Revisão e Trabalho

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Vetores
	Vetores são definidos como expressões matemáticas que tem intensidade, direção e sentido. São representados por seta acima da letra usada para representá-lo . Um usado vetor usado para representar uma força que atua sobre uma dada partícula tem um ponto de aplicação bem definido, a saber, a partícula propriamente dita.
	Dois vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido são considerados iguais, independentemente de terem ou não o mesmo ponto de aplicação; vetores iguais podem ser representados pela mesma letra.
	O vetor oposto de um dado vetor P é definido como um vetor que tem a mesma intensidade e a mesma direção de P e um sentido oposto ao de P; o oposto de um vetor P é denotado por –P. Em geral nos referimos aos vetores P e –P como vetores iguais e opostos.Obviamente P+(-P) = 0.
Vetores iguais		Vetores opostos
Decomposição de Vetores – Componentes Retangulares de uma Força
	Em muitos problemas será desejável decompor uma força em dois componentes que são perpendiculares entre si. Na figura, a força F foi decomposta em um componente Fx ao longo do eixo x e um componente Fy ao longo do eixo y. O paralelogramo desenhado para se obterem os dois componentes é um retângulo, e Fx e Fy são chamados de componentes retangulares.
	
	Os eixos x e y são, geralmente escolhidos na horizontal e na vertical, respectivamente, como na Figura; podem, entretanto, ser escolhidos em duas direções perpendiculares quaisquer.
	Dois vetores de intensidade unitária, dirigidos respectivamente ao longo dos eixos positivos x e y, serão introduzidos nesse ponto. Esses vetores são denominados vetores unitários e são representados por i e j, respectivamente. Os componentes retangulares Fx e Fy da força F podem ser obtidos multiplicando-se respectivamente os vetores unitários i e j pelos escalares apropriados. Escrevemos 
Fx = Fxi 	Fy = Fy j
e
F = Fxi + Fy j
	Para que não haja confusão, o componente escalar Fx é positivo quando o componente vetorial Fx tiver o mesmo sentido que o vetor unitário i (ou seja, o mesmo sentido que o eixo x positivo) e é negativo quando Fx tiver sentido oposto. Pode-se chegar a uma conclusão semelhante com relação ao sinal do componente escalar Fy.
	Representando por F a intensidade da força F e por ( o ângulo entre F e o eixo x, medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, podemos expressar os componentes retangulares de F da seguinte maneira:
Fx = F.cos( 	e	Fy = F.sen(
	Notamos que as relações obtidas valem para qualquer valor do ângulo (, de 00 a 3600, e que elas definem tanto o sinal quanto o valor absoluto dos componentes escalares Fx e Fy.
	Quando a força F é definida pelos seus componentes retangulares Fx e Fy , o ângulo ( definindo sua direção pode ser obtido escrevendo-se 
.
	A intensidade da força F pode ser obtida aplicando o teorema de Pitágoras e escrevendo-se:
F = 
.
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Exercícios:
01. Uma força de 800N é exercida no parafuso A, como mostra a Figura. Determine os componentes vertical e horizontal dessa força.
02. Um homem puxa com a força de 300N uma corda amarrada a um edifício, como mostra a figura. Quais são os componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?
03. Uma força F = (3,150N) i + (6,750N) j é aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade da força e o ângulo ( que ela forma com a horizontal.
04. Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas:
(A)
 
(B) 
(C)
(D)
05. O elemento BD exerce sobre o elemento ABC uma força P dirigida ao longo da linha BD. Sabendo que P deve ter um componente vertical de 960N, determine (a) a intensidade da força P e, (b) seu componente horizontal.
06.O elemento CB de um torno de bancada (morsa) exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da linha CB. Sabendo que P deve ter um componente horizontal de 1170N, determine (a) a intensidade da força P, e (b) seu componente vertical.
07. O cabo de sustentação BD exerce no poste telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD. Sabendo que P tem um componente de 450N ao longo da linha AC, determine a intensidade da força P, e (b) seu componente em direção perpendicular a AC.
Adição de Forças Pela Soma dos Componetes X e Y
	Quando três ou mais forças são adicionadas, a solução analítica do problema pode ser obtida decompondo-se cada força em dois componentes retangulares. Considere, por exemplo, tres forças, P, Q e R atuando sobre uma partícula A, a resultante é obtida pela relação:
R = P + Q + R
Decompondo cada força em seus componetes retangulares, escrevemos
Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj
	= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j
De onde temos que
Rx = Px + Qx + Sx 		Ry = Py + Qy + Sy
Ou, em notação reduzida,
Rx = ( Fx 	Ry = (Fy
	Concluímos que os componentes escalares Rx e Ry da resultante R de várias forças que atuem sobre uma partícula são obtidos adicionando-se algebricamente os correspondentes componentes escalares das forças dadas.
	Na prática, a determinação da resultante R é feita em três passos. Primeiro as forças são decompostas em seus componentes x e y de R. Adicionado esses componentes, obtemos os componentes x e y de R. Por fim, a resulatnte R = Rxi + Ry j é determinada aplicando-se a lei do paralelogramo. Este é o único método analítico prático para a adição de três ou mais forças.
				
