Lei de Composição Interna  ( Operações ) - Resolvidos

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02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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Lei de Composição Interna ( Operações )
s
Uma	 aplicação	  	 f	 :	 A	 x	 A	 	 →	 	 A	  	 é	 dita	 	 operação	 	 ou	 	 lei
composição	interna		sobre		A		ou		em	A,		se:		
∀		x,		y		∈		A, 	x		❋		y		∈		A.		
	
Assim:		
f	(x,		y)		=		x		❋		y,		∀		(x,		y)		∈		A	x	A.		
	
Lê-se:		
(	 "	 f	 "	 	 de	 	 (x,	 	 y)	 	 é	 igual	 a	 	 x	 	 'estrela'	 	 y,	 	 para	 todo
par		(x,		y)		pertencente	a		A	x	A	)
	
Exemplos:		
①	 	A	relação	 	f	:	 	x	 		→		 		dada	pela	lei:		
f(x,		y)		=		x		–		y	 não		de�ine	uma		operação,		pois,		por	exemplo:		
(3,	5)	 	∈	 	 	x	 	 e 	 f(3,	 	5)	 	=	 	3	 	–	 	5	 	=	 	–	2	 não	 	pertence	aos
naturais.		
	
②	 	A	relação	 	f	:	 	x	 		→		 		dada	pela	lei:		
f(x,		y)		=		x/y	 	não		de�ine	uma	operação,		pois,		por	exemplo:		
(3,	 	 6)	 	 ∈	 	 	 x	 	  e 	 f(3,	 	 6)	 	 =	 	 3/6	 	 =	 	 1/2	  não	 	 pertence	 aos
inteiros.		
	
③	 	A	relação	f	:	 	x	 		→		 		dada	pela	lei:		
f(x,		y)		=		x	y	 	de�ine	uma	operação,		pois	para	quaisquer		x,		y		∈		
, 	x		⋅		y	 	é	um	número	natural.
	
Propriedades de uma operação
Associativa
Home 	 Fundamental	II 	 Médio 	 Superior 	 Biogra�ias
Humor 	 Referências 	 Sobre
ℕ ℕ ℕ
ℕ ℕ
ℤ ℤ ℤ
ℤ ℤ
ℕ ℕ ℕ
ℕ
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Uma	 operação	 	 ❋	 	 sobre	 um	 conjunto	 	 A	 	 é
dita		associativa		se,		∀		x,		y,		z		∈		A:		
x		❋		(	y		❋		z	)		=		(	x		❋		y	)		❋		z
Signi�icado:		
	
Toda	 operação	 é	 de�inida	 para	 dois	 elementos,	 	 mas	 se	 ela	 for
associativa	então	pode	ser	realizada	com	mais	de	dois	elementos.
	
Comutativa
Uma	operação		❋	 	sobre	um	conjunto		A		 é	dita	 	comutativa	 	se,		∀
	x,		y		∈		A:		
x		❋		y		=		y		❋		x
Signi�icado:		
	
Toda	operação	deve	ser	resolvida	da	esquerda	para	direita,	 	mas	se
ela	for	comutativa	então	pode	ser	realizada	em	qualquer	ordem.
	
Elemento neutro
Uma	operação		❋	 	sobre	um	conjunto		A		admite		elemento	neutro
	representado	por		"e"		também	em	A,		se,		∀		x		∈		A:		
x		❋		e		=		x		=		e		❋		x		
	
Se	 	x		❋		e		=		x, 	se	diz	que	existe	elemento	neutro	à	direita.		
Se	 	e		❋		x		=		x, 	se	diz	que	existe	elemento	neutro	à	esquerda.
Signi�icado:		
	
O	elemento	neutro	é	aquele	que	não	muda	o	resultado	da	operação,
	em	qualquer	ordem	que	esta	seja	realizada.
	
Só	existe	elemento	neutro	se	à
esquerda	e	à	direita	forem	o
mesmo	elemento	de		A.
	
Unicidade	do	elemento	neutro		
	
Se	existe	elemento	neutro	então	ele	é	único.
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Elemento simetrizável
Uma	 elemento	 	 "x"	 	 de	 um	 conjunto	 	 A	 	 tem	 	 simétrico	 	 ou	 	 é
	simetrizável		em	relação	a	operação		❋		sobre	um	conjunto		A		se:		
∀		x		∈		A,		existe	um		x′		em		A		tal	que:		
x		❋		x′		=		e		=		x′		❋		x		
	
Se	 	x		❋		x′		=		e, 	se	diz	que		"x"		tem	simétrico	à	direita.		
Se	 	x′		❋		x		=		e, 	se	diz	que		"x"		tem	simétrico	à	esquerda.		
	
O	conjunto		U	❋	(A)	 	representa	o	conjunto	dos	elementos	que	tem
simétrico	em	relação	a	operação		❋		sobre	um	conjunto		A.		
	
Se	uma	operação		❋		admite	elemento	neutro	então:		
U	❋	(A)		≠		 ,		pois	 	e		❋		e′		=		e		=		e′		❋		e.
Signi�icado:		
	
O	 simetrizável	 é	 aquele	 que	 operado	 com	 o	 seu	 simétrico	 dá	 o
elemento	neutro.
	
Só	existe	o	simétrico	de	um
elemento		"x"		de		A,		se	à
esquerda	e	à	direita	forem
iguais.
	
Consequências	do	elemento	simetrizável:		
	
Se	 uma	 operação	 	❋	 	 sobre	 um	 conjunto	 	 A	 	 é	 associativa	 e	 tem
elemento	neutro,		então:		
①	 	Se		"x"		tem	simétrico		x′		então		x′		tem	simétrico		"x".		
	
x′		❋		x		=		x		❋		x′		=		e		
	
Portanto,		o	simétrico	de		x′		é		x,		ou	seja:		
(	x	′	)′		=		x.
	
②	 	 Se	 	 "x"	 	 e	 	 "y"	 	 em	 	 A,	 	 têm	 simétricos	 então	 	 x	 	❋	 	 y	 	 tem
simétrico,		ou	seja:		
∅
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(	x		❋		y	)′		=		y′		❋		x′	 	[	se		❋		for	comutativa	então	 	(x		❋		y)′		=		x′		❋
	y′	]
	
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Exemplos:	
Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre	o	conjunto		"B"		é	associativa,		se	é
comutativa,		se	existe	neutro		e		dê		U	❋	(B):		
a)		B		=		 		e		x		❋		y		=		x		+		x	y
A	operação	é	dada	por:		
x		❋		y		=		x		+		x		⋅		y		sobre		 		
	
i)		∀		a,		b,		c		∈		B,		(	a		❋		b	)		❋		c		=		a		❋		(	b		❋		c	)		
	
(	a		+		a		⋅		b	)		❋		c		=		a		❋		(	b		+		b		⋅		c	)		
(	a		+		a		⋅		b)		+		(	a		+		b		⋅		c	)		⋅		c		=		a		+		a		⋅		(	b		+		b		⋅		c	)		
a		+		a		⋅		b		+		a		⋅		c		+		b		⋅		c2		=		a		+		a		⋅		b		+		a		⋅		b		⋅		c	 	(	o	que
obviamente	é	falso	)		
	
Portanto,	a	operação		❋		não		é	associativa.		
	
ii)		∀		a,		b		∈		B,		a		❋		b		=		b		❋		a		
	
a		+		a		⋅		b		=		b		+		b		⋅		a		
a		+		a	b		=		b		+		a	b	 	(	o	que	obviamente	é	falso	)		
	
Portanto,		a	operação		❋		não		é	comutativa.		
	
iii)		∀		a		∈		B,		a		❋		e		=		a		=		e		❋		a		
	
a		❋		e		=		a		
a		+		a		⋅		e		=		a		
a		⋅		e		=		0		
e		=		0		
	
e		❋		a		=		a		
e		+		e		⋅		a		=		a		
e		⋅		(1		+		a)		=		a	 	(	logo,		não	tem	elemento	neutro	à	esquerda	)		
	
Portanto,		a	operação		❋		não		admite	elemento	neutro.		
	
iv)	 	 Como	 não	 tem	 elemento	 neutro,	 	 então	 não	 tem	 elemento
simetrizável.
	
ℤ
ℤ
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b)		B		=		 	x	 	 e 	(a,	b)		❋		(c,		d)		=		(a	c,		b		+		d).
Como	 	(a,		b)		❋		(c,		d)		=		(a		⋅		c,		b		+		d)		sobre		 	x	 		
	
i)		∀		(a,		b);		(c,		d);		(f,		g)		∈		B,		
[	(a,		b)		❋		(c,		d)	]		❋		(f,		g)		=		(a,		b)		❋		[	(c,		d)		❋		(f,		g)	]		
(a		⋅		c,		b		+		d)		❋		(f,		g)		=		(a,		b)		❋		(c		⋅		f,		d		+		g)		
(a	 	 ⋅	 	 c	 	 ⋅	 	 f,	 	b	 	+	 	d	 	+	 	g)	 	=	 	 (a	 	 ⋅	 	 c	 	 ⋅	 	 f,	 	b	 	+	 	d	 	+	 	g)	 	 (	o	que
obviamente	é	verdadeiro	)		
	
Portanto,		a	operação		❋		é	associativa.		
	
ii)		∀		(a,		b);		(c,		d)		∈		B,		
(a,		b)		❋		(c,		d)		=		(c,		d)		❋		(a,		b)		
(a		⋅		c,		b		+		d)		=		(c		⋅		a,		d		+		b)	 	(	o	que	obviamente	é	verdadeiro	)		
	
Portanto,		a	operação		❋		é	comutativa.		
	
iii)		Considerando 	e		=		(e₁,		e₂) 	em		B,		então		∀		(a,		b)		∈		B,		tem-
se:		
(a,		b)		❋		(e₁,		e₂)		=		(e₁,		e₂)		❋		(a,		b)		=		(a,		b)		
	
Tomando, 	(a,		b)		❋		(e₁,		e₂)		=		(a,		b)	 tem-se:		
(a		⋅		e₁,		b		+		e₂)		=		(a,	b)		
a		⋅		e₁		=		a	 	e	 	b		+		e₂		=		b		
e₁		=		1	 	e	 	e₂		=		0		
	
Como	a	operação	 	❋	 	 é	comutativa	não	se	 faz	necessário	resolver	 à
esquerda.		
	
Portanto,		e		=		(1,		0)		é		o	elemento	neutro	da	operação		❋		sobre		B.		
	
iv)		Considerando		(b′,		a′)		em		B,		então		∀		(a,		b)		∈		B,		tem-se:		
(a,		b)		❋		(b′,		a′)		=	(1,		0)		=		(b′,		a′)		❋		(a,		b)	
	
Tomando, 	(a,		b)		❋		(b′,		a′)		=		(1,		0), 	então:		
	
(a,		b)		❋		(b′,		a′)		=		(1,		0)		
(a		⋅		b′,		b		+		a′)		=		(1,		0)		
	
a		⋅		b′		=		1	 	e	 	b		+		a′		=		0		
b′		=		1	/	a	 	e	 	a′		=		–	b		
	
O	conjunto		B		é	formado	apenas	por	números	inteiros,		neste	caso,		
b′		só	existirá	se		a		=		1	 	ou	 	a		=		–	1, 	mas		a′		pode	ser	qualquer
inteiro.		
	
ℤ ℤ
ℤ ℤ
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Como	a	operação	 	❋	 	 é	comutativa	não	se	 faz	necessário	resolver	 à
esquerda.		
	
