Tema 03 Solicitação Axial

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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
Limites Elásticos
Professor: Me. Klaus André de S. Medeiros
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
Limites Elásticos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Solicitação Axial
CONTEÚDO
1 – DEFINIÇÕES;
2 – ESFORÇO NORMAL;
3 – DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (DEN);
4 – CÁLCULO DA TENSÃO NORMAL NA SOLICITAÇÃO AXIAL;
5 – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES AXIAIS;
6 – INFLUÊNCIA DO PESO PRÓPRIO NAS PEÇAS ESTRUTURAIS;
7 – SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS;
8 – TENSÕES TÉRMICAS.
Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
Limites Elásticos
1 – DEFINIÇÕES
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Solicitação Axial
• SEÇÃO TRANSVERSAL: É a figura geométrica que resulta da
interseção entre a peça e qualquer plano que corta a sua
dimensão dominante.
• SEÇÃO RETA: É a figura geométrica que resulta da interseção
entre a peça e o plano de corte perpendicular ao eixo dessa
peça.
• EIXO: É a linha imaginária
que passa pelo centro
geométrico (CG) de todas
as seções transversais da
peça.
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Limites Elásticos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Solicitação Axial
• SOLICITAÇÕES AXIAIS: São impostas por ações que atuam na
direção do eixo longitudinal do elemento estrutural.
− TRAÇÃO: Solicitação que tende a alongar a peça no sentido da
reta de ação da força aplicada.
− COMPRESSÃO: Solicitação que tende a encurtar a peça no
sentido da reta da força aplicada.
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• FORÇAS CENTRADAS: Têm como suporte o eixo da
peça e implicam obrigatoriamente em solicitações axiais.
Força Centrada
P
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• FORÇAS EXCÊNTRICAS: Não têm o eixo da peça como
suporte, porém seu suporte é paralelo ao eixo da peça.
Implicam em solicitação axial composta com solicitação à
flexão.
Força Excêntrica e sua centralização
= +
P
P M
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• FORÇAS INCLINADAS: Forças inclinadas ao eixo das peças
implicam em solicitação axial composta com solicitação à
flexão.
= +
• TENSÃO NORMAL NA SOLICITAÇÃO AXIAL: É a tensão
originada pelo esforço Normal, sendo ela a distribuição deste
esforço ao longo de sua área de atuação.
F
a
F.cosa
F.sena
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2 - ESFORÇO NORMAL
Provoca uma variação da distância (alongamento ou encurtamento
das fibras longitudinais) que separa as seções, que permanecem
planas e paralelas.
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• 1º Método de Cálculo (Método das Seções): A partir da
soma algébrica de todas as forças que se situam de um
mesmo lado da seção reta considerada e atuam
perpendicularmente ao plano dessa seção.
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Solicitação Axial
EXEMPLO 3.1: Calcular o esforço normal nas seções S, B e C
OBS.: Em seções retas que são ponto de aplicação de carga 
axial concentrada, calculam-se os esforços normais 
imediatamente antes e depois.
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• 2º Método de Cálculo (Segmentação):
− Procede-se a segmentação da peça em trechos
homogeneamente solicitados, isto é, sem variação de Força
Normal.
− É mais propriamente empregada no cálculo da deformação
total dessa peça e pode ser motivada por qualquer um dos
seguintes fatores:
 Aplicação de carga axial concentrada em seções
intermediárias da peça;
 Variação brusca da área da seção reta da peça;
 Mudança de material ao longo do comprimento da peça.
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60N60N
60N
25N
35N
25N
25N
25N
45N
70N
70N70N
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Limites Elásticos
• Definição: O DEN de uma peça estrutural significa a
representação gráfica dos valores do esforço normal em todas
as seções retas ao longo do comprimento da peça.
• Traçado: Para traçar o diagrama de esforço normal
correspondente a uma peça estrutural dada, deve-se proceder
da seguinte maneira:
I) Calculam-se as reações de apoio;
II) Prepara-se o diagrama de corpo livre (DCL) da peça,
tomando as reações de apoio com seus sentidos corretos;
3 - DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (DEN)
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III) Calcula-se o valor do esforço normal nos seguintes tipos de seções
retas da peça:
a) seções extremas;
b) seções dos apoios;
c) seções que são ponto de aplicação de carga axial concentrada;
d) seções que são ponto inicial e final de carga axial uniformemente
distribuída;
e) seções de transição entre cargas axiais uniformemente distribuídas,
de valores distintos.
IV) Marcam-se os valores obtidos para esse esforço normal sobre cada uma
das seções escolhidas, a partir do eixo da peça e segundo a direção
perpendicular a este, colocando os valores positivos de um lado e os
negativos do outro.
V) Ligam-se os valores obtidos para cada duas seções retas consecutivas
através de segmentos de reta que comporão a linha do diagrama de
esforço normal.
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EXEMPLO 3.3: Traçar o DEN correspondente à peça estrutural
abaixo:
30N/m
A B C
20N
100N
3m2m
5m
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EXEMPLO 3.2: Traçar o DEN correspondente à peça estrutural
do exemplo 3.1:
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Solicitações Axiais
4 - CÁLCULO DA TENSÃO NORMAL NA SOLICITAÇÃO AXIAL
Ilustração:
S= _N_
A
s = 
F
y
z
x
F
S
F
y
z x
N=F
S
x
F
y
z
S
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Onde:
N = Esforço normal atuante na seção indicada
A = Área inicial da seção reta considerada
 Esforços Normais (N)  Tensões Normais (s)
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Esta expressão de cálculo de s é chamada Lei de Distribuição
das Tensões Normais provocadas por um esforço normal.
As Tensões Normais se classificam como:
- Tensão Normal de Tração: quando o esforço normal causador
