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EXERCíCIOS 11.3 CalculandoDerivadasParciaisdePrimeiraOrdem Nosexercícios1- 22,encontreAflAxe (tfl(Jy. 1.f(x, y) = 2X2- 3)'- 4 3.f(x, y)= (X2- 1)(Y + 2) 4. .f(x,y) = 5xy- 7X2- y2+3x- 6y+2 5. .f(x,y) = (xy- 1)2 6. f(x, y) = (2x- 3y)~ 7. f(x, y)= Yx2 +)'2 8. f(x, y) = (x~+ (yI2)f/~ 9.f(x, y)= lI(x +y) 10..f(x,y) =xl(x2+y2) 11.J(x, y)= (x+y)1(xy- 1) 12.f(x, y)= arctg()'Ix) 13.f(x, y)= e(x+y+n 14.f(x, y)= e-xsen(x+y) 15.f(x. y) = In(x+y) 16.f(x, y) =eX"lny 17.J(x,y)=sen2(x- 3y) 18.f(x, y) =COS2(3x- i) 19.f(x, y) =x'" 20.f(x, y) = logrx 21.f(x, y) = f~rg(t)d! (comgcontínuaparatodot) 2. f(x. y)=X2 - x)' +/ 00 22.f(x, y) = 2: (xy)/I /1=0 (IxyI < 1) Nosexercícios23-34,encontre.!:../;.ef~. 23.f(x.y.z)=1+xy2- 2<.2 24.f(x,y,z)=xy+yz+xz 25.f(x,)', z)=x - y)'2 +Z2 26.f(x,y. z)=(X2+/ +Z2)- 1/2 27.f(x,y.z)= aresen(xyz) 28.fex,y,z) =aresec(x+yz) 29.f(x, y, z)= 111(x+ 2y+ 3z) 30.f(x, y, z)= )'Z111(xy) 32.f(x, y, z)= e-x)';, 33.f(x, y, z)= tgh(x+2)'+ 3z) 34.f(x, )', z)= senh(x)'- Z2) Nosexercícios35-40,encontrea derivadaparcial,dafunçãoem relaçãoacadavariável. 31..f(x.y, z)=e-(,'~+Y'+ê') 35, f(t. 0')= cos (2m - 0') 37. h(p, (P, O)=psenrPcos e 36. g(u, v) = v2e(2,tlv) 38. g(r, e, z) =1'(1- cosO)- z ! 39.Trabalhoexercidopelocoração(VolumeI.,Seção3.6.Exercício41) V<5v2 W(P,V.<5,v, g)=PV +- 2< g 40. Fórmula dotamanhodo lotede Wilson(Volume1, Seção3.5, Exercício47) km I1q A(c, 11,k, m, q) = q + cm+2: CalculandoDerivadasParciaisdeSegundaOrdem Encontretodasasderivadasparciaisdesegundaordemdasfunções nosexercícios41-46. 41.f(x, y) =x +y +x)' 42. f(x, y)= senxy 43. g(x,y) =x2y+cosy +Y senx 44. l1(x,y) =xe"+y + 1 45. r(x,y)= In(x+y) 46. s(x,y) = arctg(ylx) Derivad.asParciaisMistas Nosexercícios47-50,verifiquequew\"=Wyx. 47. w = ln(2x+3)') 48. w =c +x Iny +Y Inx 49. IV=xy2+x2i +X\4 50. W=x sen.r+.rsenx +x)' 51. Escrevendoparo aprenderQual ordemdederivaçãocalcu]ará/\y maisrapidamente:primeirox ouprimeiroy?Tenteresponder semfazeranotações. (a) f(x, y) =x seny + e" (b) f(x, y) = lIx (c) l(x. y) =)' + (xl)') (d) f(x, .1')=Y +x2y+4y<- In(.1'2+ 1) (c) f(x, y) =X2+ 5x.1'+ senx +7eX (O f(x, .1')=x]nx.1' 52. EscrevendoparaaprenderA derivadaparcialdequintaordem AYIAx2éJy~é zero para cada uma das funçõesa seguir.Para mostrarisso o mais rapidamentepossível,em relaçãoa qual 282 Capítulo11:FunçõesdeVáriasVariáveise SuasDerivadas variávelvocêdiferenciaprimeiro:x ouy? Tenterespondersem fazeranotações. (a) f(x, y) = lx4ex + 2 (b)f(;r,y)=y2+y(senx - x4) (c) f(x, y) = .\"2+ 5xy+ senx + 7e~ (d) f(x, y) = xe)'/2 Usandoa DefiniçãodeDerivadaParcial Nosexercícios53e 54,usea definiçãodederivadaparcialcomo limiteparacalcularasderivadasparciaisdasfunçõesnospontos especifi"cádos. af af_a e -;- em(1,2)x uy af af :J e -;- em(- 2,1)ux uy 55. Trêsv(]riúveisSejaw =f(.\",y, z)umafunçãodetrêsvariáveis independentes.Escrevaadefiniçãoformaldaderivadaparcial éJf!éJzem (xo,Yo, zo).Use essadefiniçãoparaencontrariJjJ vz em(1,2,3) paraf(x, y, z) =x2yz2. 53.f(x, y)= 1- x +y - 3x2y; 54.f(x, y) =4 +2x- 3)'- xy2, 56. TrêsvariúveisSejaw =f(x, )', z)umafunçãodetrêsvariáveis independentes.Escrevaadefiniçãoformaldaderivadaparcial éJf!éJyem (xo, )'0, zo). Use essa definição para encontrar Df!éJy em(-1, O,3)paraf(x,)',z)= -2x/ + )'Z2. DiferenciandoImplicitamente 57. Encontreo valordeaziaxnoponto(1, I, 1) sabendoquea equação xy+Z3X- 2yz=O definezcomoumafunçãodeduasvariáveisindependentesxe yequeaderivadaparcialexiste. 