Portanto,	 	o	 conjunto	dos	elementos	simetrizáveis	para	a	operação
	❋		sobre		B		é:		
U	❋	(B)		=		{	(x,		y)		∈		 	x	 	;		x		=		1	 ou 	x		=		–	1	}
	
Elemento regular
Um	 elemento	 	 "r"	 	 de	 um	 conjunto	 	 A	 	 é	 dito	 	 elemento
regular		mediante	a	operação		❋		sobreum	conjunto		A,		se:		
∀		x,		y		∈		A,		só	for	possıv́el	se	ter	as	igualdades:		
r		❋		x		=		r		❋		y	 	e	 	x		❋		t		=		y		❋		r,			apenas		se		x		=		y		
	
Se	 	r		❋		x		=		r		❋		y		⇒		x		=		y	 	então		"r"		é	dito	regular	à	esquerda.	
Se	 	x		❋		r		=		y		❋		r		⇒		x		=		y	 	então		"r"		é	dito	regular	à	direita.		
	
R	❋	(A)		representa	o	conjunto	dos	elementos	regulares	em	relação	à
operação		❋		sobre		A.		
	
Signi�icado:		
	
Se	o	elemento	é	regular,		então:		
o	 resultado	 da	 operação	 dele	 com	 qualquer	 outro	 elemento	 do
conjunto	é	único.
	
Exemplo:	
Considerando	o	conjunto		B		=		 		e		a	operação	dada	por:		
x		❋		y		=		x		+		x	y, 	determine	os	elementos	regulares.
Seja		"r"		o	elemento	regular,		então		∀		a,		b		∈		B,		tem-se:		
	
Regular	à	esquerda:		
r		❋		a		=		r		❋		b		⇒		a		=		b		
	
r		+		r		⋅		a		=		r		+		r		⋅		b		
r		+		r		⋅		a		–		r		–		r		⋅		b		=		0		
r		⋅		a		–		r		⋅		b		=		0		
r		⋅		(a		–		b)		=		0		
	
Para	se	ter	exclusivamente		a		=		b		é	necessário	que		r		≠		0		
	
Isto	quer	dizer	que	exceto	o	zero	 todo	elemento	de	 	B	 	 é	 regular	 à
esquerda.		
	
ℤ ℤ
ℤ
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Regular	à	direita:		
a		❋		r		=		b		❋		r		⇒		a		=		b		
	
a		+		a		⋅		r		=		b		+		b		⋅		r		
a		+		a		⋅		r		–		b		–		b		⋅		r		=		0		
a		–		b		+		a		⋅		r		–		b		⋅		r		=		0		
a		–		b		+		r		⋅		(a		–		b)		=		0		
(a		–		b)		⋅		(1		+		r)		=		0		
	
Para	se	ter	exclusivamente		a		=		b		é	necessário	que		1		+		r		≠		0,		ou
seja,		r		≠		–	1		
	
Isto	quer	dizer	que	exceto	o		"–	1"		todo	elemento	de		B		é	regular	à
direita.		
	
Obviamente,		se		"r"		não	for		"0"		nem		"–	1"		é	regular.		
	
Portanto,	 	 o	 conjunto	 dos	 elementos	 regulares	 para	 a	 operação
	❋		sobre		 		é:		
R	❋	(	 	)		=		{	x		∈		 	;		x		≠		0	 	e	 	x		≠		–	1	}
	
Distributiva
Dadas	as	operações		❋		e		Δ		ambas	em		A,		se	diz	que:		
a	 operação	 	 Δ	 	 é	 	 distributiva	 	 em	 relação	 a
operação		❋		se,		∀		x,		y,		z		∈		A,		
	
x		Δ		(	y		❋		z	)		=		(	x		Δ		y	)		❋		(	x		Δ		z	)	 	(	Δ		é	distributiva	à	esquerda
de		❋	)		
(	y		❋		z	)		Δ		x		=		(	y		Δ		x	)		❋		(	z		Δ		x	)	 	(	Δ		é	distributiva	à	direita
de		❋	)		
	
Observação:	
Se	a	operação		∆		for	comutativa,		então	distributiva	à	esquerda	ou	à
direita	se	equivalem.
	
Exemplo:	
Sejam	 	x		❋		y		=		x		+		x	y	 	e	 	x		∆		y		=		x	y		+		1	 	operações	sobre		
.		
Veri�ique	se		∆		é	distributiva	em	relação	a	operação		❋.
Veri�icando	se	 ∆ 	é	distributiva	à	esquerda	em	relação	a	 ❋	:		
	
∀		a,		b,		c		∈		 :		
a		∆		(	b		❋		c	)		=		(	a	∆	b	)		❋		(	a		∆		c	)		
	
ℤ
ℤ ℤ
ℤ
ℤ
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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a		∆		(	b		+		b		⋅		c	)		=		(	a		⋅		b		+		1	)		❋		(	a		⋅		c		+		1	)		
a		⋅		(	b		+		b		⋅		c	)		+		1		=		(	a		⋅		b		+		1	)		+		(	a		�⋅		b		+		1	)		⋅		(	a		⋅		c		+		1
)		
a		⋅		b		+		a		⋅		b		⋅		c		+		1		=		a		⋅		b		+		1		+		a		⋅		b		⋅		a		⋅		c		+		a		⋅		b		+		a		⋅		c		+		1
a	b	 	+	 	a	b	 c	 	+	 	1	 	=	 	a	b	 	+	 	a2	b	 c	 	+	 	a	b	 	+	 	a	 c	 	+	 	1	 	 (	o	que
obviamente	é	falso	)		
	
Não	é	necessário	fazer	à	direita,	 	pois	mesmo	que	dê	verdadeiro,	 	 à
esquerda	já	deu	errado.		
	
Portanto,		∆		não		é	distributiva	em	relação	a	operação		❋
	
Parte fechada
Seja		❋		uma	operação	sobre	um	conjunto		A		≠		 .		
Um	subconjunto		B		do	conjunto		A		é		fechado		mediante	a	operação
de		A		se:		
	
∀		x,		y		∈		B,		x		❋		y		∈		B
	
Exemplos:		
①	 	O	conjunto		 		é		fechado	para	a	adição	em		 ,		pois:		
  	além	de	ser	um	subconjunto	não	vazio	dos	inteiros, 	∀		x,		y		∈		
, 	(	x		+		y	)		∈		 .		
	
②	 	O	conjunto		 		não		é	fechado	para	a	subtração	em		 ,		pois:		
  	existem		x,		y		∈		 ,	 	tal	que		(	x		–		y	)		∉		 	 	(	nos	casos	em
que 	x		<		y	)
	
Classe de Resto
Chama-se		classe	de	resto		ao	conjunto	dos	restos	da	divisão	de	um
inteiro	qualquer	por	um	inteiro	"m".		
	
�		=		{	0,		1,		2,		3, 	. 	. 	. 	,		m	−	1	}
A		adição		em		 �		é	de�inida	por:		
x		+		y		=		x		+		y, 	∀		x,		y		∈		 �
Propriedades		
	
∅
ℕ ℤ
ℕ ℕ
ℕ ℤ
ℕ ℕ
ℤ
ℤ
ℤ
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i)		A	adição	é	associativa,		pois	 ∀		x,		y,		z		∈		 �		
(	x		+		y	)		+		z		=		x		+		(	y		+		z	)		
	
x		+		y		+		z		=		x		+		y		+		z		
	
(x		+		y)		+		z		=		x		+		(y		+		z)		
	
x		+		y		+		z		=		x		+		y		+		z
	
ii)		A	adição	é	comutativa,		pois	 ∀		x,		y		∈		 �		
x		+		y		=		y		+		x		
	
x		+		y		=		y		+		x
	
iii)		A	adição	admite		0		como	elemento	neutro,		pois	 ∀		x		∈		 �		
x		+		0		=		0		=		0		+		x		
	
Logo, 	e		=		0 	é	o	elemento	neutro.
	
iv)		A	adição	admite	simétrico,		pois	 ∀		x		∈		 �	 	existe	 m	−	x	 
em		 �	 tal	que:		
x		+		m	−	x		=		m		=		0		
	
Logo, 	U	+	( �)		=		 �
	
v)		A	adição	tem	elemento	regular,		pois	 ∀		x,		y		∈		 �	 	existe		a
	em		 �	 tal	que:		
Se	 	x		+		a		=		y		+		a	 	e	 	a		+		x		=		a		+		y	 	⇒	 	x		=		y		
	
x		+		a		=		y		+		a	 	(	para	qualquer	valor	de		"a"		se	tem		x		=		y	)		
	
Logo, 	R	+	( �)		=		 �
	
A		multiplicação		em		 �		é	de�inida	por:		
x		⋅		y		=		x	y,	 ∀		x,		y		∈		 �		
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ ℤ
ℤ
ℤ
ℤ ℤ
ℤ
ℤ
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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i)		A	multiplicação	é	associativa,		pois	 ∀		x,		y,		z		∈		 �	
(	x		⋅		y	)		⋅		z		=		x		⋅		(	y		⋅		z	)		
	
x	y		⋅		z		=		x		⋅		y	z		
	
(x	y)	z		=		x	(y	z)		
	
x	y	z		=		x	y	z
	
ii)		A	multiplicação	é	comutativa,		pois	 ∀		x,		y		∈		 �	
x		⋅		y		=		y		⋅		x		
	
x	y		=		y	x	 	(	como	se	trata	de	inteiros	 	x		⋅		y		=		y		⋅		x	)
	
iii)		A	multiplicação	admite		1		elemento	neutro,		pois	 ∀		x		∈		 �		
x		⋅		1		=		x		=		1		⋅		x		
	
Logo, 	1 	é	o	elemento	neutro	da	multiplicação.
	
iv)	 	A	multiplicação	admite	simétrico,	 	pois	existe	elemento	neutro,
	mas	nem	todos	os	elementos	são	simetrizáveis.		
O	 elemento	 	 0,	 	 por	 exemplo,	 	 não	 tem	 simétrico	 para	 a
multiplicação.		
	
Se	 	 "m"	 	 for	 um	 número	 primo,	 	 o	 conjunto	 dos	 elementos
simetrizáveis	é	dado	por:		
U	•	(	 �	)		=		 		
	
Se		"m"		não		for	um	número	primo,		apenas	os	elementos		x		em	que
	mdc(	x,		m	)		=		1		têm	simétricos.
	
v)		A	multiplicação	admite	elementos	regulares,	 	mas	nem	todos	os
elementos	são	regulares.		
	
Da	mesma	forma	que	nos	elementos	simetrizáveis:		
se		"m"		for	primo	o	conjunto	dos	regulares	são:		
R	•	(	 �	)		=		 		
	
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ ℤ
∗
m
ℤ ℤ
∗
m
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
https://hpdemat.apphb.com/Operacao 11/42
Se		"m"		não		for	um	número	primo,		apenas	os	elementos		x		em	que
	mdc(	x,		m	)		=		1		são	regulares.
	
Composição de aplicações sobre um conjunto de
aplicações
O	conjunto		BA		é	o	conjunto	das	aplicações	de		A		em		B,		assim:		
o	conjunto		 A		é	o	conjunto	de	funções	 (	já	que	o	contradomıńio	é
real	) 	de		A		em		 .		
	
