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Tema 04 Solicitação a Torção

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Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
Professor: Me. Klaus André de S. Medeiros
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
1 – DEFINIÇÕES
Torção se refere ao giro de uma peça quando carregada por
momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o
eixo longitudinal da barra.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• Momentos que produzem
giro na barra, como os
momentos T1 e T2 da figura,
são chamados de torques ou
momentos torsores.
• Notação:
• Momento Torsor concentrado:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• Momento Torsor distribuído:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Obs.: Forças perpendiculares aplicadas fora do eixo 
também geram torção!
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• Convenções  Regra da Mão Direita
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
2 – DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR (D.M.T.)
O D.M.T. (diagrama solicitante) de uma peça estrutural submetida a um
certo carregamento é a representação gráfica dos valores do “Mt” em
cada seção reta ao longo de todo o comprimento da peça.
Procedimento de Traçado:
I) Calculam-se as reações de apoio;
II) Prepara-se o D.C.L;
III) Calcula-se Mt nos seguintes tipos de seções destacadas na peça:
- Seções extremas
- Seções dos apoios
- Seções que são ponto de aplicação de torques concentrados
- Seções que são ponto inicial ou final de torque distribuído
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
IV) Marcam-se. A partir do eixo central da peça e segundo a direção
perpendicular a esse eixo, os valores obtidos para Mt sobre cada
seção reta considerada.
V) Unindo-se, consecutivamente, os pontos finais dos valores marcados
obtém-se a configuração do D.M.T procurado.
Exemplo 4.1:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
Exemplo 4.2:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
Ilustração:
Peças em Torção
Pura ou Torção
Simples em todo o
seu comprimento
II)
30 N.m
45 N.m
I)
5m
10 N.m/m
3.1 - Torção Pura = Torção Simples  Nas seções retas da peça, ou
em parte dela, só atua esforço interno do tipo Mt, sendo nulos todos os
demais.
3 – TORÇÃO PURA, TORÇÃO SIMPLES E TORÇÃO COMPOSTA
l l2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
OBS: Na Torção Pura o Mt não obrigatoriamente se mantém constante 
em todas as seções retas do trecho a ela submetido!
3.2 - Torção Composta  Seções retas da peça, ou de um trecho dela,
submetidas a qualquer outro esforço ALÉM do Mt.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• Empenamento da seção reta de uma peça submetida à Torção é a
desaplanação sob forma de alto e baixo relevo apresentado pelas
seções retas após a deformação por torção.
4 – EMPENAMENTO, CENTRO DE TORÇÃO E EIXO DE TORÇÃO
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
T
T
Obs.: Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do 
eixo permanecerão inalterados.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• O Centro de Torção da seção reta de uma peça é o ponto do plano
dessa seção em torno do qual ela tende a girar espontaneamente por
torção. É representado geralmente por “C.T.”.
O C.T. da seção reta de uma peça não necessariamente corresponde
ao Centro Geométrico da referida seção. Assim sendo, tem-se:
 Para seções retas com dois ou mais eixos de simetria no seu
próprio plano, o C.T. coincide com o C.G. e corresponde ao ponto
de interseção entre esses eixos. Exemplos:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Seção retangular
•
C.T. = C.G. 
•
C.T. = C.G. 
Seção circular
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
 Para as seções retas que só possuem um eixo de simetria no próprio 
plano da seção, tanto o C.T. quanto o C.G. ficam situados sobre esse 
eixo, mas não se confundem num mesmo ponto. Exemplos:
Seção em T 
C.G.
C.T.
a
a
Seção em cantoneira de abas iguais
C.T.
C.G.
Eixo de simetria
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
 Para as seções abertas constituídas por dois ou mais componentes 
retangulares que convergem num mesmo ponto, o centro de torção 
coincide com este ponto de convergência. Exemplos:
Seção em cantoneira
C.T.C.T.
Seção em Y
•
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• Eixo de Torção de uma peça estrutural é a linha imaginária
que une o C.T. de todas as seções retas destacadas ao longo
do comprimento dessa peça.
5 –TEORIAS DE ESTUDO DA TORÇÃO
- Teoria Elementar da Torção:
• Foi apresentada inicialmente por Coulomb e Young;
• Fundamenta-se na Hipótese das Seções Planas após
deformação da peça por torção;
• Só tem validade para estudar o problema da torção em
hastes de seção circular maciça ou centralmente vazadas.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
- Teoria Geral da Torção:
• Foi apresentada por Saint Venant;
• Usa a Teoria da Elasticidade para estudo da Torção em peças
estruturais prismáticas de seção qualquer ;
• A Hipótese das Seções Planas após deformação da peça, de
seção qualquer (não circular), por torção não tem validade dentro
dessa Teoria.
Observações:
I) Durante a torção de peças prismáticas com seção reta não-circular,
essas seções sofrem uma desaplanação ou empenamento.
II) Em Resistência dos Materiais só se estuda a Teoria Elementar da
Torção.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
6 - TEORIA ELEMENTAR DA TORÇÃO
6.1 – Torção em Haste Reta de Seção Circular
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
• Torque aplicado ao eixo produz
tensões de cisalhamento nas faces
perpendiculares ao eixo;
• A existência de componentes de
cisalhamento axial é demonstrada,
considerando um eixo formado por
tiras axiais separadas;
• As tiras deslizam umas em relação as
outras quando torques iguais e
opostos são aplicados às
extremidades do eixo.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
• A experiência mostra que o ângulo de
torção da barra é proporcional ao
torque aplicado e ao comprimento da
barra:
• Seções transversais para barras
circulares cheias ou vazadas
permanecem planas e indeformadas,
porque a barra circular é axissimétrica.
• Seções transversais de barras não
circulares são distorcidos quando
submetidas à torção.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
6.2 - Tensão de Cisalhamento na Torção Pura
• Distribuição das tensões:
• Para as hastes retas de seção circular maciça em torção pura, de um
modo geral, tem-se: t
t
I
.rM
)(  r 






