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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 1: Derivadas (parte 1) 1 PLANO DE ENSINO 1 DERIVADAS: CONCEITUAÇÃO 2 DERIVADAS: REGRAS BÁSICAS 3 DERIVADAS: ORDEM SUPERIOR 4 DERIVADAS: REGRA DA CADEIA 5 PRÓXIMOS PASSOS Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade I - DERIVADAS 1.1 Conceituação de Derivadas 1.2 Regras Básicas de Derivação 1.3 Derivadas de ordem superior 1.4 A Regra da Cadeia 1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas 1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas 1.8 Derivação Implícita 1.9 Equação de reta tangente e normal Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 3 Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 2.1 Taxas Relacionadas 2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas 2.3 Modelagem e Otimização Unidade III - INTEGRAÇÃO 3.1 Integral Indefinida 3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição 3.3 Integrais Definidas 3.3 Teorema Fundamental do Cálculo 3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 4 Plano de Ensino (Conteúdo Programático) Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS 4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento 4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo 4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 5.1 Procedimentos Algébricos 5.2 Integração por Partes 5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 5 Bibliografia Básica BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015. FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo: Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v. LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v. Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 6 Bibliografia Complementar AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998. HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995. MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v. SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v. Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 7 Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 8 Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 9 Taxa de variação Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 10 Conceituação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 11 determinar taxas de variações instantâneas; obter máximos e mínimos de funções; detalhar o comportamento de funções. Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse. Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções. PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS. Aplicações da derivada Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 12 Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil; O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa; Algumas regras básicas facilitarão o processo. Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 13 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 14 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 15 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 16 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 17 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 18 Regras básicas da derivação Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 19 Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo; Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo; Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t; A derivada de uma função indica sua taxa de variação; A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade. Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instante t, é a derivada v’(t) de sua velocidade. Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 20 Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração: A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t). Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 21 derivada de segunda ordem: , ou derivada de terceira ordem: , ou derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 22 Uma partícula desloca-se segundo a função horária s em metros e t em segundos, com 0 t 3. Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 23 Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 24 Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 25 Posição, Velocidade, aceleração Derivadas de Ordem Superior Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 26 Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x. y é a função composta Lê-se: “função f da g de x” Regra da Cadeia Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 27 DEFINIÇÃO: Se e são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é dada por: Regra da Cadeia Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 28 Regra da Cadeia Unidade I: Derivadas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 1: Derivadas (parte 1) 29 Assuntos da próxima aula: Derivadas: Funções Trigonométricas Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas 30
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