Sendo		A		=		{0,	1},		então	as	aplicações	 	f	:	A		→		A	 	são:		
	
f₁		=		{	(0,		0);		(1,		1)	},		ou	seja,		f₁	(0)		=		0	 	e	 	f₁	(1)		=		1		
	
f₂		=		{	(0,		0);		(1,		0)	},		ou	seja,		f₂	(0)		=		0	 	e	 	f₂	(1)		=		0		
não	é	sobrejetora,		pois	 	Im(f₂)		=		{	0	}		≠		A,		nem	injetora,		pois	 	f₂
(0)		=		f₂	(1)		=		0		
	
f₃		=		{	(0,		1);		(1,		0)	},		ou	seja,		f₃	(0)		=		1	 	e	 	f₃	(1)		=		0		
	
f₄		=		{	(0,		1);		(1,		1)	},		ou	seja,		f₄	(0)		=		1	 	e	 	f₄	(1)		=		1		
não	é	sobrejetora,		pois	 	Im(f₄)		=		{	1	}		≠		A,		nem	injetora,		pois	 	f₄
(0)		=		f₄	(1)		=		1
	
A	composição	dessas	aplicações	é	dada	por:		
f₁	o	f₁		=		{	(0,		0);		(1,		1)	}		=		f₁, 	pois		
f₁	[	f₁	(0)	]		=		f₁	(0)		=		0	 	e	 	f₁[	f₁	(1)	]		=		f₁	(1)		=		0		
	
f₂	o	f₂		=		{	(0,		0);		(1,		0)	}		=		f₂, 	pois		
f₂	[	f₂	(0)	]		=		f₂	(0)		=		0	 	e	 	f₂	[	f₂	(1)	]		=		f₂	(0)		=		0		
	
f₃	o	f₃		=		{	(0,		0);		(1,		1)	}		=		f₁, 	pois		
f₃	[	f₃	(0)	]		=		f₃	(1)		=		0	 	e	 	f₃	[	f₃	(1)	]		=		f₃	(0)		=		1		
	
f₄	o	f₄		=		{	(0,		1);		(1,		1)	}		=		f₄, 	pois		
f₄	[	f₄	(0)	]		=		f₄	(1)		=		1	 	e	 	f₄	[	f₄	(1)	]		=		f₄	(1)		=		1		
	
f₁	o	f₂		=		{	(0,		0);		(1,		0)	}		=		f₂, 	pois		
ℝ
ℝ
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f₁	[	f₂	(0)	]		=		f₁	(0)		=		0	 	e	 	f₁	[	f₂	(1)	]		=		f₁	(0)		=		0		
	
f₂	o	f₁		=		{	(0,		0);		(1,		0)	}		=		f₂, 	pois		
f₂	[	f₁	(0)	]		=		f₂	(0)		=		0	 	e	 	f₂	[	f₁	(1)	]		=		f₂	(1)		=		0		
	
f₁	o	f₃		=		{	(0,		1);		(1,		0)	}		=		f₃, 	pois		
f₁	[	f₃	(0)	]		=		f₁	(1)		=		1	 	e	 	f₁	[	f₃	(1)	]		=		f₁	(0)		=		0		
	
f₃	o	f₁		=		{	(0,		1);		(1,		0)	}		=		f₃, 	pois		
f₃	[	f₁	(0)	]		=		f₃	(0)		=		1	 	e	 	f₃	[	f₁	(1)	]		=		f₃	(1)		=		0		
	
f₁	o	f₄		=		{	(0,		1);		(1,		1)	}		=		f₄, 	pois		
f₁	[	f₄	(0)	]		=		f₁	(1)		=		1	 	e	 	f₁	[	f₄	(1)	]		=		f₁	(1)		=		1		
	
f₄	o	f₁		=		{	(0,		1);	(1,		1)	}		=		f₄, 	pois		
f₄	[	f₁	(0)	]		=		f₄	(0)		=		1	 	e	 	f₄	[	f₁	(1)	]		=		f₄	(1)		=		1		
	
f₂	o	f₃		=		{	(0,		0);		(1,		0)	}		=		f₂, 	pois		
f₂	[	f₃	(0)	]		=		f₂	(1)		=		0	 	e	 	f₂	[	f₃	(1)	]		=		f₂	(0)		=		0		
	
f₃	o	f₂		=		{	(0,		1);	(1,		1)	}		=		f₄, 	pois		
f₃	[	f₂	(0)	]		=		f₃	(0)		=		1	 	e	 	f₃	[	f₂	(1)	]		=		f₃	(0)		=		1		
	
f₂	o	f₄		=		{	(0,		0);		(1,		0)	}		=		f₂, 	pois		
f₂	[	f₄	(0)	]		=		f₂	(1)		=		0	 	e	 	f₂	[	f₄	(1)	]		=		f₂	(1)		=		0		
	
f₄	o	f₂		=		{	(0,		1);		(1,		1)	}		=		f₄, 	pois		
f₄	[	f₂	(0)	]		=		f₄	(0)		=		1	 	e	 	f₄	[	f₂	(1)	]		=		f₄	(0)		=		1		
	
f₃	o	f₄		=		{	(0,		0);		(1,		0)	}		=		f₂, 	pois		
f₃	[	f₄	(0)	]		=		f₃	(1)		=		0	 	e	 	f₃	[	f₄	(1)	]		=		f₃	(1)		=		0		
	
f₄	o	f₃		=		{	(0,		1);		(1,		1)	}		=		f₄, 	pois		
f₄	[	f₃	(0)	]		=		f₄	(1)		=		1	 	e	 	f₄	[	f₃	(1)	]		=		f₄	(0)		=		1
	
Representação	usual		
	
As	aplicações	são	normalmente	representadas	de	outra	maneira.		
Por	exemplo,	 	ao	 invés	de	se	escrever, 	 f₁	 	=	 	 {	 (0,	 	0);	 (1,	 	1)	} 	se
escreve:		
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f₁		=		 		
	
E	a	composição,		por	exemplo,		entre		f₂		e		f₃:		
	
		
	
Seguindo	a	seta	do	elemento		"0"		encontra-se		"1".		
Seguindo	a	seta	do		"1"		encontra-se		"1".		
	
Daı:́		
f₃	o	f₂		=		 		=		f₄
	
Conjunto das permutações
O	 conjunto	 das	 aplicações	 	 "bijetoras"	 	 sobre	 um	 conjunto	 	 A	 	 é
dito		conjunto	de	permutações	sobre		A.		
	
Assim,	 	 no	 conjunto	 	 A	 	 =	 	 {0,	 	 1},	 	 o	 conjunto	 das
permutações,		representado	por		S(A)		é:		
S(A)		=		{	f₁	;		f₂	},		onde:		
f₁		=		 	 	e	 	f₂		=		 		
	
Assim,		a	composição	em		S(A)		é:		
f₁	o	f₁		=		f₁		
f₁	o	f₂		=		f₂	o	f₁		=		f₂		
f₂	o	f₂		=		f₁
	
Observação:		
Se	o	conjunto		A		tem		"n"		elementos,		então:		
o	 conjunto	 das	 permutações,	 	 S(A),	 	 tem	 "n!"	  (	 "n"	 	 fatorial	 )	  
elementos.
	
( )
0
0
1
1
( )
0
1
1
1
( )
0
0
1
1
( )
0
1
1
0
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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Tábua de uma operação
Para	 um	 conjunto	 com	 poucos	 elementos	 a	 operação	 pode	 ser
representada	em	uma	tabela.		
Os	elementos	do	conjunto	são	dispostos,	 	na	mesma	ordem,	 	na	1ª
�ila	horizontal	e	na	1ª	�ila	vertical.		
	
Dada	uma	operação		❋		sobre	o	conjunto		A		=		{a,		b,		c,		d}.
❋ a b c d
a
b
c
d
	
	
Sejam		"x"		e		"y"		os	elementos	da	operação		x		❋		y		sobre		A,		então:		
a	 �ila	 vertical	 em	 cinza	 é	 a	 coluna	 fundamental	  (	 onde	 estão	 os
valores	de		"x"	)		
a	 �ila	 horizontal	 em	 azul	 é	 a	 linha	 fundamental	  (	 onde	 estão	 os
valores	de		"y"	)		
E	no	encontro	das	�ilas	fundamentais	se	encontra	a	operação.		
	
Na	parte	em	branco	da	tábua	se	coloca	os	resultados	da	operação.		
Supondo,		por	exemplo,		que		"b		❋		c"		seja		"d",		então,		terıá-se:
❋ a b c d
a
b d
c
d
	
E	que		"c		❋		b"		seja		"a",		então:
❋ a b c d
a
b d
c a
d
	
	
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Propriedades de uma operação na tábua
Considerando	a	operação		❋		sobre	o	conjunto		D		=		{	x₁,		x₂,		x₃,	 .	 .
 .		,		xn	}.		
As	propriedades	desta	operação	podem	ser	observadas:
Associativa
Não	é	prática,		pois	exige	muito	trabalho.		
Terıá-se	que	calcular	todos	os	compostos	 (	xi	 	❋	 	xj	 )	 	❋	 	 xk,	 	 com
	i,		j,		k		variando	de		1		a		n.		
O	que	daria		n3		compostos.		
E	caso	a	operação	não	seja	comutativa,		terıá-se	que	fazer	também	os
compostos	 	xi		❋		(	xj		❋		xk	).		
O	que	daria	mais		n3		compostos.
	
Comutativa
Basta	observar	na	tábua	se	os	elementos	de	posição		"xij"		são	iguais
aos	elementos	de	posição		"xji".		
Ou	simplesmente,		observar	na	tábua	se	ela	é	simétrica	em	relação	a
diagonal	principal.		
	
No	exemplo	da	tábua	sobre		H		=		{a,		b,		c,		d}:
❋ a b c d
a
b d
c a
d
	
Excluindo-se	a	linha	e	a	coluna	fundamental,		nota-se	que:		
não	é	comutativa,		pois	o		"x₂₃"		=		d		é	diferente	do		"x₃₂"		=		a.
	
Basta	que	não	seja	válida
apenas	uma	única	vez	para	que
a	propriedade	não	se	veri�ique.
	
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Elemento neutro
Se	 uma	 �ila	 horizontal	 tiver	 seus	 elementos	 dispostos	 exatamente
como	na	linha	fundamental,		então:		
o	elemento	que	está	na	coluna	fundamental	dessa	linha	é	o	elemento
neutro	à	esquerda.		
	
Se	uma	�ila	vertical	tiver	seus	elementos	dispostos	exatamente	como
na	coluna	fundamental,		então:		
o	elemento	que	está	na	linha	fundamental	dessa	coluna	é	o	elemento
neutro	à	direita.		
	
Se	 o	 elemento	 à	 esquerda	 e	 à	 direita	 for	 o	mesmo,	 	 então	 ele	 é	 o
elemento	neutro.
❋ a b c d
a a
b b
c c
d a b c d
Logo,		o	elemento		"d"		é	o	elemento	neutro.
	
Elemento simetrizável
Basta	observar	em	cada	linha	e	em	cada	coluna	o	composto	que	dá	o
elemento	neutro.
❋ a b c d
a b c a a
b c c d b
c a d b c
d a b c d
Logo,		"a"		não	tem	simétrico,		pois	na	linha	dele	não	tem	o	elemento
neutro		"d";		
E	se	falha	na	linha,		nem	precisa	observer	a	coluna	dele.		
	
O	elemento		"b"		tem		"c"		como	simétrico	e	vice-versa.		
O	elemento		"d"		tem	ele	mesmo	como	simétrico.		
	
Então,		o	conjunto	dos	elementos	simetrizáveis	é:		
U	•	(	H	)		=		{b,		c,		d}
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Elemento regular
Para	ser	regular	não	pode	haver	elemento	repetido	na	coluna	nem
na	linha.
❋ a b c d
a b c a a
b c c d b
c a d b c
d a b c d
Assim,		nem	o		"a"		nem	o		"b"		são	regulares,		pois	em	suas	linhas	há
repetição	de	elemento.		
E	se	falha	na	linha,		nem	precisa	observar	na	coluna.		
	