é de tração (ou seja, se afasta do plano as seção reta).
Recebem sinal positivo.
- Tensão Normal de Compressão: quando o esforço normal
causador é de compressão (ou seja, penetra no plano as seção
reta). Recebem sinal negativo.
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EXEMPLO 3.4: Para a mesma peça do exemplo anterior, com
A = 4 cm², calcular a tensão s nas seções B e C e também em
uma seção D, distante 4 m do engaste.
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5 – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES AXIAIS
5.1 – Introdução
A lei de Hooke é utilizada para o cálculo das deformações
longitudinais de peças estruturais.
Ilustração: Deformação longitudinalem peça axialmente
tracionada.
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5.2 – Expressão de cálculo da lei de Hooke
A deformação δ pode ser calculada como:
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OBSERVAÇÕES:
I. A Lei de Hooke só é válida, e portanto só pode ser usada, para
cálculo das deformações nas peças estruturais cujo material trabalha
em regime de comportamento elástico.
II. Na expressão, P representa o esforço normal constante ao longo do
comprimento da peça. Assim, a expressão pode ser reescrita
substituindo P por N.
III. A expressão da Lei de Hooke só pode ser diretamente
aplicada se tivermos:
• Esforço normal constante em todas as seções retas da peça;
• A área de seção reta da peça constante (não variável) ao longo de
todo o comprimento dessa peça;
• Mesmo material (mesmo E) ao longo de todo o comprimento da peça.
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OBSERVAÇÕES:
IV. A lei de Hooke também pode ser empregada para cálculo das
deformações provocadas por cargas axiais de compressão.
V. Termos fundamentais na expressão da Lei de Hooke:
• Deformação Específica: É a deformação por unidade de
comprimento da peça, ou seja, é a deformação total
distribuída ao longo da dimensão em que ela ocorreu. É
representada por Ԑ e dada pela expressão:
Obs.: É uma grandeza adimensional, 
geralmente expressa em porcentagem.
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OBSERVAÇÕES:
V. Termos fundamentais na expressão da Lei de Hooke:
• Módulo de Elasticidade Longitudinal de um Material: É
uma característica de cada material estrutural e significa a
constante de proporcionalidade direta entre as tensões
normais e as deformações específicas que a elas
correspondem. É uma grandeza que tem a dimensão de uma
tensão.
• Módulo de Rigidez Axial: É definido pelo produto E∙A e
significa a dificuldade que a peça apresenta de se deformar
por cargas axiais. Quanto maior o valor de E.A, menor a
deformação δ.
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EXEMPLO 3.5: Calcular a deformação total da peça
estrutural ilustrada abaixo, admitindo como conhecidos os
parâmetros P, l, A e E.
Esforço constante
em todas as
seções?
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6 – SITUAÇÕES DA INFLUÊNCIA DO PESO PRÓPRIO NAS PEÇAS
ESTRUTURAIS
I) Peça em disposição horizontal. Ex. Viga.
q = carga uniformemente distribuída representando o peso próprio da peça
linear horizontal.
q = . peso total da peça . = peso específico x volume da peça
comprimento inicial da peça comprimento inicial da peça
A carga “q” provoca sobre a peça uma solicitação à flexão
l
l
q
l
γ.Aq
γ.A.
q
γ.V
q 
l
l
l
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II) Peça linear em disposição vertical e presa na extremidade
superior
S1
S2
A
q=g.A
Destacando-se duas seções retas sobre a peça, S1 e S2, e
analisando a influência do peso próprio:
l
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S1
A
V1
- Na seção S1:
S1
V1
N (S1)
N (S1)
N (S1) = P1 = g.V1 = g.A.y1
P1
q=g.A
N (S1) = q.y1
P1 = peso do volume V1 da
peça, situado abaixo da
seção S1,representando a
contribuição do peso próprio
dessa peça sobre a seção S1
y1
l
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S2
A
V2
Sobre essas peças, a contribuição do peso
próprio origina uma solicitação axial de tração.
q=g.A
S2
V2
N (S2)
N (S2)
N (S2) = P2 = g.V2 = g.A.y2
P2
N (S2) = q.y2
- Na seção S2: P2 = peso do volume V2 da
peça, situado abaixo da
seção S2, representando a
contribuição do peso próprio
dessa peça sobre a seção S2
y2
l
Diagrama e equação 
do Esforço Normal??
Tensão Normal 
Máxima?
Deslocamento 
total máximo?
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Limites Elásticos
III) Peça linear em disposição vertical e presa na extremidade inferior
Destacando-se duas seções retas sobre a peça, S1 e S2, e
analisando a influência do peso próprio:
S2
S1
A
q=g,A
l
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- Na seção S1:
S1
V1
N (S1)
N (S1)
P1
P1 = peso do volume
V1 da peça, situado
acima da seção S1,
representando a
contribuição do peso
próprio dessa peça
sobre a seção S1
N (S1) = -P1 = -g.V1= -g.A.y1
N (S1) = -q.y1
S1
V1
q=g,A
y1
A
l
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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
Limites Elásticos
Sobre essas peças, a contribuição do peso próprio
origina uma solicitação axial de compressão
S2
A
V2
q=g,A
S2
V2
N (S2)
N (S2)
P2
P2 = peso do volume V2 da
peça, situado acima da
seção S2, representando a
contribuição do peso próprio
dessa peça sobre a seção S2
N (S2) = -P2 = -g.V2 = -g.A.y2
N (S2) = -q.y2
y2
- Na seção S2:
l
Diagrama e equação 
do Esforço Normal??
Tensão Normal 
Máxima?
Deslocamento 
total máximo?
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OBS: Tanto no caso II, quanto em III, ou quando a peça é presa em ambas
extremidades, o peso próprio, para uma seção reta constante ao longo de todo
o comprimento, pode ser representado por uma carga axial uniformemente
distribuída ao longo do comprimento, no sentido de cima para baixo, cujo valor
é q = g∙A.
onde:
q = intensidade da carga axial uniformemente distribuída representando o peso
próprio;
g = peso específico do material da peça;
A = área inicial da seção reta da peça.
q qq
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IV) Peça linear em disposição inclinada
q
α