Exemplo: Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.
 
Exercícios:
01.Determine a resultante das forças mostradas:
(A)
 
(B) 
(C)
(D)
Equilíbrio de uma Partícula
	Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares, cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas.
	e	
Exercícios
01. .Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada uma carga. Determine as trações em AC e BC, em cada caso:
A)
B)
C)
02.Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
03. Sabendo que α = 25◦, determine a tração (a) no cabo AC e (b) na corda BC.
04.Sabendo que α = 50º e que a haste AC exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC, determine (a) a intensidade dessa força e (b) a tração no cabo BC.
05. Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. Sabendo que α = 30º , determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
06.Um teleférico parou na posição indicada. Sabendo que cada, cadeira pesa 300N e que o esquiador que está na cadeira E pesa 890N, determine o peso do esquiador da cadeira F. 
07. Quatro elementos de madeira são unidos com placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio sob a ação das quatro forças mostradas. Sabendo que FA = 2295N e FB = 2160N, determine as intensidades das outras duas forças.
08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como mostra a figura a uma conexão de uma aeronave. Sabendo que a conexão está em equilíbrio e P = 1800N e Q = 2340N, determine as intensidades das forçaas exercidas nas hastes A e B.
09. Dois cabos ligados em C são carregados tal como mostra a figura. Sabendo que W = 840N, determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
Forças no Espaço
Componentes Retangulares de uma força no Espaço
	Os problemas considerados na primeira parte do estudo, consideraram somente duas dimensões; podem ser formulados e solucionados em um único plano. A Partir deste ponto, vamos discutir problemas que envolvem as três dimensões do espaço.
	Considere a força F atuando na origem do sistema de coordenadas retangulares x,y e z. Para definir a direção de F, traçamoso plano vertical OABC contendo F. Esse plano passa pelo eixo vertical y; sua orientação é definida pelo ângulo ( que ele forma com o plano xy. A direção de F pode ser decomposta em um componente vertical Fy e um componente horizontal Fh; essa operação, mostrada na figura, é feita no plano OBAC de acordo com as regras desenvolvidas na primeira parte do estudo. Os componentes escalares correspondentes são:
Fy = F.cos(y 	Fh = F.sen(y
	Mas Fh pode ser decomposta em dois componentes retangualres Fx e Fz ao longo dos eixos x e z, respectivamente. Essa operação, mostrada na figura, é feita no plano xz. Obtemos as seguintes expressões para os componentes escalares correspondentes:
Fx = Fh.cos( = F. sen(y.cos( 
Fz = Fh.sen( = F. sen(y.sen(
	A força F dada foi então decomposta em três componentes retangulares vetoriais Fx , Fy, Fz que estão dirigidos ao longo dos três eixos coordenados.
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	Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD da figura acima, escrevemos:
F2 = (AO)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy2 + Fh2
Fh2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = Fx2 + Fz2
	Eliminando Fh2 dessas duas equações e resolvendo para F, obtemos a seguinte relação entre a intensidade de F e seus componentes retangulares escalares:
F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2
	A relação existente entre a força F e seus três componentes Fx, Fy, Fz é mais facilmente visualizada se uma “caixa” tendo Fx, Fy, Fz como arestas for desenhada como tal mostra a figura. A força F é então representada pela diagonal AO dessa caixa. 
 