O	conjunto	dos	elementos	regulares	é:		
R	•	(	H	)		=		{c,		d}
	
Exercícios Resolvidos
R01	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre		E		é:		
associativa,		se	é	comutativa,		se	existe	elemento	neutro		e	determine
os	elementos	simetrizáveis	de:		
a)		E		=		IR	 	e	 	x		❋		y		=		 		
b)		E		=		 	 	e	 	x		❋		y		=		x		+		y		–		6		
	
a)		Para	 	x		❋		y		=		 ,	 	tem-se:		
	
i)		∀		a,		b,		c		∈		IR		
(	a		❋		b	)		❋		c		=		a		❋		(	b		❋		c	)		
	
		❋		c		=		a		❋		 		
	
		=		 		
	
𝑥 +  𝑦
2
ℤ
𝑥 +  𝑦
2
𝑎 +  𝑏
2
𝑏 +  𝑐
2
 +  𝑐
𝑎 +  𝑏
2
2
𝑎 + 
𝑏 +  𝑐
2
2
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		=		 		
	
		=		 		
	
Portanto,a	operação		❋		não		é	associativa.		
	
ii)		∀		a,		b		∈		IR		
a		❋		b		=		b		❋		c		
	
		=		 		
	
Como,	 	no	conjunto	dos	números	reais	 	a	 	+	 	b	 	=	 	b	 	+	 	a,	 	então	a
operação		❋		é		comutativa.		
	
iii)		∀		a		∈		IR		
a		❋		e		=		e		❋		a			=			a		
	
Como	a	operação	 é	 comutativa,	 	basta	veri�icar	apenas	em	um	dos
lados:		
	
a		❋		e		=		a		
		=		a		
a	+		e		=		2	a		
e		=		2	a		–		a		
e		=		a		
	
Assim,		a	operação		❋		não		apresenta	elemento	neutro,		pois:		
era	 necessário	 ter	 dado	 apenas	 um	 elemento	 do	 conjunto	  (no
caso		IR)		
	
iv)	 	 Como	 não	 tem	 elemento	 neutro	 então	 	 não	 	 tem	 elemento
simetrizável.		
	
	
b)		Para	 x		❋		y		=		x		+		y		–		6,		tem-se:		
	
i)		∀		a,		b,		c		∈		IR		
(	a		❋		b	)		❋		c		=		a		❋		(	b		❋		c	)		
	
(	a		+		b		–		6	)		❋		c		=		a		❋		(	b		+		c		–		6	)		
(	a		+		b		–		6	)		+		c		–		6		=		a		+		(	b		+		c		–		6	)		–		6		
a	 	 +	 	 b	 	 +	 	 c	 	 –	 	 12	 	 =	 	a	 	 +	 	 b	 	 +	 	 c	 	 –	 	 12	  (	 o	 que	 obviamente	 é
verdadeiro	)		
	
2𝑎 +  𝑏 +  2𝑐
2
2
2𝑎 +  2𝑏 +  𝑐
2
2
2𝑎 +  𝑏 +  2𝑐
4
2𝑎 +  2𝑏 +  𝑐
4
𝑎 +  𝑏
2
𝑏 +  𝑎
2
𝑎 +  𝑒
2
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Portanto,		a	operação		❋		é		associativa.		
	
ii)		∀		a,		b		∈		IR		
a		❋		b		=		b		❋		c		
	
(	a		+		b	)		–		6		=		(	b		+		a	)		–		6		
	
Como,	 	no	conjunto	dos	números	reais	 	a	 	+	 	b	 	=	 	b	 	+	 	a,	 	então	a
operação		❋		é		comutativa.		
	
iii)		∀		a		∈		IR		
a		❋		e		=		e		❋		a			=			a		
	
Como	a	operação	 é	 comutativa,	 	basta	veri�icar	apenas	em	um	dos
lados:		
	
a		❋		e		=		a		
a	+		e		–		6		=		a		
e		=		a		+		6		–		a		
e		=		6		
	
Portanto,		a	operação		❋		tem	como	elemento	neutro	o	elemento		6.		
	
iv)		∀		a		∈		IR		
a		❋		a′		=		e		=		a′		❋		a		
	
Como	a	operação	 é	 comutativa,	 	basta	veri�icar	apenas	em	um	dos
lados:		
	
a		❋		a′		=		6		
a		+		a′		–		6		=		6		
a′		=		6		+		6		–		a		
a′		=		12		–		a		
	
Assim,		por	exemplo,		o	simétrico	de		5		é:		
5′		=		12		–		5		=		7		
	
Logo,		qualquer	número	real	que	se	escolher	terá	simétrico.		
	
O	conjunto	dos	elementos	simetrizáveis	é	dado	por:		
U	❋	(IR)		=		IR
	
R02	—	Dado	 o	 conjunto	 das	matrizes,	 	M₂	 (IR),	 	 e	 a	 operação	 de
multiplicação.		
Veri�ique	 se	 a	 multiplicação	 é	 associativa,	 	 comutativa,	 	 se	 tem
elemento	neutro	e	dê	o	conjuntos	dos	elementos	simetrizáveis.
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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i)		∀		 ;		 ;		 		∈		M₂	(IR)		
	
	 	⋅	 	[	 	 	⋅	 	 	]	 	=		[	 	 	⋅	 	 	]	 	 ⋅	 	
		
	
	 	 ⋅	 	 	 	 =	 	 	 	 ⋅	 	
		
	
	 	 =	 	
		
	
	 	 =	 	
		
	
Portanto,		a	multiplicação	em		M₂	(IR)		é	associativa.		
	
	
ii)		∀		 ;		 		∈		M₂	(IR)		
	
		⋅		 		=		 		⋅		 		
	
		=		 		
	
Que	é	falso.		
	
Portanto,		a	multiplicação	em		M₂	(IR)		não		é	comutativa.		
	
	
iii)		∀		 		∈		M₂	(IR)		
	
		⋅		 		=		 		=		 		⋅		 		
	
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑓
ℎ
𝑔
𝑗
( )
𝑘
𝑛
𝑚
𝑝
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑓
ℎ
𝑔
𝑗
( )
𝑘
𝑛
𝑚
𝑝
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑓
ℎ
𝑔
𝑗
( )
𝑘
𝑛
𝑚
𝑝
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑓 𝑘 + 𝑔𝑛
ℎ𝑘 + 𝑗𝑛
  𝑓𝑚 + 𝑔𝑝
  ℎ𝑚 + 𝑗𝑝
( )
𝑎𝑓 + 𝑏ℎ
𝑐𝑓 + 𝑑ℎ
  𝑎𝑔 + 𝑏𝑗
  𝑐𝑔 + 𝑑𝑗
( )
𝑘
𝑛
𝑚
𝑝
( )
𝑎[𝑓 𝑘 + 𝑔𝑛] + 𝑏[ℎ𝑘 + 𝑗𝑛]
𝑐[𝑓 𝑘 + 𝑔𝑛] + 𝑑[ℎ𝑘 + 𝑗𝑛]
  𝑎[𝑓𝑚 + 𝑔𝑝] + 𝑏[ℎ𝑚 + 𝑗𝑝]
  𝑐[𝑓𝑚 + 𝑔𝑝] + 𝑑[ℎ𝑚 + 𝑗𝑝]
( )
[𝑎𝑓 + 𝑏ℎ]𝑘 + [𝑎𝑔 + 𝑏𝑗]𝑛
[𝑐𝑓 + 𝑑ℎ]𝑘 + [𝑐𝑔 + 𝑑𝑗]𝑛
 [𝑎𝑓 + 𝑏ℎ]𝑚 + [𝑎𝑔 + 𝑏𝑗]𝑝
 [𝑐𝑓 + 𝑑ℎ]𝑚 + [𝑐𝑔 + 𝑑𝑗]𝑝
( )
𝑎𝑓𝑘 + 𝑎𝑔𝑛 + 𝑏ℎ𝑘 + 𝑏𝑗𝑛
𝑐𝑓𝑘 + 𝑐𝑔𝑛 + 𝑑ℎ𝑘 + 𝑑𝑗𝑛
  𝑎𝑓𝑚 + 𝑎𝑔𝑝 + 𝑏ℎ𝑚 + 𝑏𝑗𝑝
  𝑐𝑓𝑚 + 𝑐𝑔𝑝 + 𝑑ℎ𝑚 + 𝑑𝑗𝑝
( )
𝑎𝑓𝑘 + 𝑏ℎ𝑘 + 𝑎𝑔𝑛 + 𝑏𝑗𝑛
𝑐𝑓𝑘 + 𝑑ℎ𝑘 + 𝑐𝑔𝑛 + 𝑑𝑗𝑛
  𝑎𝑓𝑚 + 𝑏ℎ𝑚 + 𝑎𝑔𝑝 + 𝑏𝑗𝑝
  𝑐𝑓𝑚 + 𝑑ℎ𝑚 + 𝑐𝑔𝑝 + 𝑑𝑗𝑝
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑓
ℎ
𝑔
𝑗
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑓
ℎ
𝑔
𝑗
( )
𝑓
ℎ
𝑔
𝑗
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎𝑓 + 𝑏ℎ
𝑐𝑓 + 𝑑ℎ
  𝑎𝑔 + 𝑏𝑗
  𝑐𝑔 + 𝑑𝑗
( )
𝑓 𝑎 + 𝑔𝑐
ℎ𝑎 + 𝑗𝑐
  𝑓 𝑏 + 𝑔𝑑
  ℎ𝑏 + 𝑗𝑑
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑒
1
𝑒
3
𝑒
2
𝑒
4
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑒
1
3
𝑒
2
𝑒
4
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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Resolvendo	à	direita:		
		⋅		 		=		 		
	
		=		 		
	
Dessa	igualdade	sai	um	sistema:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e		a		2ª	equação	por		"–	b",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
a	d	e₁		–		b	c	e₁		=		a	d		–		b	c		
e₁		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		a	d		–		b	c		
e₁		=		1		
	
Substituindo		e₁		na	1ª	equa�ção:		
a	d		⋅		1		+		b	d	e₃		=		a	d		
b	d	e₃		=		a	d		–		a	d		
b	d	e₃		=		0		
e₃		=		0		
	
O	outro	sistema	é:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	b",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
a	d	e₂		–		b	c	e₂		=		b	d		–		b	d		
e₂		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		0		
e₂		=		0		
	
Substituindo		e₂		na		1ª	equa�ção:		
a	d		⋅		0		+		b	d	e₄		=		b	d		
b	d	e₄		=		b	d		
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑒
1
𝑒
3
𝑒
2
𝑒
4
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎𝑒 + 𝑏𝑒
1 3
𝑐𝑒 + 𝑑𝑒
1 3
  𝑎𝑒 + 𝑏𝑒
2 4
  𝑐𝑒 + 𝑑𝑒
2 4
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
{
𝑎𝑒 + 𝑏𝑒 = 𝑎
1 3
𝑐𝑒 + 𝑑𝑒 = 𝑐
1 3
{
𝑎𝑑𝑒 + 𝑏𝑑𝑒 = 𝑎𝑑
1 3
−𝑏𝑐𝑒 − 𝑏𝑑𝑒 = −𝑏𝑐
1 3
{
𝑎𝑒 + 𝑏𝑒 = 𝑏
2 4
𝑐𝑒 + 𝑑𝑒 = 𝑑
2 4
{
𝑎𝑑𝑒 + 𝑏𝑑𝑒 = 𝑏𝑑
2 4
−𝑏𝑐𝑒 − 𝑏𝑑𝑒 = −𝑏𝑑
2 4
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e₄		=		1		
	
	
Resolvendo	à	esquerda:		
		⋅		 		=		 		
	
		=		 		
	
Dessa	igualdade	sai	um	sistema:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	c",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
e₁	a	d		–		e₁	b	c		=		a	d		–		b	c		
e₁		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		a	d		–		b	c		
e₁		=		1		
	
Substituindo		e₁		na		1ª	equa�ção:		
1		⋅		a	d		+		e₂	b	d		=		a	d		
e₂	b	d		=		a	d		–		a	d		
e₂	b	d		=		0		
e₂		=		0		
	
