erros de medição dos operadores e/ou aparelhos, 
etc.). 
 
 Assim concluímos que o experimento comprovou a relação teórica entre s 
x T e, considerando os erros inerentes ao próprio experimento, os valores 
encontrados através das equações deduzidas com os dados experimentais foram 
satisfatórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
http://www2.fis.ufba.br/dftma/TeoriaDeErros2013v3.pdf 
 
HALLIDAY, David. Fundamentos de física, volume II. 10. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2016. 
 
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica, vol. II. 5. ed. São Paulo: Blucher, 
2014.