Lema III - Produtos Notáveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
MATC24 - LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA III
Edmundo Lima Correia Filho
João Elias Vieira Júnior
Produtos Notáveis
Salvador 
2016
Edmundo Lima Correia Filho
João Elias Vieira Júnior
Produtos Notáveis
Atividade vinculada à disciplina Laboratório de Ensino de Matemática III, do Instituto de Matemática da Universidade Federal da Bahia, ministrada pela professora Cristiana Bastos Paiva Valente, como requisito parcial para aprovação na disciplina.
Salvador 
2016
SUMÁRIO
Introdução .........................................................................................................	03
As origens dos produtos notáveis .....................................................................	03
Quadrado da soma de dois termos ...................................................................	04
4.	Quadrado diferença de dois termos..................................................................	04
5. Produto da soma pela diferença ...................................................................... 	05
6. Cubo da soma de dois termos .......................................................................... 	06
7. Cubo da diferença de dois termos ................................................................... 	07
5.	Referências ...........................................................................................................	07
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1.	Introdução
		As ideias básicas sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, aperfeiçoa o tempo de resolução e acelera o aprendizado. O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos que direcionam a solução final. Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de atenção.
2.	As Origens dos Produtos Notáveis. 
	Os gregos, na antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.
	Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. 
3. Quadrado da Soma de dois Termos
Regra básica: Quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.[2]
Prova: 
Exemplos:
1)
2)
Quadrado da diferença: 
Vamos tomar como exemplo um quadrado cujos lados medem a. De cada lado, subtraímos b.
 
Para obter a área do quadrado amarelo, basta efetuarmos o produto (a-b) ͘͘͘͘͘͘͘͘. (a-b)= (a-b)².Essa área também é igual á área do quadrado amarelo menos as áreas dos retângulos roxos e do quadrado roxo.
Desse modo, temos:
Agora podemos calcular a área do quadrado amarelo:
Já que a área do quadrado amarelo é (a-b)², obteremos a seguinte expressão:
	
Produto da soma pela diferença:
Agora vamos efetuar (a + b) . (a – b) usando a geometria. Observe:
A área da figura á esquerda é igual a (a + b). (a – b). Por outro lado, a área da figura da direita é a² - b². Como ambas as áreas são iguais, temos:
Cubo da soma:
Observe como podemos desmontar o cubo com arestas medindo a + b:
O volume do cubo á esquerda é dado por (a + b). (a+ b) = (a + b)³, que também pode ser representado pela soma dos volumes de cada parte:
Cubo da diferença:
Da mesma forma, podemos calcular o cubo de uma diferença: (a – b)³. Para isso, vamos calcular o volume do cubo amarelo, mostrado na figura:
 
O volume do cubo amarelo é dado por (a – b)³, cujo volume é igual ao do cubo grande (a³) menos o volume dos blocos restantes.
Somando o volume dos três blocos e juntando os termos semelhantes, temos:
 a²b + a²b – ab² + a²b – 2ab² + b³ = 3ª²b – 3ab² + b³
Portanto, o volume do cubo amarelo será dado também por: 
A³ - (3ª²b – 3ab² + b³) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Com isso, já que a área do cubo amarelo é (a-b)³, obtemos a expressão:
	
5.	Referências
 - REIS, Lourisnei Fortes; CARVALHO, Alexandre Luís Trovon de. Matemática interativa, vol 8. São Paulo: Casa Publicadora Brasileira, 2015.
 SHAPE 
Área do quadrado amarelo: a²
Área dos retângulos roxos: 2b(a-b) = 2ab-2b²
Área do quadrado roxo: b²
 a²- (2ab-2b² )-b² =a² - 2ab + 2b² - b²
 = a² - 2ab + b²
 (a – b)² = a² - 2ab + b²
 (a + b) . (a – b) = a² - b²
 
 (a+ b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
O volume do bloco azul é: a²b
O volume do bloco vermelho é: ab(a – b) = a²b – ab²
O volume do bloco verde é: ( a- b)² . b = (a2 – 2ab + b²) . b = a²b – 2ab² +b
 (a – b)³ = a³ - 3ª²b +3ab² - b³