O	outro	sistema	é:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	c",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
e₃	a	d		–		e₃	b	c		=		c	d		–		c	d		
e₃		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		0		
e₃		=		0		
	
( )
𝑒
1
𝑒
3
𝑒
2
𝑒
4
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑒 𝑎 + 𝑒 𝑐
1 2
𝑒 𝑎 + 𝑒 𝑐
3 4
  𝑒 𝑏 + 𝑒 𝑑
1 1
  𝑒 𝑏 + 𝑒 𝑑
3 4
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
{
𝑒 𝑎 + 𝑒 𝑐 = 𝑎
1 2
𝑒 𝑏 + 𝑒 𝑑 = 𝑏
1 2
{
𝑒 𝑎𝑑 + 𝑒 𝑐𝑑 = 𝑎𝑑
1 2
−𝑒 𝑏𝑐 − 𝑒 𝑐𝑑 = −𝑏𝑐
1 2
{
𝑒 𝑎 + 𝑒 𝑐 = 𝑐
3 4
𝑒 𝑏 + 𝑒 𝑑 = 𝑑
3 4
{
𝑒 𝑎𝑑 + 𝑒 𝑐𝑑 = 𝑐𝑑
3 4
−𝑒 𝑏𝑐 − 𝑒 𝑐𝑑 = 𝑐𝑑
3 4
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Substituindo		e₃		na		1ª	equa�ção:		
0		⋅		a	d		+		e₄	c	d		=		c	d		
e₄		⋅		c	d		=		c	d		
e₄		=		1		
	
Portanto,		para	a	multiplicação	em		M₂	(IR)		o	elemento	neutro	é:		
e		=		 		
	
	
iv)		∀		 		∈		M₂	(IR)		
	
		⋅		 		=		 		=		 		⋅		 		
	
Resolvendo	à	direita:		
		⋅		 		=		 		
	
		=Dessa	igualdade	sai	um	sistema:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	b",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
a	d	a′		–		b	c	a′		=		d		
a′		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		d		
a′		=		 		
	
Substituindo		a′		na		2ª	equa�ção		tem-se:		
–	b	c		⋅		 		–		b	d	b′		=		0		
		=		b	d	b′	 (	dividindo	ambos	os	membros	por		"b	d"	)		
		=		b′		
	
	
O	outro	sistema	é:		
( )
1
0
0
1
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
′
𝑏
′
𝑐
′
𝑑
′
( )
1
0
0
1
( )
𝑎
′
𝑏
′
𝑐
′
𝑑
′
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
′
𝑏
′
𝑐
′
𝑑
′
( )
1
0
0
1
( )
𝑎 + 𝑏𝑎
′
𝑏
′
𝑐 + 𝑑𝑎
′
𝑏
′
  𝑎 + 𝑏𝑐
′
𝑑
′
  𝑐 + 𝑑𝑐
′
𝑑
′
( )
1
0
0
1
{
𝑎 + 𝑏 = 1𝑎
′
𝑏
′
𝑐 + 𝑑 = 0𝑎
′
𝑏
′
{
𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 = 𝑑𝑎
′
𝑏
′
−𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 = 0𝑎
′
𝑏
′
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑏𝑑𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
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Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	b",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
a	d	c′		–		b	c	c′		=		–	b		
c′		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		–	b		
c′		=		 		
	
Substituindo		c′		na		1ª	equa�ção	tem-se:		
a	d		⋅		 		+		b	d	d′		=		0		
		+		b	d	d′		=		0		
b	d	d′		=		 	 	(	dividindo	ambos	os	membros	por			"b	d"	)		
d′		=		 		
	
	
Resolvendo	à	esquerda:		
		⋅		 		=		 		
	
		=		 		
	
Dessa	igualdade	sai	um	sistema:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	c",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
a′	a	d		–		a′	b	c		=		d		
a′		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		d		
a′		=		 		
	
Substituindo		a′		na		2ª	equa�ção:		
{
𝑎 + 𝑏 = 0
𝑐
′
𝑑
′
𝑐 + 𝑑 = 1
𝑐
′
𝑑
′
{
𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 = 0
𝑐
′
𝑑
′
−𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 = −𝑏
𝑐
′
𝑑
′
−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑎𝑑𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑑𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
( )
𝑎
′
𝑏
′
𝑐
′
𝑑
′
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
1
0
0
1
( )
𝑎 + 𝑐𝑎
′
𝑐
′
𝑎 + 𝑐𝑏
′
𝑑
′
  𝑏 + 𝑑𝑎
′
𝑐
′
  𝑏 + 𝑑𝑏
′
𝑑
′
( )
1
0
0
1
{
𝑎 + 𝑐 = 1𝑎
′
𝑐
′
𝑏 + 𝑑 = 0𝑎
′
𝑐
′
{
𝑎𝑑 + 𝑐𝑑 = 𝑑𝑎
′
𝑐
′
− 𝑏𝑐 − 𝑐𝑑 = 0𝑎
′
𝑐
′
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
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–	[	 	]		⋅		b	c		–		c′	c	d		=		0		
		=		c′	c	d	 	(	dividindo	ambos	os	membros	por		"cd"	)		
		=		c′		
	
	
O	outro	sistema	é:		
		
	
Multiplicando	a		1ª	equação	por		"d"		e	a		2ª	equação	por		"–	c",		tem-
se:		
	
		
	
Somando-se	as	duas	equações:		
b′	a	d		–		b′	b	c		=		–	c		
b′		⋅		(	a	d		–		b	c	)		=		–	c		
b′		=		 		
	
Substituindo		b′		na		1ª	equa�ção:		
[	 	]		⋅		a	d		+		d′	c	d		=		0		
		⋅		a	d		+		d′	c	d		=		0		
d′	c	d		=		 	 	(	dividindo	ambos	os	membros	por		"cd"	)		
d′		=		 		
	
Assim,		o	simétrico	de		 ′		é:		
	
′		=		 		=		 		
	
Que	só	existirá	se			a	d		–		b	c		≠		0		
	
	
Portanto,	 	 para	 a	 multiplicação	 em	 	 M₂	 (IR)	 	 o	 conjunto	 dos
elementos	simetrizáveis	é	dado	por:		
R		•		[	M₂	(IR)	]		=		{	 		∈		M₂	(IR)	;		a	d		–		b	c		≠		0	}
	
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑏𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
{
𝑎 + 𝑐 = 0𝑏
′
𝑑
′
𝑏 + 𝑑 = 1𝑏
′
𝑑
′
{
𝑎𝑑 + 𝑐𝑑 = 0𝑏
′
𝑑
′
− 𝑏𝑐 − 𝑐𝑑 = −𝑐𝑏
′
𝑑
′
−𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑎𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎𝑐𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
( )
𝑎
′
𝑏
′
𝑐
′
𝑑
′
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
−𝑏
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑎
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
( )
𝑎 
𝑐 
 𝑏
 𝑑
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R03	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre	 	x	{0}		é:		
associativa,		comutativa,		se	admite	elemento	neutro	e	dê		U	❋	(	 	x
{0}	)			e			R	❋	(	 	x	{0}	),		para:		
(	a,		0	)		❋		(	b,		0	)		=		(	a	b,		0	)
i)		∀		(a,		0);		(b,		0);		(c,		0)		∈		 	x	{0}		
[	(a,		0)		❋		(b,		0)	]		❋		(c,		0)		=		(a,		0)		❋		[	(b,		0)		❋		(c,		0)	]		
	
(a	b,		0)		❋		(c,		0)		=		(a,		0)		❋		(b	c,		0)		
(a	b	c,		0)		=		(a	b	c,		0)	 	(	que	obviamente	é	verdadeiro	)		
	
Portanto,		a	operação		❋		é	associativa.		
	
ii)		∀		(a,		0);		(b,		0)		∈		 	x	{	0	}		
(a,		0)		❋		(b,		0)		=		(b,		0)		❋		(a,		0)		
	
(a	b,		0)		=		(b	a,		0)	 	(	que	é	verdadeiro,		pois	trata-se	de	números
inteiros	)		
	
Portanto,		a	operação		❋		é	comutativa.		
	
iii)		∀		(a,		0)		∈		 	x	{0}		
(a,		0)		❋		(e,		0)		=		(e,		0)		❋		(a,		0)		=		(a,		0)		
	
Resolvendo	à	direita:		
(a,		0)		❋		(e,		0)		=		(a,		0)		
(a	e,		0)		=		(a,		0)		
	
a	e		=		a		
e		=		1		
	
Como	 a	 operação	 é	 	 comutativa	 	 não	 há	 necessidade	 de	 se	 fazer	 à
esquerda.		
	
Assim,		o	elemento		e		=		(1,		0)		é	o	elemento	neutro.		
	
iv)		∀		(a,		0)		∈		 	x	{0}		
(a,		0)		❋		(a′,		0)		=		(a′,		0)		❋		(a,		0)		=		(1,		0)		
	
Como	a	operação	 é	comutativa	basta	resolver	de	um	lado,	 	então	 à
direita:		
(a,		0)		❋		(a′,		0)		=		(1,		0)		
(a	a′,		0)		=		(1,		0)		
	
a	a′		=		1		
a′		=		1	/	a		
	
Para	que	esse	quociente	seja	um	número	inteiro	é	necessário	que:		
a		=		1	 ou 	a		=		–	1		
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
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Assim,		o	conjunto	dos	elementos	simetrizáveis	é:		
U	❋	(	 	x	{0}	)		=		{	(1,		0);		(–	1,		0)	}		
	
v)		∀		(a,		0)		∈		 	x	{0}		
(a,		0)		❋		(x,		0)		=		(a,		0)		❋		(y,		0)		
ou		
(x,		0)		❋		(a,		0)		=		(y,		0)		❋		(a,		0)		
	
Para	que	seja	regular,		só	deve	ser	possıv́el	se:		
(x,		0)		=		(y,		0), 	isto	é, 	x		=		y		
	
Basta	resolver	de	um	lado,		por	exemplo,		à	direita:		
(x,	0)		❋		(a,	0)		=			(y,	0)		❋		(a,	0)		
	
(x	a,	0)		=		y	a,	0)		
x	a		=		y	a		
x	a		–		y	a		=		0		
a	(x		–		y)		=		0		
	
Se		"a"		não	for	zero	então		"x		–		y"		é	igual	a	zero,		ou	seja,		x		=		y		
	
Assim,		o	conjunto	dos	elementos	regulares	é:		
R	❋	(	 	x	{0}	)		=		{	(x,		0)		∈		 	x	{0}	;		x		≠		0	}
	
R04	—	Dado	o	conjunto	dos	polinômios,	 	P₂	(IR),	 	e	a	operação	de
adição.		
Veri�ique	 se	 a	 adição	 é	 associativa,	 	 comutativa,	 	 se	 tem	 elemento
neutro	e	dê	o	conjuntos	dos	elementos	simetrizáveis.
i)		∀		a₂,	x2		+		a₁	x		+		a₀	;		b₂	x2		+		b₁	x		+		b₀	;		c₂	x2		+		c₁	x		+		c₀
	∈		P₂	(IR)		
	
[	(a₂	x2		+		a₁	x		+		a₀)		+		(b₂	x2		+		b₁	x		+		b₀)	]		+		(c₂	x2		+		c₁	x		+
	c₀)		=		(a₂	x2		+		a₁	x		+		a₀)		+		[	(b₂	x2		+		b₁	x		+		b₀)		+		(c₂	x2		+		c₁
x		+		c₀)	]		
	
[	(a₂		+		b₂)	x2		+		(a₁		+		b₁)	x		+		(a₀		+		b₀)		+		(c₂	x2		+		c₁	x		+		c0)	
=		(a₂	x2		+		a₁	x		+		a₀)		+		[	(b₂		+		c₂)	x2		+		(b₁		+		c₁)	x		+		(b₀		+
	c₀)	]		
	
