Trabalhdo de seleção dos materiais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ – UNIFEI 
INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – IEM 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE MATERIAIS – EMT 
DISCIPLINA: SELEÇÃO DE MATERIAIS EMT023 
PROFESSOR: EDMILSON OTONI CORREA 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CASOS UTILIZANDO OS MAPAS DE ASHBY 
 
 
 
 
 
 
Eliara Torres da Costa – 28432 
Letícia Laura de Oliveira - 28513 
 
 
 
 
 
 
Itajubá – MG 
2017 
Sumário 
 
1. Caso 1 – Prego ............................................................................................................................ 1 
1.1 Introdução.............................................................................................................................. 1 
1.2 Análise do caso...................................................................................................................... 1 
2. Caso 2 – Perna de uma cadeira ................................................................................................... 4 
2.1. Análise do caso.................................................................................................................... 4 
3. Referencias Bibliográficas .......................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1. Caso 1 – Prego 
 
1.1 Introdução 
O prego é uma haste de metal, com uma das pontas afiada e a outra achatada (Figura 1). É 
usado para unir objetos, sendo preferencialmente usado em madeira. Foi inventado há 
aproximadamente 5000 anos na Mesopotâmia, sendo que os primeiros foram feitos de madeira. 
Atualmente, os pregos são fabricados de metal. Existem pregos para aplicações especiais, 
principalmente para utilização em locais próximos a praias e construção naval, feitos 
em madeira tipo "pau-ferro", em cobre, latão, alumínio ou outro material sintético [1]. 
O prego apresenta considerável eficiência por possuir uma boa distribuição de pressão: a 
força exercida pelo impacto de um martelo sobre a cabeça de um prego é distribuída por uma área 
muito maior que a da outra extremidade do objeto, aplicando-se assim uma pressão relativamente 
maior sobre a superfície a ser perfurada que a pressão recebida do martelo [1]. 
Figura 1: Imagem da seção de um prego. 
 
Fonte: [1] 
1.2 Análise do caso 
 Em termos mecânicos, o prego é uma viga carregada sob flexão. Deve ser forte o suficiente 
para suportar, sem quebrar ou entortar, o momento fletor exercido pelo objeto que sustenta. 
 Considerando que o prego em questão possui uma seção circular de raio r e comprimento 
L, a restrição estará em sua rigidez, pois o prego não pode sofrer uma deflecção maior do que δ 
sob uma força F (Equação 1) [2]. 
𝛿 =
𝐹𝐿3
𝐶1𝐸𝐼
 [1] 
 A restrição exige que a rigidez, S, seja maior que: 
𝑆 = 
𝐹
𝛿
≥
𝐶1𝐸𝐼
𝐿3
 [2] 
2 
 
onde E é o módulo de Young, C1 é uma constante que depende da distribuição da carga e I é o 
momento de inércia da área da seção, que, para uma viga com área circular é [2]: 
𝐼 =
𝜋𝑟4
4
= 
𝐴2
4𝜋
 [3] 
Neste caso, a área A do prego pode ser variada para suportar as diferentes cargas, 
consequentemente, sua massa também pode variar. Tem-se uma maior eficiência com um material 
que suporte a carga exigida possuindo a menor massa possível. Sabe-se que a massa pode ser 
escrita segundo a Equação 4 [2]. 
𝑚 = 𝐴𝐿𝜌 [4] 
Substituindo as Equações 3 e 4 na Equação 2, tem-se: 
𝑆 =
𝐹
𝛿
≥ 
𝐶1𝐸𝑚
2
4𝜋𝐿5𝜌2
 [5] 
 Escrevendo em função da massa: 
𝑚 ≥ 2 (
5𝜋𝐿5
𝐶1
)
1/2
𝜌
𝐸1/2
 [6] 
 Portanto, como o primeiro termo da Equação 6 é fixo, para que se tenha a menor massa 
possível, 
𝜌
𝐸1/2
 também deve ser o menor possível. Invertendo, define-se o índice M do material, o 
qual se deseja que seja o maior possível, pela Equação 7 [6]. 
𝑀 =
𝐸1/2
𝜌
= 𝐶 [7] 
Tomando essa equação como constante e então os logaritmos, temos que: 
log 𝐸 = 2 log 𝜌 + 2log 𝐶 [8] 
Isso define uma linha com inclinação de 2 nos gráficos. 
 Considera-se para a fabricação de pregos uma resistência mínima de 600 MPa, e um 
diâmetro mínimo de 3 mm, pois a deflecção neste caso deve ser extremamente baixa [3]. 
 Portanto, em posse destes dados pode-se plotar o mapa de Ashby com as restrições 
desejadas (Figura 2). 
 
3 
 
Figura 2: Mapa de Ashby com restrição de resistência para um prego. 
 
Fonte: Autor. 
 O módulo de Young neste caso foi plotado em função da densidade e do preço, pois quando 
se considera a quantidade de pregos utilizados em uma construção o preço total gasto passa a ser 
relevante. 
Os materiais que cumprem estes requisitos estão listados na Tabela 1, em ordem 
decrescente de índice de mérito. 
Nota-se na Tabela 1, que as ligas de titânio, de níquel e tungstênio, o aço inox, o compósito 
e o carbeto de silício possuem níveis de mérito muito baixos, ou seja, seus valores de densidade 
vezes o preço são elevados, e eles não são viáveis quando se considera aplicações em alta escala. 
Estes materiais só são utilizados para a fabricação de pregos quando se deseja elevado desempenho 
em aplicações nobres. 
Assim, conclui-se que os melhores materiais para a fabricação de pregos, considerando as 
restrições impostas, são os aços médio e alto carbono, o ferro fundido e o aço baixa liga, que já 
são os materiais atualmente utilizados para a fabricação destes materiais em larga escala. 
 