aa cos
Aγ
cos
Vγ
q
l
l
lO módulo de q, distribuída ao longo do comprimento , que é a projeçãohorizontal do eixo da viga, é dado por:

peçadaeixodohorizontalprojeção
peçadatotalpeso
q
q
α
cosα
Aγ
q


=
y
x x
y acos.lacos.l ll
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OBS 1: O peso próprio também pode ser expresso em duas componentes
distribuídas ao longo do eixo da peça, uma perpendicular e a outra paralela a
esse eixo:
Portanto, sobre essas peças, o peso próprio provoca uma 
solicitação à flexão composta com solicitação axial.
= +
q
α
y
x
l
qv
α
y’
x’
l
qh
α
y’
x’
l
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OBS 2: Para o cálculo do módulo das componentes “qv” e “qh”, procede-se da
seguinte forma:
- Inicialmenterepresenta-se a carga distribuída total “q” por meio de sua
resultante “P”:
=
q
α
y
x
l
α
x
y
a.cosq.P l
l
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- Em seguida, projeta-se esta resultante em dois novos eixos, y’ e x’, os quais são 
respectivamente perpendicular e paralelo ao eixo da peça:
x’
=
P.cosαPv 
cosα.cosαq.Pv  l
α.cosq.P 2v l
P.senαPh 
senα.cosαq.Ph  l
2
cosα.2.senαq.
Ph


l
 2α.sen
2
q.
Ph
l

α
x
y y’
P
α α Ph
Pv
l
α
y’
x’
+
P.cosαPv 
l
x’
α
y’
P.senαPh 
l
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- Finalmente, distribui-se cada componente pelo comprimento do eixo da viga 
(comprimento de referência):
x’
l
α
y’
x’
l
α
y’
vP
hP
=
=
l
v
v
P
q 
l
l α.cosq.
q
2
v 
αq.cosq 2v 
l
h
h
P
q 
 
