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Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto Professor: Me. Klaus André de S. Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 1 – DEFINIÇÕES Torção se refere ao giro de uma peça quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • Momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da figura, são chamados de torques ou momentos torsores. • Notação: • Momento Torsor concentrado: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • Momento Torsor distribuído: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Obs.: Forças perpendiculares aplicadas fora do eixo também geram torção! Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • Convenções Regra da Mão Direita RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 2 – DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR (D.M.T.) O D.M.T. (diagrama solicitante) de uma peça estrutural submetida a um certo carregamento é a representação gráfica dos valores do “Mt” em cada seção reta ao longo de todo o comprimento da peça. Procedimento de Traçado: I) Calculam-se as reações de apoio; II) Prepara-se o D.C.L; III) Calcula-se Mt nos seguintes tipos de seções destacadas na peça: - Seções extremas - Seções dos apoios - Seções que são ponto de aplicação de torques concentrados - Seções que são ponto inicial ou final de torque distribuído RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto IV) Marcam-se. A partir do eixo central da peça e segundo a direção perpendicular a esse eixo, os valores obtidos para Mt sobre cada seção reta considerada. V) Unindo-se, consecutivamente, os pontos finais dos valores marcados obtém-se a configuração do D.M.T procurado. Exemplo 4.1: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto Exemplo 4.2: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto Ilustração: Peças em Torção Pura ou Torção Simples em todo o seu comprimento II) 30 N.m 45 N.m I) 5m 10 N.m/m 3.1 - Torção Pura = Torção Simples Nas seções retas da peça, ou em parte dela, só atua esforço interno do tipo Mt, sendo nulos todos os demais. 3 – TORÇÃO PURA, TORÇÃO SIMPLES E TORÇÃO COMPOSTA l l2 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto OBS: Na Torção Pura o Mt não obrigatoriamente se mantém constante em todas as seções retas do trecho a ela submetido! 3.2 - Torção Composta Seções retas da peça, ou de um trecho dela, submetidas a qualquer outro esforço ALÉM do Mt. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • Empenamento da seção reta de uma peça submetida à Torção é a desaplanação sob forma de alto e baixo relevo apresentado pelas seções retas após a deformação por torção. 4 – EMPENAMENTO, CENTRO DE TORÇÃO E EIXO DE TORÇÃO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto T T Obs.: Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • O Centro de Torção da seção reta de uma peça é o ponto do plano dessa seção em torno do qual ela tende a girar espontaneamente por torção. É representado geralmente por “C.T.”. O C.T. da seção reta de uma peça não necessariamente corresponde ao Centro Geométrico da referida seção. Assim sendo, tem-se: Para seções retas com dois ou mais eixos de simetria no seu próprio plano, o C.T. coincide com o C.G. e corresponde ao ponto de interseção entre esses eixos. Exemplos: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Seção retangular • C.T. = C.G. • C.T. = C.G. Seção circular Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto Para as seções retas que só possuem um eixo de simetria no próprio plano da seção, tanto o C.T. quanto o C.G. ficam situados sobre esse eixo, mas não se confundem num mesmo ponto. Exemplos: Seção em T C.G. C.T. a a Seção em cantoneira de abas iguais C.T. C.G. Eixo de simetria RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Para as seções abertas constituídas por dois ou mais componentes retangulares que convergem num mesmo ponto, o centro de torção coincide com este ponto de convergência. Exemplos: Seção em cantoneira C.T.C.T. Seção em Y • Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • Eixo de Torção de uma peça estrutural é a linha imaginária que une o C.T. de todas as seções retas destacadas ao longo do comprimento dessa peça. 5 –TEORIAS DE ESTUDO DA TORÇÃO - Teoria Elementar da Torção: • Foi apresentada inicialmente por Coulomb e Young; • Fundamenta-se na Hipótese das Seções Planas após deformação da peça por torção; • Só tem validade para estudar o problema da torção em hastes de seção circular maciça ou centralmente vazadas. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto - Teoria Geral da Torção: • Foi apresentada por Saint Venant; • Usa a Teoria da Elasticidade para estudo da Torção em peças estruturais prismáticas de seção qualquer ; • A Hipótese das Seções Planas após deformação da peça, de seção qualquer (não circular), por torção não tem validade dentro dessa Teoria. Observações: I) Durante a torção de peças prismáticas com seção reta não-circular, essas seções sofrem uma desaplanação ou empenamento. II) Em Resistência dos Materiais só se estuda a Teoria Elementar da Torção. