calculo diferencial e integral primeira av1

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 5: Modelagem e Otimização 
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Modelagem e Otimização
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PRÓXIMOS 
PASSOS
Unidade II: Aplicações de Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 5: Modelagem e Otimização 
Modelagem: 
Representar o comportamento de um fenômeno de interesse por meio de funções matemáticas.
Otimização:
Utilizar recursos matemáticos para minimizar ou maximizar determinadas variáveis das funções que modelam o fenômeno.
Modelagem e Otimização
Trata-se de organizar estrategicamente os conhecimentos adquiridos até aqui, com o objetivo de se obter a melhor solução para um determinado problema.
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Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível.
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Modelagem:
Construir uma função que calcule o volume da caixa em função de x.
V(x) = (60-2x).(40-2x) . x
V(x) = (2400-120x-80x+4x2). x
V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60com x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível.
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Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x
Como temos uma função que calcula o volume da caixa para valores de x, nos resta descobrir para qual valor de x o volume é máximo.
Recaímos em um problema de máximos e mínimos de função. 
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível.
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Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x
Otimização : V’(x) = 12x2 - 400x + 2400
Pontos candidatos: 
 V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 = 0
Resolvendo a eq. do 2º grau:
x = 25,48 ou x = 7,85cm
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível.
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Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x
Otimização : V’(x) = 12x2 - 400x + 2400
Pontos candidatos: x = 25,48 ou x = 7,85 cm
Como a solução de x=25,48 não é fisicamente possível (um dos lados é 40cm), o maior volume é obtido ao se construir a caixa com altura de 7,85cm.
 volume máximo: 8450,45cm3
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível.
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Situação Problema: construir moldes cilíndricos utilizando chapas metálicas. Fixando o consumo máximo de material em 500cm2, quais devem ser as dimensões (altura e raio) para que seu volume seja máximo (considerar a parede e as 2 bases)?
h
r
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h
r
Situação Problema: construir moldes cilíndricos utilizando chapas metálicas. Fixando o consumo máximo de material em 500cm2, quais devem ser as dimensões (altura e raio) para que seu volume seja máximo (considerar a parede e as 2 bases)?
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Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima?
Modelagem: Temos que criar uma função da potência em função da resistência.
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Modelagem: 
Otimização: 
Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima?
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Modelagem: 
Otimização: 
Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima?
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Modelagem: 
Otimização: 
Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a potência máxima? Qual o valor da potência máxima?
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Assuntos da próxima aula:
Integral Indefinida; 
Integrais Imediatas e Integração por substituição.
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