Fx = F.cos(x 	Fy = F.cos(y 	Fz = F.cos(z 
	Os três ângulos (x, (y (z definem a direção da força F; eles são mais comumente usados para essa finalidade do que os ângulos (y e ( apresentados no ínicio. Os cossenos de (x, (y (z são conhecidos como cossenos diretores da força F.
	Introduzindo os vetores unitários i, j e K, dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x, y e z, podemos expressar F na forma 
F = Fx i + Fy j + Fz k
Exemplo 01: Uma força de 500N forma ângulos de 60 0, 450 e 1200, respectivamente, com os eixos x, y e z. Encontre os componentes Fx, Fy, Fz da força.
Exemplo 02: A força F tem os componentes Fx, = 90N, Fy, = -135N, Fz = 270 N. Determine sua intensidade F e os ângulos (x, (y (z que essa força forma com os eixos coordenados.
Exemplo 03. A componente de uma força de 300N no plano xz vale 260N e seu ângulo formado com o eixo é de 30º, como mostra a figura. Calcule, 
Força definida por sua Intensidade e por dois pontos em sua linha de Ação
	Em muitas aplicações, a direção de uma força F é definida pela coordenada de dois pontos, M (x1, y1, z1) e N (x2, y2, z2), localizados em sua linha de ação. Considere o vetor ligando M e N e de 
mesmo sentido de F. Representando seus componentes escalares por dx, dy e dz , respectivamente, escrevemos 
 = dx i + dy j + dz k
	O vetor unitário λ ao longo da linha de ação de F pode ser obtido dividindo-se o vetor por sua intensidade d (MN). Substituindo por de dx i + dy j + dz k e observando que MN é igual a distância d e M a N, escrevemos 
	Lembrando que F é igual ao produto de F e λ, temos:
	Exemplo 04: Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500N. Determine (a) os componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre o parafuso, e (b) os ângulos (x, (y (z que definem a direção da força.
01.Determine (a) os componentes x,y e z da força de 900N e (b) os ângulos (x, (y (z que forma com os eixos coordenados.
02.Determine (a) os componentes x,y e z da força de 1890N e (b) os ângulos (x, (y (z que forma com os eixos coordenados.
03.Para se estabilizar uma árvore parcialmente arrancada durante uma tempestade, os cabos AB e AC são amarrados na parte superior do tronco da árvore e depois são presos a hastes de aço ancoradas no chão. Sabendo que a tração no cabo AB é 4,2KN, determine (a) os componentes x,y e z da força exercida por esse cabo na árvore, e (b) os ângulos (x, (y (z que forma com os eixos em A paralelos aos eixos coordenados.
04. Para se estabilizar uma árvore parcialmente arrancada durante uma tempestade, os cabos AB e AC são amarrados na parte superior do tronco da árvore e depois são presos a hastes de aço ancoradas no chão. Sabendo que a tração no cabo AC é 3,6KN, determine (a) os componentes x,y e z da força exercidapor esse cabo na árvore, e (b) os ângulos (x, (y (z que forma com os eixos em A paralelos aos eixos coordenados.
Utilize a figura para resolver as questões 05, 06, 07 e 08.
05.Uma placa circular horizontal está suspensa, como mostra a figura, por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 300 com a vertical. Sabendo que o componente x da força exercida pelo fio AD na placa é de 220,6N, determine (a) a tração no fio AD e (b) os ângulos θx, θy e θz que a força exercida em A forma com os eixos coordenados.
06. Uma placa circular horizontal está suspensa, como mostra a figura, por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 300 com a vertical. Sabendo que o componente z da força exercida pelo fio BD na placa é de -64,28N, determine (a) a tração no fio BD e (b) os ângulos θx, θy e θz que a força exercida em B forma com os eixos coordenados.
07. Uma placa circular horizontal está suspensa, como mostra a figura, por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 300 com a vertical. Sabendo que tração no fio CD é 540N, determine (a) os componentes da força exercida por esse fio na placa e (b) os ângulos θx, θy e θz que a força exercida em C forma com os eixos coordenados.
08. Uma placa circular horizontal está suspensa, como mostra a figura, por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 300 com a vertical. Sabendo que o componente x da força exercida pelo fio CD na placa é de -180N, determine (a) a tração no fio CD e (b) os ângulos θx, θy e θz que a força exercida em C forma com os eixos coordenados.
09. Determine a intensidade, a direção e o sentido da força F = (3600N) i + (1170N) j – (1440N) k.
10. Determine a intensidade, a direção e o sentido da força F = (400N) i - (1200N) j + (300N) k.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 11 e 12.
11. Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AD é 1260N, determine os componentes da força exercida pelo cabo no parafuso em D.
12. Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AB é 918N, determine os componentes da força exercida pelo cabo no parafuso em B.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 13 e 14.
13. Uma placa retangular é sustentada por três cabos, tal como mostra a figura. Sabendo que a tração no cabo AB é 918N, determine os componentes da força exercida em B.
14. Uma placa retangular é sustentada por três cabos, tal como mostra a figura. Sabendo que a tração no cabo AD é 918N, determine os componentes da força exercida em D.
Utilize a figura abaixo para resolver as questões 15 e 16.
15. Uma barra de aço é curvada em forma de anel semicircular de raio 0,96m e é sustentada, em parte, pelos cabos BD e BE, que estão amarrados ao anel em B. Sabendo que a tração no cabo BD é de 220N, determine os componentes dessa força exercida pelo cabo no suporte em D.
16. . Uma barra de aço é curvada em forma de anel semicircular de raio 0,96m e é sustentada, em parte, pelos cabos BD e BE, que estão amarrados ao anel em B. Sabendo que a tração no cabo BE é de 250N, determine os componentes dessa força exercida pelo cabo no suporte em E.
Equilíbrio de uma Partícula no Espaço
	De acordo com a definição dada, uma partícula A estará em equilíbrio se a resultante de todas as forças que atuam em A for zero. Os componentes Rx, Ry e Rz da resultante sãodados pelas relações (Fx = Rx, (Fy = Ry, e (Fz = Rz.; expressando que os componentes da resultante são zero, escrevemos 
(Fx =0 , (Fy = 0, e (Fz = 0.
	As Equações representam as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma partícula no espaço. Podem ser usadas na resolução de problemas relacionados ao equilíbrio de uma partícula que envolvam não mais do que três incógnitas.
	Para resolver tais problemas, deve-se primeiro desenhar um diagrama de corpo livre representando a partícula em equilíbrio e todas as forças que atuam nela.
01) Um caixote de 750 kg é sustentado por três cabos, como mostra a figura. Determine a tração em cada cabo.
02. Um recipiente de peso P=1160N está suspenso por três cabos, como ilustrado. Determine a tração em cada cabo.
03. Três cabos são usados para amarrar uma balão, tal como mostra a ilustração. Determine a força vertical P exercida pelo balão em A, sabendo que a tração no cabo AB é 270N.
04. O conjunto de apoios mostrado na ilustração é aparafusado no local em B, C e D, e sustenta uma força P para baixo em A. sabendo que as força nos elementos AB, AC e AD são dirigidas ao longo dos seus respectivos elementos e que a força no elemento AB é 146N, determine a intensidade de P.
Trabalho de Estática
01. Determine a resultante das forças mostradas:
(A)
 