t
t
t
t
t
máxt
..
2.I
.DM
I
.RM
I
.rM
)( retaseçMáxr
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
 It = Ip: momento polar de
inércia da área da seção;
 Mt: momento torsor resultante
que age na seção;
 τ: tensão de cisalhamento r: distância radial da linha
central do eixo.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
6.3 – Ângulo de Torção
• Para as hastes retas de seção
circular maciça em torção pura, de
um modo geral, tem-se:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
t
t
G.I
M

G : módulo de elasticidade ao cisalhamento;
L: comprimento do eixo;
ϕ: ângulo de torção (rad);
θ: ângulo de torção por unidade de
comprimento.
t
t
G.I
M L

L
para  
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
• O Módulo de Rigidez à Torção de uma peça estrutural é definido pelo
produto “G.It” e significa a dificuldade que a peça apresenta de se
deformar por torção. Ele é conhecido também como “módulo de
rigidez torsional”.
6.4 - Módulo de Rigidez e Módulo de Resistência à Torção
• O Módulo de Resistência à Torção de uma peça
estrutural é também chamado de “módulo
torsional de resistência”. É representado pelo
símbolo “Wt” e definido a partir da expressão:







máx
t
t
r
I
W
Para a peça em Torção Pura de seção circular maciça, tem-se:
 
 
  




















16
.
2
.
R
2
.
r
I
W
33
4
maciça
circ. seção
máx.
maciça
circ. seção
t
maciça
circ. seção
t
DR
R


RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
Exemplo 4.3:
O eixo BC tem uma secção circular
vazada com diâmetro interno 90 mm e
diâmetro externo de 120 mm. Os eixos
AB e CD são de seção circular maciça
com diâmetro d.
Para os carregamentos ilustrados na
figura, determinar:
(a) As tensões de cisalhamento máxima
e mínima no eixo BC;
(b) O diâmetro mínimo d para os eixos
AB e CD se a tensão de cisalhamento
admissível para o material destes eixos
for 65 MPa.
(c) A rotação de cada eixo e a rotação
total. Considerar G = 80 Gpa.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
Determinar as reações de momento torsor em A e B.
• A partir de uma análise de corpo livre da barra:
7 – SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
• EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE: 
• Logo: , substituindo em (1):
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Exemplo 4.4:
Determine as reações dos apoios A e B da barra de aço mostrada na
figura abaixo, e depois esboce o diagrama real de momentos torsores.
Determine também as tensões máximas e as rotações de cada trecho.
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
6 - TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA POR TORÇÃO
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
• Trabalho  Força x deslocamento: dU = F ∙ dr ou dU = Mt ∙ dθ
• Potência  Trabalho por unidade de tempo : P = dU/dt
• Substituindo o trabalho do torsor na equação da potência, têm-se:
P = Mt ∙ dθ/dt
• A variação do deslocamento no tempo é igual a velocidade. Se o
deslocamento for angular, então resulta em velocidade angular ω.
Logo:
P = Mt ∙ ω
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
6 - TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA POR TORÇÃO
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
• Cisalhamento Máximo:
• A partir da potência sabe-se que: P = Mt ∙ ω  Mt = P/ω
• Substituindo o torsor na equação do cisalhamento máximo, têm-se:
• Ou ainda podemos expressar em função da frequência. Sabe-se
que ω = 2 ∙ π ∙ f , logo:
t
máxt
..
I
rM
)(

retaseçMáxr
t
máx
..
I
r P
)(




 retaseçMáxr
t
máx
..
I2
r P
)(



f
r retaseçMáx 
Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Torção em Hastes de Eixo Reto
Exemplo 4.5:
O eixo maciço de aço ilustrado na figura tem tensão admissível ao
cisalhamento de 100 MPa, e o mesmo está submetido a um torque de
um motor com potência de P = 3750 W. Determine o diâmetro do eixo
sabendo que a velocidade angular imposta é de ω = 175 rpm.

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