aula 02 propagação tensões

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2014.1
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
NOTA DE AULA DE MECÂNICA DOS SOLOS 
– TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS A CARGAS 
APLICADAS NA SUPERFÍCIE DO TERRENO
ISABELLY CÍCERA DIAS VASCONCELOS
isabelly.vasconcelos@unipe.br
1
SUMÁRIO
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ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO ... 03
MÉTODO DO ESPRAIAMENTO DAS 
TENSÕES
... 09
TENSÃO CAUSADA POR CARGA 
PONTUAL – SOLUÇÃO DE 
BOUSSINESQ 
... 10
CARREGAMENTO EM ÁREAS 
RETANGULARES– SOLUÇÃO DE 
NEWMARK 
... 12
EXERCÍCIOS ... 15
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 20
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ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
- Além do peso próprio da massa de solo, as
tensões no solo podem ser originadas
devido à CARREGAMENTOS EXTERNOS.
- Portanto, é importante determinar as
tensões geradas por cargas externas e sua
distribuição no solo, a fim de avaliar as
deformações e a capacidade de carga do
terreno onde são instaladas as obras de
engenharia.
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ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
5
ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
6
ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
• Apesar de suas limitações, é usual utilizar
soluções da Teoria da Elasticidade na
determinação de esforços no interior de
massas de solo, devido a carregamentos
externos;
• A seguir, são apresentadas algumas destas
soluções, sem se preocupar com o seu
desenvolvimento matemático;
• O solo é admitido como um meio
homogêneo (propriedades iguais em cada
ponto do maciço), isotrópico (em cada
ponto, as propriedades são iguais em
qualquer direção), de extensão infinita,
sendo as deformações proporcionais as
tensões aplicadas e calculadas utilizando-
se os parâmetros elásticos do solo: E
(modulo de elasticidade) e n (coeficiente
de Poisson).
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ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
• Os acréscimos de tensões a uma certa
profundidade excedem a área de projeção
da área carregada;
• O somatório dos acréscimos de tensões
verticais é constante em profundidade.
• Como a área de atuação aumenta, o valor
das tensões verticais diminuem com a
profundidade.
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ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
Bulbo de Tensões
- São superfícies unindo pontos de mesmo
acréscimo de tensões.
- Para efeito de projeto convenciona-se Δσ =
0,1 σ0 como o bulbo de tensões mais afastado
– superfície mais distante sob efeito da carga
externa.
Isóbaras
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ACRÉSCIMO DE TENSÕES NO SOLO
Bulbo de Tensões
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MÉTODO DO ESPRAIAMENTO DAS TENSÕES 
Tensões verticais uniformemente distribuídas
com a profundidade, com um ângulo de
espraiamento de 30°.
Ex: Para um carregamento ao longo de uma
faixa de carregamento infinito.
afetada
carregada
A
A
0 
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TENSÃO CAUSADA POR CARGA PONTUAL –
SOLUÇÃO DE BOUSSINESQ 
Boussinesq (1885) desenvolveu as equações
para cálculo dos acréscimos de tensões
vertical, radial e tangencial, causados pela
aplicação de uma carga pontual agindo
perpendicularmente a superfície de um
terreno.
 5
22
3
Cos
Z
Q
z 



Pz I
Z
Q

2

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Fatores de Influência para carga aplicada ao
longo de uma linha horizontal.
TENSÃO CAUSADA POR CARGA PONTUAL –
SOLUÇÃO DE BOUSSINESQ 
 5
22
3
Cos
Z
Q
z 



Pz I
Z
Q

2

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CARREGAMENTO EM ÁREAS RETANGULARES–
SOLUÇÃO DE NEWMARK 
Esta solução fornece a tensão vertical numa
profundidade z sob um canto de uma placa
retangular, de dimensões mz e nz,
suportando uma carga uniforme q.
z
a
m 
z
b
n 
Iz  0
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CARREGAMENTO EM ÁREAS RETANGULARES–
SOLUÇÃO DE NEWMARK 
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CARREGAMENTO EM ÁREAS RETANGULARES–
SOLUÇÃO DE NEWMARK 
Valores de I em função de m e n para caga
uniformemente distribuída em área
retangular
EXERCÍCIO 01
Uma carga de 1500 kN é suportada por uma sapata
quadrada com 2 m de lado. Esta fundação está
assentada próxima à superfície de uma massa de
solo. Determinar a tensão vertical em um ponto
situado a 5 m abaixo do centro da fundação para os
seguintes casos:
a) admitindo que a carga esteja atuando como uma
carga concentrada aplicada no centro da
fundação;
b) admitindo que a carga esteja distribuída
uniformemente sobre a fundação;
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a) Tensão causada por carga pontual –
Solução de Boussinesq
EXERCÍCIO 01
1ª Opção:
 5
22
3
Cos
Z
Q
z 



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a) Tensão causada por carga pontual –
Solução de Boussinesq
EXERCÍCIO 01
2ª Opção:
Pz I
Z
Q

2

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b) Carregamento em áreas retangulares – Solução de
Newmark
EXERCÍCIO 01
20
b) Carregamento em áreas retangulares – Solução de
Newmark
EXERCÍCIO 01
EXERCÍCIO 02
Uma construção industrial apresenta uma planta
retangular, com 12 m de largura e 48 m de
comprimento, e vai aplicar uma ao terreno uma
pressão uniformemente distribuída de 50 kPa.
Determinar:
a) Os acréscimos de tensão, segundo a vertical pelos
pontos A, B, C e D, a 6 m de profundidade
b) Calcule os acréscimos de tensão pela prática de
“espraiamento das tensões”.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Caputo, H. P. Mecânica dos Solos e Suas Aplicações,
Vol. 1, 2 e 3. Livros Técnicos Científicos. Editora S. A.
Craig, R.F. (1974) – Mecânica dos Solos, Editora LTC.
Das, B.M. (2011) – Fundamentos de Engenharia
Geotécnica. Editora Thompson.
Lambe, T.W. & Whitman, R.V. (1969) Soil Mechanics.
John Wiley & Sons, Inc.
Pinto, C.S. (2006) – Curso Básico de Mecânica dos
Solos. Editora Oficina.
Vargas, M.(1977) – Introdução à Mecânica dos Solos.
MacGraw Hill.
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