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DERIVADAS – INTRODUÇÃO Consideremos uma função e sejam e dois pontos de seu domínio; sejam e as correspondentes imagens y x0 x1 x f(x0) f(x1) x f y x0 x0 + x x f(x0) f(x0 + x) x f P Q Chamamos de TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO de , para x variando de para , ao quociente: Tal taxa mede o ritmo de variação da imagem em relação à variação de . Observemos ainda que a taxa média de variação depende do ponto de partida e da variação . Usando o símbolo para indicar uma variação, podemos indicar a taxa média de variação de pela relação: Exemplo 1) Seja uma função , o ponto inicial de abscissa e a variação (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de para esses valores é: Isso significa que, se variar 2 unidades ( a partir de ), a variação de será 4 vezes maior, , enquanto . Exemplo 2) Consideremos novamente a função e calculemos a taxa média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa e um acréscimo também genérico . y x0 x0 + x x f(x) f(x + x) x f Temos: Assim, por exemplo, se quisermos a taxa média de variação, a partir do ponto e com uma variação , o resultado será: CONCEITO DE DERIVADA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Seja uma função e um ponto de seu domínio. Chamamos de DERIVADA DE NO PONTO , se existir e for finito, o limite dado por: Indica-se a derivada de no ponto por ou ou ainda por . Exemplo 3) Qual a derivada de no ponto ? Isso significa que um pequeno acréscimo , dado a , a partir de , acarretará um correspondente acréscimo que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo . Exemplo 4) Qual a derivada de no ponto ? EXERCICIOS: Para cada função , determine a derivada no ponto indicado: , , , , , , A FUNÇÃO DERIVADA Até aqui consideramos a derivada de uma função em um número fixo : I - Para facilitar (notação), trocaremos por e por , assim teremos: II - Dado qualquer número para o qual esse limite exista, atribuímos a o número . Assim podemos considerar como uma nova função, chamada DERIVADA DE e definida pela equação II. Sabemos que o valor de em , , pode ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto . O domínio da função derivada é o conjunto dos valores de para os quais existe a derivada de A vantagem em calcular a função derivada é que com ela podemos calcular a derivada de em qualquer ponto bastando para isso substituir, na função derivada, por . Exemplo 5) Qual a função derivada de ? Assim, por exemplo, se quisermos a derivada no ponto , basta calcular que é igual a . Observe os gráficos: Observe que quando tem tangentes horizontais e que é positiva quando as retas tangentes, a , tem inclinação positiva. Exemplo 6) Se , encontre a derivada de e diga qual o seu domínio. Vemos que existe se , logo o domínio de é . Exemplo 7) Encontre se . Definição: “Uma função é derivável ou diferenciável em , se existir. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto ou ou ou se for diferenciável em cada número do intervalo.” Exercícios: Encontre a derivada da função dada usando a definição, diga quais são os domínios da função e da função derivada. Exemplo 8) Seja , determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto: Resolução: primeiramente vamos achar a função derivada, : Lembrando a equação da reta, , temos: No gráfico: Exercícios: Determine a equação da reta tangente em , sendo dados:
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