(a₂		+		b₂		+		c₂)	x2		+		(a₁		+		b₁		+		c₁)	x		+		(a₀		+		b₀		+		c₀)		=		(a₂		+
	b₂		+		c₂)	x2		+		(a₁		+		b₁		+		c₁)	x		+		(a₀		+		b₀		+		c₀)		
	
ℤ
ℤ
ℤ ℤ
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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Portanto,		a	adição	em		P₂	(IR)		é	associativa.		
	
	
ii)		∀		a₂	x2		+		a₁	x		+		a₀	;		b₂	x2		+		b₁	x		+		b₀		∈		P₂	(IR)		
	
(a₂	x2	+	a₁	x	+	a₀)		+		(b₂	x2		+		b₁	x		+		b₀)		=		(b₂	x2		+		b₁	x		+		b₀)
	+		(a₂	x2		+		a₁	x		+a₀)		
	
(a₂		+		b₂)	x2		+		(a₁		+		b₁)	x		+		(a₀		+		b₀)		=		(b₂		+		a₂)	x2		+		(b₁		+
	a₁)	x		+		(b₀		+		a₀)		
	
Portanto,	a	adição	em		P₂	(IR)		é	comutativa.		
	
	
iii)	∀		a	x2		+		b	x		+		c			∈		P₂	(IR)		
	
Como	a	adição	é	comutativa,		basta	fazer	em	um	dos	lados:		
(a	x2		+		b		x		+		c)		+		(	e₂	x2		+		e₁	x		+		e₀)		=		a	x2		+		b	x		+		c		
	
(a		+		e₂)	x2		+		(b		+		e₁)	x		+		(c		+		e₀)		=		a	x2		+		b	x		+		c		
	
a		+		e₂		=		a		
e₂		=		0		
	
b		+		e₁		=		b		
e₁		=		0		
	
c		+		e₀		=		c		
e₀		=		0		
	
Assim,		o	elemento	neutro	é:		
e		=		0	x2		+		0	x		+		0		=		0		
	
	
iv)		∀		a	x2		+		b	x		+		c			∈		P₂	(IR)		
	
Como	a	adição	é	comutativa,		basta	fazer	em	um	dos	lados:		
(a	x2		+		b	x		+		c)		+		(	a′	x2		+		b′	x		+		c′)		=		0	x2		+		0	x		+		0		
	
(a		+		a′)	x2		+		(b		+		b′)	x		+		(c		+		c′)		=		0	x2		+		0	x		+		0		
	
a		+		a′		=		0		
a′		=		–	a		
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b		+		b′		=		0		
b′		=		–	b		
	
c		+		c′		=		0		
c′		=		–	a		
	
Assim,		o	conjunto	dos	elementos	simetrizáveis	é:		
U	+	(	P₂	(IR)	)		=		P₂	(	IR)
	
R05	—	Em	que	condições,		sobre		"m"		e		"n"	∈		 ,		a	operação	dada
por:		
x		❋		y		=		m	x		+		n	y	 	sobre		 :		
a)	 	 é	 associativa?	  	b)	 	 é	 comutativa?	  	c)	 	admite	elemento
neutro?
a)		Escolhendo-se	quaisquer	que	sejam		x,		y,		z		em		 		tem-se:		
x		❋		(	y		❋		z	)		=		(	x		❋		y	)		❋		z		
	
x		❋		(	m	y		+		n	z	)		=		(	m	x		+		n	y	)		❋		z		
m	x		+		n	(	m	y		+		n	z	)		=		m	(	m	x		+		n	y	)		+		n	z		
m	x		+		n	m	y		+		n2	z		=		m2	x		+		m	n	y		+		n	z		
	
Para	que	seja	associativa,		concluı-́se	que:		
m		=		m2,	 	n	m		=		n	m,	 	n2		=		n		
m		=		0	 	ou	 		m		=		1	 e 	n		=		0	 ou 	n		=		1		
	
b)		Escolhendo-se	quaisquer	que	sejam		x,		y		em		 		tem-se:		
x		❋		y		=		y		❋		x		
	
m	x		+		n	y		=		m	y		+		n	x		
	
Para	que	seja	comutativa,		concluı-́se	que:		
"m"		e		"n"		podem	ser	qualquer	inteiro	desde	que		m		=		n.		
	
c)		Escolhendo-se	qualquer	que	seja		x		em		 		tem-se:		
x		❋		e		=		e		❋		x		=		x		
	
Resolvendo	à	esquerda:		
e		❋		x		=		x		
m	e		+		n	x		=		x		
m	e		=		x		–		n	x		
m	e		=		x	(1		–		n)		
e		=		x	(1		–		n)	/	m		
	
Se		"n"		não	for		"1"		o	numerador	dará	qualquer	elemento		"x"	 e 	se
	"m"		não	for		"1"	 ou 	"–	1"		não	será	inteiro.		
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
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Para	 que	 se	 tenha	 elemento	 neutro	 à	 esquerda	  (	 e	 ele
obrigatoriamente	seria	o		0	),		concluı-́se	que:		
n		=		1	 e 	m		=		1	 ou 	m		=		–	1		
	
Resolvendo	à	direita:		
x		❋		e		=		x		
m	x		+		n	e		=		x		
n	e		=		x		–		m	x		
n	e		=		x	(1		–		m)		
e		=		x	(1		–		m)	/	n		
	
Se		"m"		não	for		"1"		o	numerador	dará	qualquer	elemento		"x"	 	e
 	se		"n"		não	for		"1"	 	ou	 	"–	1"		não	será	inteiro.		
	
Para	 que	 se	 tenha	 elemento	 neutro	 à	 direita	  (	 e	 ele
obrigatoriamente	seria	o		0	),		concluı-́se	que:		
m		=		1	 e 	n		=		1	 ou 	n		=		–	1		
	
Para	 que	 se	 tenha	 elemento	 neutro,	 	 tem	 que	 se	 ter	 o	 mesmo
elemento	à	esquerda	e	à	direita,		então:		
m		=		n		=		1
	
R06	—	Sendo		❋		a	operação	sobre		 3,		dada	pela	lei:		
(a,		b,		c)		❋		(d,		e,		f)		=		(a	d,		b	e,		c	f)		
Prove	que		❋		é	associativa	e	tem	elemento	neutro. 	Determine	U	❋	(	
3	).
i)		∀		(a,		b,		c);		(d,		e,		f);		(g,		h,		k)		∈		 3,		tem-se:		
(a,		b,		c)		❋		[	(d,		e,		f)		❋		(g,		h,		k)	]		=		[	(a,		b,		c)		❋		(d,		e,		f)	]		❋		(g,
	h,		k)		
	
(a,		b,		c)		❋		(d	g,		e	h,		f	k)		=		(a	d,		b	e,		c	f)		❋		(g,		h,		k)		
(a	d	g,		b	e	h,		c	f	k)		=		(a	d	g,		b	e	h,		c	f	k)		
	
Logo,		a	operação		❋		é	associativa.		
	
ii)		∀		(a,		b,		c)		∈		 3,		tem-se:		
(a,		b,		c)		❋		(e1,		e2,		e3)		=		(a,		b,		c)		=		(e1,		e2,		e3)		❋		(a,		b,		c)		
	
Resolvendo	à	esquerda:		
(e1,		e2,		e3)		❋		(a,		b,		c)		=		(a,		b,		c)		
(e1	a,		e2	b,		e3	c)		=		(a,		b,		c)		
e1	a		=		a		
e1		=		1		
	
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
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e2	b		=		b		
e2		=		1		
	
e3	c		=		c		
e3		=		1		
	
Logo,		o	elemento	neutro	à	esquerda	é		e		=		(1,		1,		1)		
	
Resolvendo	à	direita:		
(a,		b,		c)		❋		(e1,		e2,		e3)		=		(a,		b,		c)		
(a	e1,		b	e2,		c	e3)		=		(a,		b,		c)	<	
br/>	a	e1		=		a		
e1		=		1		
	
b	e2		=		b		
e2		=		1		
	
c	e3		=		c		
e3		=		1		
	
Logo,		o	elemento	neutro	à	direita	é		e		=		(1,		1,		1)		
	
Assim,		(1,		1,		1)		é	o	elemento	neutro.		
	
iii)		∀		(a,		b,		c)		∈		 3,		tem-se:		
(a,		b,		c)		❋		(a′,		b′,		c′)		=		(1,		1,		1)		=		(a′,		b′,		c′)		❋		(a,		b,		c)		
	
Resolvendo	à	esquerda:		
(a′,		b′,		c′)		❋		(a,		b,		c)		=		(1,		1,		1)		
(a′	a,		b′	b,		c′	c)		=		(1,		1,		1)		
	
a′	a		=		1,		então,		a′		=		1	/	a		
	
b′	b		=		1,		então,		b′		=		1	/	b		
	
c′	c		=		1,		então,		c′		=		1	/	c		
	
Então,		a		=		±	1,		b		=		±	1,		c		=		±	1		
	
Resolvendo	à	direita:		
(a,		b,		c)		❋		(a′,		b′,		c′)		=		(1,		1,		1)		
(a	a′,		b	b′,		c	c′)		=		(1,		1,		1)		
	
a	a′		=		1,		então,		a′		=		1	/	a		
	
b	b′		=		1,		então,		b′		=		1	/	b		
	
ℤ
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c	c′		=		1,		então,		c′		=		1	/	c		
	
Então,		a		=		±	1,		b		=		±	1,		c		=		±	1		
	
U	❋	(	 3	)		=		{	(x,		y,		z)		∈		 3		;		x		=		±	1,		y		=		±	1,		z		=		±	1	}		
ou		
U	❋	(	 3	)		=		{	(1,		1,		1);		(1,		1,		–	1);		(1,		–	1,		1);		(1,		–	1,		–	1);		(–	1,	
1,		1);		(–	1,		1,		–	1);		(–	1,		–	1,		1);		(–	1,		–	1,		–	1)	}
	
R07	—	Mostre	que	nenhum	elemento	de		IR		é	regular	para	operação
dada	por:		
x		❋		y		=		x2		+		y2		+		x	y
∀		a		∈		IR,		tem-se	que:		
a		❋		x		=		a		❋		y		
ou		
x		❋		a		=		y		❋		a		
	
Só	poderia	ser	possıv́el	se		x		=		y		
	
Resolvendo	à	esquerda:		
a		❋		x		=		a		❋		y		
a2		+		x2		+		a	x		=		a2		+		y2		+		a	y		
a2		+		x2		+		a	x		–		a2		–		y2		–		a	y		=		0		
x2		–		y2		+		a	x		–		a	y		=		0		
(x		+		y)	(x		–		y)		+		a	(x		–		y)		=		0		
(x		–		y)	(	x		+		y		+		a	)		=		0		
	
Essa	igualdade	é	verdadeira	se:		
x		=		y	 ou 	x		=		–	y		–		a		
	
Mesmo	que		"a		=		0",		"x"		não	será	igual	a		"y",		mas	sim,		x		=		–	y		
	
Portanto,		não	há	valor	para		"a"		que	torne		x		=		y		
	
Nem	precisa	fazer	à	direita.
	