58.EncontreovalordedX/éJznoponto(1,-1, -3) sabendoquea equação xz+Y lnx - X2+ 4 =O definexcomoumafunçãodeduasvariáveisindependentesye zequeaderivadaparcialexiste. Osexercícios59e60estãorelacionadoscomo triângulomostra- doaqui. B~ C b A 59. ExpresseA implicitamentecomoumafunçãodea,bec ecal- culedA/daeaA/ab. 60. Expressea implicitamentecomoumafunçãodeA, b eB ecal- cule éJa/éJA e da/éJE. 61. DuasvariáveisdependentesExpressev.Iemtermosdeli ev se asequaçõesx =v ln li e y =li ln v definemli e v como funçõesdasvariáveisindependentesxey esev~existe.(Dica: Diferencieambasasequaçõesemrelaçãoax eresolvaparav~ usandoaRegradeCramer.) 62. DuasvariáveisdependentesEncontredX/ ali e éJy/()lIseas equa- ções11=X2 - l ev =r - ydefinemxeycomofunçõesdas variáveisindependentes11e v e asderivadasparciaisexistem. (Veja a dicado Exercício61.) Entãofaças =X2 + l eencon- treas/VII. EquaçõesdeLaplace A equaçãodcLaplacetl"idimensional a'7. a'7. a'7.-+-+-=0 (/;r iJy2 az2 ésatisfeitapelasdistribuiçõesdetemperaturanoestadoestacioná- rioT ==f(x, y, z)noespaço,pelospotenciaisgravitaciouaisepelos potenciaiseletrostáticos.A equaçãodeLaplacebidill1ensional iJ 7' (J2f - +- =o, ax2 ay2 obtidaeliminando-seo termoéljJ ()Z2daequaçãoanterior,descreve potenciaise distribuiçõesdetemperaturanoestadoestacionáriono plano(Figura11.19). iJ2f éJ2f-+--0 iJx2 iJy2 / (a) (b) FIGURA 11.19 Distribuiçõesdetemperaturanoestadoesta- cionárioemplanose sólidossatisfazemasequaçõesde Laplace.O plano(a)podesertratadocomoun1afatiafil~a do sólido(b) perpendicularaoeixoz. Mostrequecadafunçãodosexercícios63-68 satisfazuma eqLH~çãodeLaplace. 63.f(x, y, z) =X2 +i - 2Z2 64. f(x, )', z) = 2Z3- 3(X2+i)z 65.f(x, y) =e-2ycos2x 66.f(x, y) = luVX2 +y2 67.f(x, y, z) ==(X2+y2+ Z2)-1/2 68.f(x, y, z) =e3x+4Ycos5z A EquaçãodaOnda Seficarmosemumapraiaetirarmosumafotografiadasondas,esta mostraráumpadrãoregulardepicosedepressõesemumdadoins- tante.Veremosmovimentoverticalperiódiconoespaço,emrela- çãoà distância.Seficarmosnaágua,poderemossentira subidae descidadaáguacomo passardasondas.Veremosmovimento periódicoverticalnotempo.Emfísica,essabelasimetriaéexpres- sapelaequaçãodeondaunidimensional () 2HI 2 () 2W-=c- rit2 ()x2 ' ondeli' é a alturada onda,x é a variáveldistância,t é a variável tempoe c é avelocidadecomaqualasondassepropagam. w 11.4 ARegradaCadeia 283 Em nossoexemplo,x é a distânciaaolongodasuperfíciedo mar,masemoutrasaplicaçõesx podesera distânciaaolongode umacordavibrando,adistâncianoar(ondassonoras)ouadistân- cianoespaço(ondasluminosas).O númeroevariadeacordocom omeioeotipodeonda. Mostrequeasfunçõesnosexercícios69-75sãotodassoluções daequaçãodeonda. 69. \V=sen(x+ct) 70. w = cos(2x+ 2er) 71.\V =sen(x+ct)+cos(2x+2ct) 72. W=ln(2x+2ct) 73. \V=tg (2x - 2el) 74. w = 5cos(3x+ 3ct)+ ex+ct 75. w = f(u), ondef é umafunçãodiferenciávelde 11e 11= a(x + ct),ondeaéumaconstante. DerivadasParciaisContínuas 76. EscrevendoparaaprenderUmafunçãof(x, y) comderivadas parciaisdeprimeiraordemcontínuasemumaregiãoabert~R devesercontínuaemR? Justifiquesuaresposta. 77. EscrevendoparaaprcnderSeumafunção.fC-r,y) tiverderivadas parciaisdesegundaordemcontínuasemumaregiãoabertaR, asderivadasparciaisdeprimeiraordemde.fdevemsercontí- nuasemR? Justifiquesuaresposta.
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