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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 4: Aplicações de Derivadas 1 TAXAS RELACIONADAS 1 MÁXIMOS E MÍNIMOS 2 TRAÇADO DE CURVAS 3 PRÓXIMOS PASSOS Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas Aplicação das derivadas de vasta utilização em Física, Química, nas Engenharias e em outras áreas do conhecimento. Taxa Relacionada: taxa criada a partir das variações individuais de dois fenômenos e que relaciona um com o outro. Taxas Relacionadas Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 3 O móvel A se desloca sobre o eixo X e o móvel B sobre o eixo Y. Os dois móveis partem do ponto O e, após 1 s, encontram-se, respectivamente, nos pontos X=4 e Y=3. Dado que A desloca-se a 4m/s e B a 3m/s, deseja-se conhecer a variação da distância entre os móveis. Taxas Relacionadas Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 4 D D: distância entre os móveis Pelo teorema de Pitágoras, Taxas Relacionadas Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 5 D Derivando a expressão em relação a t: Dividindo os membros da equação por 2: Substituindo as taxas de A e B (m/s): Taxas Relacionadas Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 6 D Substituindo um ponto conhecido: Taxas Relacionadas Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 7 Os pontos de máximo e de mínimo de uma função são pontos de tangente horizontal (coeficiente angular nulo), ou seja, a derivada naqueles pontos se anula. Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 8 Analisando o gráfico, também podemos concluir que a função é crescente nos intervalos e e é decrescente nos intervalos e . a b x1 x2 x3 Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 9 Nos intervalos e a derivada de f(x) é positiva. Nos intervalos e a derivada de f(x) é negativa. a b x1 x2 x3 Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 10 DEFINIÇÃO Considere uma função f definida em um intervalo I (aberto ou fechado). Podemos, então, concluir que: f é crescente em I se para todo f é decrescente em I se para todo Em outro caso, dizemos, então, que f é constante. Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 11 Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 12 Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 13 Ponto crítico da função Máximo local Máximo absoluto Mínimo local Mínimo absoluto Ponto de inflexão Máximos e mínimos de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 14 Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 15 Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 16 Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 17 Derive a função obtendo . Iguale a derivada primeira a zero para determinar o(s) ponto(s) crítico(s): Sendo c um ponto crítico da função, obtenha a derivada segunda e calcule seu valor para . Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função Considerando uma função contínua em um intervalo I: Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 18 Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função Considerando uma função contínua em um intervalo I: Para avaliar se c é ponto de máximo, mínimo ou inflexão considere o seguinte: se , então a função tem uma inflexão em ; se , então a função tem um mínimo local em ; se , então a função tem um máximo local em . Para verificar se há mais algum ponto de inflexão (nos casos em que , determine o valor de c tal que . Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 19 Determinar e classificar os pontos críticos de uma função Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 20 Determinar e classificar os pontos críticos de uma função Unidade II: Aplicações de Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 4: Aplicações de Derivadas 21 Assuntos da próxima aula: Modelagem e Otimização 22
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