Atividade Latex Lema IV

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\begin{document}
\begin{center}
{\Large Lista de Exercícios}
\end{center}
\underline{Questão 1:}
\\
\\
Esboçe o gráfico de cada função a seguir $f$, e determine $\displaystyle\lim_{x \to a^-}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to a^+}f(x)$ e, caso exista, $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)$ :
\\
\\
\underline{Questão 2:}
\\
\\ 
(a) \[ f(x) =
 \begin{cases}
 3x-2, & x>1\\ 
 2, & x=1 \ (a=1)\\
 4x+1, & x<1\\
 \end{cases}
\]
\\
\\
(b) \[ f(x) =
 \begin{cases}
 x^2-1, & x>1 \ \ e \ \ x \neq 2\\ 
 1, & x=2 \ (a=2)\\
 1-x, & x<1\\
 \end{cases}
\]
\underline{Questão 3:}
\\
\\ 
Calcule as expressões abaixo:\\
\\
a) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{tg x - sen x}{sen^2 x}$\\ \\
\\
b) $\displaystyle\lim_{x \to \infty}[sen(\frac{x^2+x+1}{1+2x}).cos(\frac{\pi x^3+x^2-3}{2-x+2x^3})]$ \\ \\
\\
c) $\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x} \ \ se \left\{\begin{matrix}
x=sin t\\y=sin2t \end{matrix}\right. \ \ t \ \in [\frac{-\pi }{2}, \frac{ \pi}{2}]$\\ \\
\\
d) $\int \frac{2x-9}{\sqrt{6x-5-x^2}}\ dx$ \\ \\
\\
e) $\int_{0}^{+\infty}cos(bx)dx$\\ \\
\\
f)$\int_{-a}^{asin\beta }\int_{ycotg \ \beta}^{\sqrt{a^2-y^2}} \ln (x^2+y^2) \ dxdy $\\ \\
\\
g)$ \oint_{x^2+y^2=1}^{.} \frac{-ydx+xdy}{1+x^2+y^2}$\\ \\
\\
h) $\underset{Q}{\int \int \int }zdV \, \text{onde} \: Q=\left\{y^2+z^2\leq 2,\, y\leq 2x, \, x\geq0 \right\}$\\ \\
\\
j) $\underset{D}{\int \int}\frac {(x+y)^5}{x-y+2}dxdy \: \: D=\left\{x+y\leq3, \: y>x\right\} \subset \mathbb{R}^2$\\ \\
\\
\underline{Questão 4:}\\ \\
\\
1. $ \left\{\begin{matrix}
x=\sec (t)\\y=\ln (\cos \ t) \end{matrix}\right.$ , t $\in \, ]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$, \text{satisfaz a equação} $\frac{d^2y}{dx^2}+e^y \cdot \frac{dy}{dx}=0$ \\
\\
\\
2. $ \left\{\begin{matrix}
x=arcsen (t)\\y=\sqrt{1-t^2} \end{matrix}\right.$ , t $\in \, [-1,1]$, \text{satisfaz a equação} $\sin \, x \cdot \frac{d^2y}{dx^2}+y \cdot \frac{dy}{dx}=0$\\ \\
\\
3. $ y=sin(\pi \sqrt{x+1})$ \: \text{satisfaz a equação} $4(x+1) \frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+\pi^2y=0$\\ \\
\\
\underline{Questão 5:}\\ \\
\\
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \\ \\
\\
a) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}}$ \\ \\
\\
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ \\ \\
\\
c) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^n}{n^3}$ \\ \\
\\
d) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^n}{n!}$ \\ \\
\\
\underline{Questão 6:}\\ \\
\\
Dados $\vec{u}=(4,7,3), \, \vec{v}=(2,2,1) \: \text{e} \, \vec{w}=(0,-5,2)$, calcular:
\\
\\
a) $\vec{u} \cdot \vec{v} $\\
\\
b)$\vec{u} \cdot \vec{w} $\\
\\
c)$(\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w} $\\
\\
d)$\vec{u} \times \vec{w} $\\
\\
e)$\left | (\vec{u} \times \vec{v})-(\vec{v} \times \vec{w}) \right |$\\
\\
f)$\vec{u} \cdot (\vec{v}-2\vec{w}) $\\
\\
g)$(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} $\\
\\
h)$\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) $\\
\\
i)$\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) $\\
\\
j)$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} $\\
\\
k)$(\vec{u}+\vec{v}) \cdot (\vec{v}+\vec{w}) $\\
\\
l)$[2\vec{u} \times (\vec{v}-\vec{w})] \cdot(\vec{u}+\vec{w})$\\
\\
\underline{Questão 7:}\: O conjunto $\left\{a,b,c,d \right\}$ com a operação binária $\ast$ forma um grupo G de ordem 4 com a seguinte tabela:\\ 
\\
$\begin{vmatrix}
\ast & a & b & c & d\\
\hline
 a & d & a & b & c\\ 
\hline
 b & a & b & c & d\\ 
\hline
 c & b & c & d & a\\ 