l
l
.2
2α.senq.
qh 
l
α
x’
y’
vq
 
2
2αq.sen
qh 
l
α
hq
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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
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EXEMPLO 3.6: Duas barras prismáticas, rigidamente ligadas entre
si, suportam a carga axial de 45 kN. A barra superior é de aço, tem
comprimento de 10 m e seção transversal de 65 cm2 de área. A barra
inferior é de latão, tem comprimento de 6 m e A = 52 cm2. Determine as
tensões normais máximas em cada material. Obs.: Considerar o peso
próprio.
Dados: Aço: γ = 78 kN/m3 ; E = 210 GPa
Latão: γ = 83 kN/m3 ; E = 90 GPa
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Solicitação Axial
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7 – SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
7.1 – Classificação das estruturas quanto a estaticidade
• Estruturas Hipoestáticas: quando seus movimentos de corpo
rígido não são restringidos e elas não atingem, portanto uma
configuração de equilíbrio estável.
• Estruturas Isostáticas: quando são restringidas a movimentos
de corpo-rígido e o número de incógnitas a determinar é igual
ao número de equações de equilíbrio estático.
• Estruturas Hiperestáticas: quando são restringidas a
movimentos de corpo-rígido e o número de incógnitas a
determinar é maior do que o número de equações de equilíbrio
estático.
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Solicitação Axial
Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
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•Sistema Isostático : Número de Apoios (NRA) = Número de Equações (NE);
•Sistema Hipostático : Número de Apoios (NRA) < Número de Equações (NE);
•Sistema Hiperestático : Número de Apoios (NRA) > Número de Equações (NE);
Estrutura Hipostática mesmo com o Número de Reações de Apoios (NRA) 
igual ao número de Equações (NE). Porque?
Qual a classificação dessa estrutura?
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Solicitação Axial
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Para resolver os problemas de solicitação axial estaticamente
indeterminados, utilizam-se as equações de equilíbrio estático
juntamente com equações de deformação provenientes do
comportamento da própria estrutura.
OBSERVAÇÕES:
1) A depender da incógnita, a hiperestaticidade pode ainda ser:
• Hiperestaticidade Externa  Esforço externo (reações de apoio);
• Hiperestaticidade Interna  Esforço interno (N, Q, M ou Mt).
2) O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é dado pela diferença
entre o número de equações de equilíbrio e o número de incógnitas.
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6.2 – Exemplos Clássicos
EXEMPLO 3.7: Seja a barra prismática engastada nas duas
extremidades e submetida a uma força axial P, aplicada numa seção
reta intermediária, conforme a figura a seguir. Calcular as reações de
apoio nas seções de engastamento. Dados: P, A, l, a, b, E
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EXEMPLO 3.8: Uma barra de comprimento L e seção reta circular de
área A1, com módulo de elasticidade longitudinal E1, foi colocada dentro
de um tubo cilíndrico de mesmo comprimento L, mas com área de seção
reta A2 e módulo de elasticidade longitudinal E2, como apresentado na
figura a seguir. Calcular a deformação da barra e do tubo quando uma
força P é aplicada por meio de uma placa rígida.Dados L, A1, E1, A2, E2.
P
L
Placa rígida
Barra
Tubo cilíndrico
Corte transversal (seção reta)
Corte longitudinal
Barra
Tubo cilíndrico
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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
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• A variação de temperatura provoca mudanças nas
dimensões de uma peça estrutural:
– Quando a temperatura aumenta a estrutura sofre uma
dilatação (alongamento);
– Quando a temperatura diminui a estrutura sofre uma
contração (encurtamento).
8 – TENSÕES TÉRMICAS
• Se a estrutura for isostática, e a
variação de comprimento
provocada pela temperatura for
livre, não surgirão tensões
causadas pela variação de
temperatura.
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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
Limites Elásticos
• Se a estrutura for hiperestática, a
variação de comprimento da barra
provocada pela temperatura será
impedida e surgirão tensões térmicas;
• Estas tensões térmicas podem atingir
valores elevados, causando danos à
estrutura ou mesmo provocando sua
ruptura;
• Por este motivo, em estruturas de grande
porte, como pontes, são feitas juntas de
dilatação, para permitir a livre
movimentação térmica da estrutura
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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
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Juntas de Dilatação
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Juntas de Dilatação
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Capítulo Primeiro: Tração e Compressão Simples entre os 
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Estudos experimentais demonstraram que a variação de
comprimento provocada pela temperatura em uma barra de
material homogêneo é dada por:
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Valores típicos do coeficiente de dilatação térmica
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Cálculo do efeito da variação térmica em uma estrutura
hiperestática (variação de comprimento impedida).
• Para a resolução deste tipo de problema,
é possível:
– Considerar a reação do apoio como
reação redundante e aplicar o
princípio da superposição dos efeitos.
Resolução literal no quadro!
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EXEMPLO 3.9:
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