(B) 
02. Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.
03. Se a intensidade da força resultante deve ser 9KN direcionada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade da força T que atua sobre a argola e seu ângulo (.
(=30,6o e T = 6,6,KN
04.A caminhoneta precisa ser rebocada usando duas cordas. Determine as intensidades das forças FA e FB que atuam em cada corda para produzir uma força de intensidade de 950N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere ( = 50◦.
FA = 774N e FB = 346 N
05. Sabendo que α = 30◦, determine a tração (a) no cabo AC e (b) na corda BC.
06. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é de 600N e sua direção no sentido horário do eixo x positivo é ( = 30o, determine a intensidade de F1 e o ângulo (.
R: (=42,4o F1=730,9N 
07.Se os cabos BD e BC podem suportar uma força de tração máxima de 20KN, determine a massa da viga que pode ser suspensa pelo cabo AB, de modo que nenhum cabo se rompa. O centro de massa da viga está localizado ao ponto G.
R=2785Kg
08.O pendente de reboque AB está submetido à força de 50KN exercida por um rebocador. Determine a força em cada um dos cabos de amarração, BC e BD, se o navio está se movendo para a frente em velocidade constante.
TBC = 22,3 KN e TBD = 32,6KN
09. Se o bloco D pesa 1,5KN e o bloco B pesa 1,375 KN, determine o peso do bloco C e o ângulo ( para o equilíbrio.
Pc=1,2KN e ( = 40,90
10.Determine a tração desenvolvida em cada um dos fios usados para sustentar o candelabro de 50Kg.
R: FCD = 359N ; FBD = 440N ; FAB = 622N ; FBC = 228N
11. Se a tração desenvolvida em cada um dos quatro fios não pode exceder 600N, determine a maior massa do candelabro que pode ser suportada.
R: 48,2 Kg.
12.Determine o peso máximo do balde que o sistema de fios pode suportar, de modo que nenhum fio desenvolva uma tração maior que 0,5KN.
R: W = 0,289 KN
13.A esfera D possui uma massa de 20Kg. Se uma força F = 300 N é aplicada horizontalmente no anel A, determine a dimensão d, de modo que a força no cabo AC seja zero.
R: 2,42m
_1422803118.unknown
_1499620197.unknown
_1499620227.unknown
_1422803018.unknown