R08	—	Veri�ique,		tudo	em		 	x	 ,		se	a	lei	dada	por:		
(a,	 	b)	 	∆	 	 (c,	 	d)	 	=	 	 (a	 c,	 	a	 d	 	+	 	b	 c)	 	 é	distributiva	em	relação	a
lei		(a,		b)		❋		(c,		d)		=		(a		+		c,		b		+		d).
∀		(a,		b);		(c,		d);		(e,		f)		∈		 	x	 		
(a,		b)		∆		[	(c,		d)		❋		(e,		f)	]		=		[	(a,		b)		∆		(c,		d)	]		❋		[	(a,		b)		∆		(e,		f)
]		
e		
ℤ ℤ
ℤ
ℤ ℤ
ℤ ℤ
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[	(c,		d)		❋		(e,		f)	]		∆		(a,		b)		=		[	(c,		d)		∆		(a,		b)	]		❋		[	(e,		f)		∆		(a,		b)
]		
	
Veri�icando	se		∆		é	distributiva	à	esquerda	de		❋:		
(a,		b)		∆		[	(c,		d)		❋		(e,		f)	]		=		[	(a,		b)		∆		(c,		d)	]		❋		[	(a,		b)		∆		(e,		f)
]		
	
(a,		b)		∆		(c		+		e,		d		+		f)		=		(a	c,		a	d		+		b	c)		❋		(a	e,		a	f		+		b	e)		
(	a	(c		+		e),		a	(d		+		f)		+		b	(c		+		e)	)		=		(a	c		+		a	e,		a	d		+		b	c		+		a	f		+
	b	e)		
(a	c		+		a	e,		a	d		+		a	f		+		b	c		+		b	e)		=		(a	c		+		a	e,		a	d		+		b	c		+		a	f		+		b
e)		
	
Logo,		∆		é	distributiva	à	esquerda	de		❋		
	
Veri�icando	se		∆		é	distributiva	à	direita	de		❋:		
[	(c,		d)		❋		(e,		f)	]		∆		(a,		b)		=		[	(c,		d)		∆		(a,		b)	]		❋		[	(e,		f)		∆		(a,		b)
]		
	
(c		+		e,		d		+		f)		∆		(a,		b)		=		(c	a,		c	b		+		d	a)		❋		(e	a,		e	b		+		f	a)		
(	(c		+		e)	a,		(c		+		e)	b		+		(d		+		f)	a	)		=		(c	a		+		e	a,		c	b		+		d	a		+		e	b		+
	f	a)		
(c	a		+		e	a,		c	b		+		e	b		+		d	a		+		f	a)		=		(c	a		+		e	a,		c	b		+		d	a		+		e	b		+		f
a)		
	
Logo,		∆		é	distributiva	à	direitade		❋.			
	
Portanto,		a	operação		∆		é	distributiva	em	relação	à	operação		❋.
	
R09	—	Veri�ique	se		 		=		{	x		∈		 	;		m		divide		x	} é	subconjunto	de		
) fechado	para:		
a	adição		e/ou		para	a	multiplicação	em		 .
O	 conjunto	 	m	 	 	 é	 o	 conjunto	 formado	por	múltiplos	 de	 inteiros,
	por	exemplo:		
2	 		=		{	0,		±	2,		±	4,		±	6,		±	8,	 .	 .	 .	}		
3	 		=		{	0,		±	3,		±	6,		±	9,		±	12,	 .	 .	 .	}		
	
∀		m	x,		m	y		∈		m	 		
	
Para	a	adição:		
m	x		+		m	y		=		m	(x		+		y)	 	(	como		"x"		e		"y"		são	inteiros,		"x		+		y"
	também	é	inteiro	)		
	
Assim,		m	(x		+		y)		pertence	a		m	 ,		e	portanto,		m	 		é	fechado	para
a	adição	em		 .		
	
Para	a	multiplicação:		
ℤ ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ
ℤ ℤ
ℤ
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m	x		⋅		m	y		=		m2	(x		⋅		y)		=		m	[	m	(x		⋅		y)	]	 	(	como		"x"		e		"y"		são
inteiros,		"x		⋅		y"		também	é	inteiro	)		
	
Assim,		m	(x		⋅		y)		pertence	a		m 	 	e	 	m	[	m	(x		⋅		y)	]		pertence	a		m	
.		
	
Portanto,		m 		é	fechado	para	a	multiplicação	em		 .
	
R10	—	Mostre	que	 	A	 	=	 	 {	 z	∈	 	 	 ;	 	 z	 	=	 	 cos	θ	 	+	 	 i	 	 ⋅	 	 sen	θ	 }	 	 é
	subconjunto	de		 		fechado	para	a	multiplicação.
Sejam	 	z₁		=		cos	θ		+		i		⋅		sen	θ	 	e	 	z₂		=		cos	β		+		i	.	sen	β			∈		A		
z₁		⋅		z₂		=		(cos	θ		+		i		⋅		sen	θ)		⋅		(cos	β		+		i		⋅		sen	β)		
z₁		⋅		z₂		=		cos	θ		⋅		cos	β		+		i		⋅		cos	θ		⋅		sen	β		+		i		⋅		sen	θ		⋅		cos	β		+
	i2		⋅		sen	θ		⋅		sen	β	 	(	i2		=		–	1	)		
z₁		⋅		z₂		=		cos	θ		⋅		cos	β		+		i		⋅		(	cos	θ		⋅		sen	β		+		sen	θ		⋅		cos	β	)		–		1
	⋅		sen	θ		⋅		sen	β		
z₁		⋅		z₂		=		cos	θ		⋅		cos	β		–		sen	θ		⋅		sen	β		+		i		⋅		(	cos	θ		⋅		sen	β		+		sen
θ		⋅		cos	β	)		
z₁		⋅		z₂		=		cos	(	θ		–		β	)		+		i	sen	(	θ		–		β	)		
	
Como		"θ"		e		"β"		são	arcos	quaisquer,		então,		chamando		"θ		–		β"		de
	"α"		tem-se:		
z₁		⋅		z₂		=		cos	α		+		i	sen	α		∈		A		
	
Portanto,			A		é	fechado	para	a	multiplicação	em		 .
	
R11	—	Construa	a	tábua	de	uma	operação		❋		sobre	E		=		{e,		a,		b,		c}
	de	modo	que		❋		seja:		
comutativa,		"e"		seja	o	elemento	neutro,		x		❋		a		=		a		para	todo		x	 e 
	R	❋	(E)		=		E		–		{a}.
Se	é	comutativa,		a		❋		x		=		x		❋		a		=		a,		∀		x		do	conjunto		E.		
Logo,		a	linha	e	coluna	do		"a"		são	todos	iguais	a		"a".		
	
Como	 "e" 	é	o	elemento	neutro,		então:		
os	elementos	da	linha	e	da	coluna	dele	são	iguais	as	suas	respectivas
linha	e	coluna	fundamentais.		
	
Como	 exceto	 o	 elemento	 	 "a"	 	 todos	 os	 elementos	 são	 regulares,
	então:		
completa-se	a	tábua	sem	repetir	elementos	na	linha	nem	na	coluna
de		"b"	 e 	"c".
ℤ
ℤ
ℤ ℤ
ℂ
ℂ
ℂ
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❋ e a b c
e e a b c
a a a a a
b b a c e
c c a e b
	
	
R12	—	Construa	a	tábua	da	operação	de	multiplicação	em		 9.		
Diga	se	existe	elemento	neutro	e	dê		U	•	(	 ₉	)	 e 	R	•	(	 ₉	).
• 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 0 2 4 6 8 1 3 5 7
3 0 3 6 0 3 6 0 3 6
4 0 4 8 3 7 2 6 1 5
5 0 5 1 6 2 7 3 8 4
6 0 6 3 0 6 3 0 6 3
7 0 7 5 3 1 8 6 4 2
8 0 8 7 6 5 4 3 2 1
	
1		é	o	elemento	neutro.		
	
0	 	não	 	 tem	simétrico,	 	pois	na	 linha	dele	não	aparece	o	elemento
neutro	 (nem	na	coluna).		
O	mesmo	ocorre	com	o		3		e		com		o		6.		
	
3		não	 	 é	regular,	 	pois	na	linha	dele	há	elementos	repetidos	 (nem
na	coluna).		
O	mesmo	ocorre	com	o		0		e		com	o		6.		
	
U	•	(	 9	)		=		R	•	(	 9	)		=			{	1,		2,		4,		5,		7,		8	}
	
R13	—	Construa	a	tábua	de	uma	operação		❋		sobre		A.		
Veri�ique	se	é	comutativa,		se	admite	neutro		e		dê		U	❋	(A)	 e 	R	❋
(	A	)		para:		
A		=			℘	(	{a,		b}	)	 	e	 	x		❋		y		=		x		∩		y
℘	(	{a,		b}	)		=		{	 ,		{a},		{b},		{a,		b}	}
ℤ
ℤ ℤ
ℤ ℤ
∅
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∩      {a}   {b}  {a,		b}
{a} {a} {a}
{b} {b} {b}
{a,		b} {a} {b} {a,		b}
	
	
A	operação		❋		é	comutativa,		pois	os		"aij"		=		"aji"		
	
O	elemento	neutro	é		{a,		b},		pois	sua	linha	e	sua	coluna	são	iguais	as
respectivas	linha	e	coluna	fundamentais.		
	
Apenas		{a,		b}		tem	simétrico	e	é	regular,	assim:		
U	❋	(	A	)		=		R	❋	(	A	)		=		{	{a,		b}	}
	
R14	—	 Construa	 a	 tábua	 da	 operação	 de	 composição	 de	 funções
sobre		A		=		{f₁,		f₂,		f₃,		f₄}		onde:		
f₁		=		 	 	e	 	f₂		=		 		
	
f₃		=		 	 	e	 	f₄		=		 		
	
E	calcule	 	f₂	o	f₃	o	f₄	 	e	 	(	f₃	o	f₄	)–	1.
Em	 	f₁,		a		→		a,		b		→		b,		c		→		c	 e 	d		→		d		
	
f₁		é	a	operação	idêntica,		isto	é,		f(x)		=		x,		∀		x,		então:		
a	composição		f₁	o	fj		=		fj		=		fj	o	f₁,		qualquer	que	seja	o		"j".		
	
Em	 	f₂,		a		→		b,		b		→		c,		c		→		d	 e 	d		→		a			
	
Em	 	f₃,		a		→		c,		b		→		d,		c		→		a	 e 	d		→		b		
	
Em	 	f₄,		a		→		d,		b		→		a,		c		→		b	 e 	d		→		c		
	
Para	a	composição	entre		f₂	 e 	f₂	 	tem-se:		
a		→		b	 e 	b		→		c 	logo,		a		→		c		
b		→		c	 e 	c		→		d 	logo,		b		→		d		
c		→		d	 e 	d		→		a 	logo,			c		→		a		
∅
∅ ∅ ∅ ∅ ∅
∅ ∅
∅ ∅
∅
( )
𝑎 
𝑎 
 𝑏 
 𝑏 
 𝑐 
 𝑐 
 𝑑
 𝑑
( )
𝑎 
𝑏 
 𝑏 
 𝑐 
 𝑐 
 𝑑 
 𝑑
 𝑎
( )
𝑎 
𝑐 
 𝑏 
 𝑑 
 𝑐 
 𝑎 
 𝑑
 𝑏
( )
𝑎 
𝑑 
 𝑏 
 𝑎 
 𝑐 
 𝑏 
 𝑑
 𝑐
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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d		→		a	 e 	a		→		b 	logo,		d		→		b		
	
Então:		
f₂	o	f₂		=		f₃		
	
Para	a	composição	entre		f₃	 e 	f₃		tem-se:		
a		→		c	 e 	c		→		a 	logo,		a		→		a		
b		→		d	 e 	d		→		b 	logo,		b		→		b		
c		→		a	 e 	a		→		c 	logo,			c		→		c		
d		→		b	 e 	b		→		d 	logo,		d		→		d		
	
Então:		
f₃	o	f₃		=		f₁		
	
Para	a	composição	entre		f₄	 e 	f₄		tem-se:		
a		→		d	 e 	d		→		c 	logo,		a		→		c		
b		→		a	 e 	a		→		d 	logo,		b		→		d		
c		→		b	 e 	b		→		a 	logo,			c		→		a		
d		→		c	 e 	c		→		b 	logo,		d		→		b		
	