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 6 - TEORIA ELEMENTAR DA TORÇÃO 6.1 – Torção em Haste Reta de Seção Circular RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto • Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo; • A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras axiais separadas; • As tiras deslizam umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto • A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra: • Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas e indeformadas, porque a barra circular é axissimétrica. • Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 6.2 - Tensão de Cisalhamento na Torção Pura • Distribuição das tensões: • Para as hastes retas de seção circular maciça em torção pura, de um modo geral, tem-se: t t I .rM )( r t t t t t máxt .. 2.I .DM I .RM I .rM )( retaseçMáxr RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto It = Ip: momento polar de inércia da área da seção; Mt: momento torsor resultante que age na seção; τ: tensão de cisalhamento r: distância radial da linha central do eixo. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 6.3 – Ângulo de Torção • Para as hastes retas de seção circular maciça em torção pura, de um modo geral, tem-se: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto t t G.I M G : módulo de elasticidade ao cisalhamento; L: comprimento do eixo; ϕ: ângulo de torção (rad); θ: ângulo de torção por unidade de comprimento. t t G.I M L L para Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto • O Módulo de Rigidez à Torção de uma peça estrutural é definido pelo produto “G.It” e significa a dificuldade que a peça apresenta de se deformar por torção. Ele é conhecido também como “módulo de rigidez torsional”. 6.4 - Módulo de Rigidez e Módulo de Resistência à Torção • O Módulo de Resistência à Torção de uma peça estrutural é também chamado de “módulo torsional de resistência”. É representado pelo símbolo “Wt” e definido a partir da expressão: máx t t r I W Para a peça em Torção Pura de seção circular maciça, tem-se: 16 . 2 . R 2 . r I W 33 4 maciça circ. seção máx. maciça circ. seção t maciça circ. seção t DR R RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto Exemplo 4.3: O eixo BC tem uma secção circular vazada com diâmetro interno 90 mm e diâmetro externo de 120 mm. Os eixos AB e CD são de seção circular maciça com diâmetro d. Para os carregamentos ilustrados na figura, determinar: (a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC; (b) O diâmetro mínimo d para os eixos AB e CD se a tensão de cisalhamento admissível para o material destes eixos for 65 MPa. (c) A rotação de cada eixo e a rotação total. Considerar G = 80 Gpa. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto Determinar as reações de momento torsor em A e B. • A partir de uma análise de corpo livre da barra: 7 – SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto • EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE: • Logo: , substituindo em (1): Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Exemplo 4.4: Determine as reações dos apoios A e B da barra de aço mostrada na figura abaixo, e depois esboce o diagrama real de momentos torsores. Determine também as tensões máximas e as rotações de cada trecho. Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 6 - TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA POR TORÇÃO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto • Trabalho Força x deslocamento: dU = F ∙ dr ou dU = Mt ∙ dθ • Potência Trabalho por unidade de tempo : P = dU/dt • Substituindo o trabalho do torsor na equação da potência, têm-se: P = Mt ∙ dθ/dt • A variação do deslocamento no tempo é igual a velocidade. Se o deslocamento for angular, então resulta em velocidade angular ω. Logo: P = Mt ∙ ω Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto 6 - TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA POR TORÇÃO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto • Cisalhamento Máximo: • A partir da potência sabe-se que: P = Mt ∙ ω Mt = P/ω • Substituindo o torsor na equação do cisalhamento máximo, têm-se: • Ou ainda podemos expressar em função da frequência. Sabe-se que ω = 2 ∙ π ∙ f , logo: t máxt .. I rM )( retaseçMáxr t máx .. I r P )( retaseçMáxr t máx .. I2 r P )( f r retaseçMáx Capítulo Segundo: Estudo da Torção em Hastes de Eixo Reto RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Torção em Hastes de Eixo Reto Exemplo 4.5: O eixo maciço de aço ilustrado na figura tem tensão admissível ao cisalhamento de 100 MPa, e o mesmo está submetido a um torque de um motor com potência de P = 3750 W. Determine o diâmetro do eixo sabendo que a velocidade angular imposta é de ω = 175 rpm.
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