 
4 
 
Tabela 1: Materiais e seus índices de mérito. 
Material Índice de mérito 
Aço médio carbono 106 
Aço alto carbono 106 
Ferro fundido, ductil (nodular) 102 
Aço baixa liga 99,3 
Carbeto de silício 12 
Aço inox 9,22 
Compósito de matriz epóxi reforçado 
com fibra de carbono (isotrópico) 
5,22 
Ligas de titânio 3,01 
Ligas de níquel 2,8 
Ligas de tungstênio 0,583 
 
2. Caso 2 – Perna de uma cadeira 
 
2.1. Análise do caso 
No projeto, temos que a perna de uma cadeira é uma coluna delgada de densidade ρ e 
modulo E. Seu comprimento, L, e carga máxima, F, que ela deve suportar são fixos e pré 
determinado. No entanto a espessura de uma perna é uma variável livre. 
Em termos mecânicos, essa coluna delgada deve ter seu peso minimizado e esbelteza 
maximizada, no entanto a mesma deve ser resistente a flambagem para que não entorte ou quebre. 
 Considerando que a viga em questão possui uma seção retangular de lado a e comprimento 
L, e deseja-se minimizar a massa m da perna temos: 
𝑚 = 𝑎²𝐿𝜌 [1] 
 Figura 3: Carregamento de uma perna de cadeira. 
 
Fonte: [2] 
5 
 
A restrição exige suportar uma carga P sem sofrer flambagem. A perna de uma cadeira 
possui um carregamento como mostrado na Figura 3, com as duas extremidades apoiadas. A carga 
elástica Fcrit. de uma coluna de comprimento L e lado a é dado por: 
 Fcrit =
𝜋²EI
𝐿²
 [9] 
onde E é o módulo de Young e I é o momento de inércia da área da seção, que, para uma viga com 
área retangular é: 
𝐼 =
𝑎4
12[10] 
Portanto, 
 Fcrit =
𝜋²E𝑎4
12𝐿²
 [11] 
Neste caso, a carga F não deve ultrapassar Fcrit. Resolvendo para variável livre, a, e 
substituindo na equação e escrevendo em função da massa temos: 
𝑚 ≥ (12𝐹)
1
2𝜋(𝐿)²
𝜌
𝐸1/2
 [12] 
 Portanto, como o primeiro termo da Equação 6 é fixo, para que se tenha a menor massa 
possível, 
𝜌
𝐸1/2
 também deve ser o menor possível. Invertendo, define-se o índice M do material, o 
qual se deseja que seja o maior possível, pela Equação 5. 
𝑀 =
𝐸1/2
𝜌
= 𝐶 [13] 
Tomando essa equação como constante e então os logaritmos, temos que: 
log 𝐸 = 2 log 𝜌 + 2log 𝐶 [14] 
Isso define uma linha com inclinação de 2 nos gráficos. 
 Considera-se para a segurança é necessário que na fabricação de uma perna de cadeira o 
material apresente uma resistência mínima de 50 GPa 
 
 
 
6 
 
Figura 4: Mapa de Ashby com restrição de flambagem para a perna de uma cadeira. 
 
Fonte: Autor. 
Os materiais que cumprem estes requisitos estão listados na Tabela 2, em ordem 
decrescente de índice de mérito. 
Tabela 2: Materiais e seus índices de mérito 
Material Índice de mérito 
Carboneto de Silicio 208 
CFRP, matriz de epoxy isotropico 206 
Bamboo 190 
Nitrato de Aluminio 173 
Madeira 151 
Espuma Ridiga 130 
 
Nota-se na Tabela 2, encontra-se madeiras, compósitos e algumas cerâmicas de engenharia, 
os polímeros são descartados por não ser suficientemente rígidos e possuir o menor índice de 
merito, ou seja, seus valores de densidade vezes o preço são elevados. O índice esbelteza faz com 
que excluamos as madeiras. Sendo assim, pra que obtenhamos pernas finas reduzimos nossa lista 
para o compósito CFRP e as cerâmicas de engenharia. 
7 
 
 
Figura 5: Mapa de Ashby com restrição para Polímeros e Madeiras. 
 
Fonte: Autor. 
No entanto, sabemos que as cerâmicas são frágeis e devido a exposição a ambientes em 
que pode ocorrer atritos como chutes e esbarrão é necessário eliminar as cerâmicas. 
Assim, conclui-se que os melhores materiais para a fabricação de pernas delgadas para 
cadeiras, considerando as restrições impostas, é o compósito CFRP. 
 
3. Referencias Bibliográficas 
 
[1] Prego. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Prego>. Acesso em 15 de novembro de 
2017. 
 
[2] ASHBY, Michael F. Materials Selection in Mechanical Design. 3 ed. Burlington, 2005. 
 
[3] ROMFIM, S. Estruturas de madeira. Disponível em: < 
http://sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot_9672aula_11_-
_cyisteyios_de_dimensionamento_ligayyes_pdf.pdf>. Acesso em: 27 de novembro de 2017.