calculo diferencial e integral aula 4 av1

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 4: Aplicações de Derivadas 
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TAXAS
RELACIONADAS
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
2
TRAÇADO DE 
CURVAS
3
PRÓXIMOS 
PASSOS
Unidade II: Aplicações de Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 4: Aplicações de Derivadas 
Aplicação das derivadas de vasta utilização em Física, Química, nas Engenharias e em outras áreas do conhecimento.
Taxa Relacionada: taxa criada a partir das variações individuais de dois fenômenos e que relaciona um com o outro.
Taxas Relacionadas
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O móvel A se desloca sobre o eixo X e o móvel B sobre o eixo Y. Os dois móveis partem do ponto O e, após 1 s, encontram-se, respectivamente, nos pontos X=4 e Y=3. 
Dado que A desloca-se a 4m/s e B a 3m/s, deseja-se conhecer a variação da distância entre os móveis.
Taxas Relacionadas
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D
D: distância entre os móveis
Pelo teorema de Pitágoras, 
Taxas Relacionadas
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D
Derivando a expressão em relação a t:
Dividindo os membros da equação por 2:
Substituindo as taxas de A e B (m/s):
Taxas Relacionadas
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D
Substituindo um ponto conhecido:
Taxas Relacionadas
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Os pontos de máximo e de mínimo de uma função são pontos de tangente horizontal (coeficiente angular nulo), ou seja, a derivada naqueles pontos se anula.
Máximos e mínimos de funções
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Analisando o gráfico, também podemos concluir que a função é crescente nos intervalos e 
 	 e é decrescente nos intervalos e . 
a
b
x1
x2
x3
Máximos e mínimos de funções
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Nos intervalos e a derivada de f(x) é positiva.
Nos intervalos e a derivada de f(x) é negativa.
a
b
x1
x2
x3
Máximos e mínimos de funções
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DEFINIÇÃO 
Considere uma função f definida em um intervalo I (aberto ou fechado).
 Podemos, então, concluir que:
f é crescente em I se para todo 
f é decrescente em I se para todo
Em outro caso, dizemos, então, que f é constante. 
Máximos e mínimos de funções
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Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 
Máximos e mínimos de funções
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Estudo do comportamento da função nas abcissas -1, 0 e 4 
Máximos e mínimos de funções
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Ponto crítico da função
Máximo local
Máximo absoluto
Mínimo local 
Mínimo absoluto
Ponto de inflexão
Máximos e mínimos de funções
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções
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Máximos e mínimos e pontos de inflexão de funções
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Derive a função obtendo .
Iguale a derivada primeira a zero para determinar o(s) ponto(s) crítico(s):
Sendo c um ponto crítico da função, obtenha a derivada segunda e calcule seu valor para .
Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
 
Considerando uma função contínua em um intervalo I:
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Diretrizes para determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
 
Considerando uma função contínua em um intervalo I:
Para avaliar se c é ponto de máximo, mínimo ou inflexão considere o seguinte:
se , então a função tem uma inflexão em ;
se , então a função tem um mínimo local em ;
se , então a função tem um máximo local em .
 Para verificar se há mais algum ponto de inflexão (nos casos em que , determine o valor de c tal que . 
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Determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
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Determinar e classificar os pontos críticos de uma função 
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Assuntos da próxima aula:
Modelagem e Otimização 
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