\hline
 d & c & d & a & b
\end{vmatrix}$\\ \\
Responda às seguintes questões (com justificação)\\
\\
(a) (1 ponto) Qual é o elemento neutro de G?\\
(b) (4 pontos) Determine o inverso de cada elemento de G.\\
(c) (8 pontos) Determine a ordem de cada elemento de G.\\
(d) (2 pontos) G é cíclico?\\
\\
\\
\underline{Questão 8:}\:
\\
\\
Seja $\cup \overset{f}{\rightarrow}\mathbb{R}$ diferenciável no aberto $\cup \subset \mathbb{R}^n$. Se $\cup$ é convexo e $\left | \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x) \right | \leq c$ para todo $x \in \cup$, prove que se tem $\left | f(x)-f(y) \right | \leq nc \left | x-y \right |$ para quaisquer $x, y \in \cup$.\\ \\
\\
\underline{Questão 9:}\:\\ 
\\
Seja $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável e convexa (i.e. $f(\alpha x+(1-\alpha )y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha )f(y) \text{para todo}
\alpha \in [0,1] \text{e para todo}
x,y\in \mathbb{R}^{n}$). Prove a seguinte desigualdade:\\
\begin{center}
$\left \langle \triangledown f(y)-\triangledown f(x),\, y-x \right \rangle\geq 0$
\end{center}
para todo $x,y\in \mathbb{R}^{n}$, onde $\triangledown f(x)$ denota o gradiente de $f$ no ponto $x$ e $\left \langle \: \right \rangle$ denota o produto escalar em $\mathbb{R}^{n}$.\\ \\
\\
\underline{Questão 10:}\:\\ \\
\\
(a) Use o desenvolvimento do binômio $(x+y)^{n}$ para provar que $2^{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n}\binom{n}{k}3^{n-k}$. \\
\\
(b) Escrevendo $k^{2}=k(k-1)+k$, prove a identidade
\begin{center}
$k^{2}\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}+n\binom{n-1}{k-1}$
\end{center}
Use esta identidade para provar que $\sum_{k=0}^{n}k^{2} \binom{n}{k}=n(n+1)2^{n-2}$.\\
\\
(c) Determine o coeficiente de $x^2$ no desenvolvimento de $(2x+1)(x+4)^5$\\
\\
\\
\underline{Questão 11:}\:\\ \\
\\
Seja $S$ a superfície $4x^2+9y^2+36z^2=36, z \geq 0$. Seja $\vec{n}$ o campo normal unitário em $S$ apontando para fora da origem. Calcule
\begin{center}
$ {\underset{S}{\iint}} (\triangledown \times \vec{F})\cdot \vec{n}d\sigma $
\end{center}
onde $\vec{F}=y \vec{i}+x^2 \vec{j}+(x^2+y^4)^{3/2} sin (e^{xyz}) \vec{k}$\\ \\ 
\\
\underline{Questão 12:}\:\\ \\ 
\\
Seja $f(x,y,z)$ uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e assuma que $f(x,y,z) \neq 0$ para todo $(x,y,z)$. Assuma também que $\left | \triangledown f \right |^2=4f$ e $\triangledown \cdot (f\triangledown f)=10f$. Calcule
\begin{center}
$ {\underset{S}{\iint}} (\triangledown \vec{F})\cdot \vec{n}d\sigma $
\end{center}
onde $S$ é a esfera $x^2+y^2+z^2=1$ e $\vec{n}$ é a normal unitária exterior a $S$.\\ \\
\\
\underline{Questão 13:}\:\\ \\ 
\\
Suponha que $\begin{vmatrix}
a & b & c \\ 
d & e & f \\ 
g & h & i 
\end{vmatrix}=k$ calcule, em termos de $k$ os seguintes determinanantes: \\ \\
\\
(a) $\begin{vmatrix}
a & b & c \\ 
d-2a & e-2b & f-2c \\ 
g & h & i 
\end{vmatrix}$\: \: (b) $\begin{vmatrix}
g & h & i \\ 
a & b & c \\ 
d & e & f 
\end{vmatrix}$\: \: (c)$\begin{vmatrix}
a & b & c \\ 
d & e & f \\ 
3g & 3h & 3i 
\end{vmatrix}$\: \: (d)$\begin{vmatrix}
a & d & g \\ 
b & e & f \\ 
c+5b & f+5e & i+5h 
\end{vmatrix}$\\ \\
\\
\underline{Questão 14:}\:\\ \\ 
\\ 
Dado $a, b \in \mathbb{R}$, considere o sistema nas incógnitas $x,y,z$
\\
\begin{center}
$\left\{
\begin{matrix}
 x& +& 3y& +& z& =&b \\ 
 2x& +& ay& +& 3z& =&1 \\ 
 4x& +& 2y& & & =&0 
\end{matrix}\right.$ \\
\end{center} 
Usando o método de escalonamento por linhas, determine os valores de $a$ e $b$ para os quais: \\
(a) o sistema não tem solução.
(b) o sistema tem solução única.
(c) o sistema tem infinitas soluções.
\end{document}