Então:		
f₄	o	f₄		=		f₃		
	
Para	a	composição	entre		f₂	 e 	f₃		tem-se:		
a		→		b	 e 	b		→		d 	logo,		a		→		d		
b		→		c	 e 	c		→		a 	logo,		b		→		a		
c		→		d	 e 	d		→		b 	logo,			c		→		b		
d		→		a	 e 	a		→		c 	logo,		d		→		c		
	
Então:		
f₃	o	f₂		=		f₄		
	
Para	a	composição	entre		f₃	 e 	f₂		tem-se:		
a		→		c	 e 	c		→		d 	logo,			a		→		d		
b		→		d	 e 	d		→	a 	logo,		b		→		a		
c		→		a	 e 	a		→		b 	logo,			c		→		b		
d		→		b	 e 	b		→		c 	logo,		d		→		c		
	
Então:		
f₂	o	f₃		=		f₄		
	
Para	a	composição	entre		f₂	 e 	f₄		tem-se:		
a		→		b	 e 	b		→		a 	logo,		a		→		a		
b		→		c	 e 	c		→		b 	logo,		b		→		b		
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c		→		d	 e 	d		→		c 	logo,		c		→		c		
d		→		a	 e 	a		→		d 	logo,		d		→		d		
	
Então:		
f₄	o	f₂		=		f₁		
	
Para	a	composição	entre		f₄	 e 	f₂		tem-se:		
a		→		d	 e 	d		→		a 	logo,		a		→		a		
b		→		a	 e 	a		→		b 	logo,		b		→		b		
c		→		b	 e 	b		→		c 	logo,		c		→		d		
d		→		c	 e 	c		→		d 	logo,		d		→		d		
	
Então:		
f₂	o	f₄		=		f₁		
	
Para	a	composição	entre		f₃	 e 	f₄		tem-se:		
a		→		c	 e 	c		→		b 	logo,		a		→		b		
b		→		d	 e 	d		→		c 	logo,		b		→		c		
c		→		a	 e 	a		→		d 	logo,		c		→		d		
d		→		b	 e 	b		→		a 	logo,		d		→		a		
	
Então:		
f₄	o	f₃		=		f₂		
	
Para	a	composição	entre		f₄	 e 	f₃		tem-se:		
a		→		d	 e 	d		→		b 	logo,		a		→		b		
b		→		a	 e 	a		→		c 	logo,		b		→		c		
c		→		b	 e 	b		→		d 	logo,		c		→		d		
d		→		c	 e 	c		→		a 	logo,		d		→		a		
	
Então:		
f₃	o	f₄		=		f₂		
	
Daı,́		a	tábua	da	composição	é:
o f₁ f₂ f₃ f₄
f₁ f₁ f₂ f₃ f₄
f₂ f₂ f₃ f₄ f₁
f₃ f₃ f₄ f₁ f₂
f₄ f₄ f₁ f₂ f₃
	
	
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
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Para	calular		f₂	o	f₃	o	f₄,		tem-se:		
(f₂	o	f₃)	o	f₄		=		f₄	o	f₄		=		f₃	 	ou	 	f₂	o	(f₃o	f₄)		=		f₂	o	f₂		=		f₃		
	
Portanto,		f₂	o	f₃	o	f₄		=			f₃.		
	
	
Para	calcular		(	f₃	o	f₄	)–	1,		tem-se:		
(	f₃	o	f₄	)–1		=		f₂–	1		
	
Como		f₂		=		 	 então:		
	
Para	se	obter	a	inversa:		
a		→		b			então			b		→		a,		
b		→		c			então			c		→		b,		
c		→		d			então			d		→		c,		
d		→		a			então			a		→		d,		
	
Portanto,		f₂–	1		=		
	
Exercícios Propostos
P01	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre		E		é:		
associativa,		se	é	comutativa,		se	existe	elemento	neutro	e	determine
os	elementos	simetrizáveis	de:		
a)	 	E	 	=	 	IR	 e 	x	 	❋	 	y	 	=	 	x	 	+	 	y	 	–	 	y/3	  	b)	 	E	 	=	 	 	 e 	x	 	❋	
y		=		x		+		y		+		x	y.		
	
P02	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre	 	x	 		é:		
associativa,	comutativa,	se	admite	elemento	neutro	e	dê		U	❋	(	 	x	
)	 e 	R	❋	(	 	x	 	),		para:		
a)		(	a,		b	)		❋		(	c,		d	)		=		(	a	c,		0	)	  	b)		(	a,		b	)		❋		(	c,		d	)		=		(	a
c,		a	d		+		b	c	)
	
P03	—	Sejam	o	conjunto		E		=		{	a		+		b		⋅		 		∈		IR;		a,		b		∈		 	}	 e 	a
operação		❋		sobre		E		dada	por:		
x		❋		y		=		x	+	y.	 	Veri�ique	se		❋		é:		
associativa,	 	 se	 é	 comutativa,	 	 se	 admite	 elemento	 neutro	 	 e	 	 diga
quais	de	seus	elementos	são	simetrizáveis.
( )
𝑎 
𝑎 
 𝑏 
 𝑏 
 𝑐 
 𝑐 
 𝑑
 𝑑
( )
𝑏
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
𝑐
𝑎
𝑑
ℚ
ℤ ℤ
ℤ ℤ
ℤ ℤ
2
−−
√
3
ℚ
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
https://hpdemat.apphb.com/Operacao 40/42
	
P04	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre		 	x	 :		
admite	 elemento	 neutro	 e	 dê	 o	 conjunto	 dos	 elementos
simetrizáveis	e	regulares	para:		
(a,		b)		❋		(c,		d)		=		(a	c		–		b	d,		a	d		+		b	c).
	
P05	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre		 	x	{0},		é:		
associativa,		comutativa,		se	admite	elemento	neutro	e	dê	o	conjunto
dos	elementos	simetrizáveis	para:		
(x,		0)		❋		(y,		0)		=		(x		+		y		+		2,		0)
	
P06	—	Veri�ique	se	a	operação		❋		sobre		E		=		IR+	é:		
associativa,	 	 se	 é	 comutativa,	 	 se	 existe	 neutro	 e	 determine	 os
elementos	simetrizáveis,		para:		
a		❋		b		=		√a²	+	b²
	
P07	 —	 Dê	 um	 exemplo	 de	 uma	 operação	 não	 associativa	 nem
comutativa,		mas	que	tenha	elemento	neutro.
	
P08	—	Dê	 um	 exemplo	 de	 uma	 operação	 sobre	 	 A	 	 em	que	 existe
neutro	e	todo	elemento	de		A,		exceto	o	neutro,		têm	dois	simétricos.
	
P09	—	Determine		m		∈		IR		de	modo	que:		
x		∆		y		=		x		+		m	y		seja	distributiva	em	relação	a		x		❋		y		=		x		+		y		+		x
y		tudo	sobre		IR.
	
P10	 —	 Dê	 exemplo	 de	 uma	 operação	 sobre	 	 A	 	 em	 que	 todo
elemento	de		A		seja	regular,		exista	neutro	e	só	ele	seja	simetrizável.
	
P11	 —	 Seja	 	 ❋	 	 uma	 operação
sobre		A		=		{1,		2,		3,		4,		6,		12}		de�inida	por	 	x		❋		y		=		m.m.c.	(x,		y).		
Determine	 todos	 os	 subconjuntos	 de	 	 A	 	 com	 três	 elementos	 que
sejam	fechados	em	relação	a		❋.
	
ℤ ℤ
ℤ
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
https://hpdemat.apphb.com/Operacao 41/42
P12	 —	 Seja	 	 ❋	 	 uma	 operação
sobre		A		=		{1,		2,		3,		4,		6,		12}		de�inida	por	 	x		❋		y		=		m.m.c.	(x,		y).		
Determine	 todos	 os	 subconjuntos	 de	 	 A	 	 com	 três	 elementos	 que
sejam	fechados	em	relação	a		❋.
	
P13	 —	 Mostre	 que	 A	 	 =	 	 {	 	 ;	 	 a	 	 ∈	 	 IR}	 é	 um
subconjunto	de		M₂	(IR)		fechado	para	a	multiplicação.
	
P14	 —	 Construa	 a	 tábua	 de	 uma	 operação	 multiplicação	 em	 	
6,		diga	se:		
existe	elemento	neutro	e	dê		U	❋	(	 6	)	 e 	R	❋	(	 6	)
	
P15	—	Construa	a	tábua	de	uma	operação		❋		sobre		A,	veri�ifque	se:		
é	comutativa,		se	admite	neutro	e	dê		U	❋	(A)	 e 	R	❋	(	A	)		para:		
a)		A		=		{1,		2,		3,		6}	 e 	x		❋		y		=		m.d.c.	(x,		y)		
b)		A		=		{1,		3,		9,		27}	 e 	x		❋		y		=		m.m.c.	(x,		y)
	
P16	 —	 Seja	 	 ❋	 	 uma	 operação	 sobre	 o
conjunto		E		=		{0,		1,		a,		b,		c}		cuja	tábua	é	apresentada	a	seguir:		
veri�ique	se		❋	:		
é	comutativa,		calcule		(c		❋		1)		❋		a,		e		determine	os	conjuntos	dos
elementos	simetrizáveis	e	regulares.
❋ 0 1 a b c
0 1 a c 0 b
1 a b 1 1 c
a c 0 b a 1
b 0 1 a b c
c b a 0 c 0
	
	
P17	—	 Construa	 a	 tábua	 de	 uma	 operação	 	❋	 	 sobre	 	℘	 (	 {a,	 	 b}
)		dada	por:		
x		❋		y		=		(x		∪		y)		–		(x		∩		y)		
Veri�ifque	se	é	comutativa,		se	admite	neutro		e		dê		U	❋	(	℘	(	{a,		b}	)
)	 e 	R	❋	(	℘	(	{a,		b}	)	)
	
( )
  𝑐𝑜𝑠 𝑎
−𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝑎
ℤ
ℤ ℤ
02/12/2017 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )
https://hpdemat.apphb.com/Operacao 42/42
P18	 —	 Construa	 a	 tábua	 de	 uma	 operação	 	 ❋	 	 sobre	 	 o
conjunto		A		=		{a,		b,		c,		d}		de	modo	que:		
seja	comutativa,		"a"		seja	o	neutro,		U	❋	(A)		=		R	❋	(A)		=		A	 e 	b		❋	
c		=		a.
	
P19	—	Construa	a	tábua	da	operação		❋		sobre		A		=		{	e,		a,		b,		c,		d,		f
},		sabendo	que:		
é	 comutativa,	 	 todo	 elemento	 de	 	 A	 	 é	 regular,	 	 o	 elemento	 neutro
é		"e",		
"a"		e		"f"		são	simétricos,		"b"		e		"d"		também	são	simétricos,		a		❋	
d		=		b		❋		c		=		f,		a		❋		c		=		b		❋		b		=		d,		c		❋		d		=		a.
	
P20	—	Sejam	as	operações		x		∆		y		=		x		∪		y	 e 	x		❋		y		=		x		∩		y		e		o
conjunto		A		=		℘	(	{0,		1}	).		
Veri�ique	 se	 a	 operação	 	 ∆	 	 é	 distributiva	 em	 relação	 a	 	❋. 	 E	 se	 a
operação		❋		é	distributiva	em	relação	a		∆.
	
P21	—	Veri�ique	se	o	conjunto		B		=		{	0,		2,		4	}		é	fechado	mediante	a
adição	em		 5		=		{	0,		1,		2,		3,		4	}
	
P22	—	Seja		S(E)		o	conjunto	das	permutações	sobre		E		=		{1,		2,		3}.		
Construa	a	tábua	da	operação	de	composição	sobre		E.
	
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ℤ