AUTOVALORES E AUTOVETORES TRABALHO

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QUARTO SEMESTRE DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
AUTOVALORES E AUTOVETORES
INTRODUÇÃO.
	O presente trabalho tem como finalidade descrever os métodos de Leverrier, o método das potências, o cálculo dos autovetores e suas aplicações.
	A cadeira mencionada tem como objetivo proporcionar ao aluno um contato com o nível de ensino em questão e um aparato de ferramentas a serem utilizadas durante o percurso do curso e para a sua vida profissional.
	Autovalores e autovetores fazem parte em diferentes ramos da matemática, principalmente nas formas quadráticas, sistemas diferenciais e problemas de otimização não linear. Desta forma, podem ser utilizados para resolver problemas de diversos campos, como: economia, teoria da informação, análise estrutural, eletrônica, teoria de controle e muitos outros.
	Assim, os métodos numéricos que serão apresentados será para a determinação dos autovalores e correspondentes autovetores de uma matriz A de ordem n.
	Os métodos numéricos que serão relatados ao longo do trabalho podem ser obtidos sem necessitar o uso do cálculo do determinante. Sendo esses métodos divididos em três: métodos que determinam o polinômio característico, métodos que determinam alguns autovalores e os métodos que determinam todos os autovalores.
Os dois últimos métodos representados, determinamos os autovalores sem conhecer a expressão do polinômio característico. Já em relação aos métodos do grupo um citado acima, no cálculo dos autovalores utiliza-se métodos numéricos para a determinação de zeros de polinômio. 
Método de Leverrier
Nesta classe, esse método caracteriza-se pelo método de Leverrier e Leverrier-Faddeev. 
Método de Leverrier: fornece o polinômio característico de uma matriz A de ordem n.
Para determiná-lo começamos primeiramente pelo teorema de Newton. 
 Seja o polinômio:
P(x) = , 
Cujas raízes são: x1, x2, . . . , xn .
 Seja ainda:
Então, 
Através desse teorema notamos que existe uma relação entre os coeficientes de um polinômio e as somas das potências das suas raízes. Assim, conhecidas as somas das potências das raízes do polinômio podemos determinar os coeficientes do mesmo.
Exemplo: Sejam s1 = 6, s2 = 14, s3 = 36 as somas das potências das raízes de um polinômio P(x). Determinar P(x).
k = 1 ⇒ a0s1 + a1 = 0 ⇒ a1 = −a0s1
k = 2 ⇒ a0s2 + a1s1 + 2a2 = 0 ⇒ 2a2 = −a0s2 − a1s1
k = 3 ⇒ a0s3 + a1s2 + a2s1 + 3a3 = 0 ⇒
⇒ 3a3 = −a0s3 − a1s2 − a2s1
Tomando o coeficiente do termo de maior grau do polinômio igual a 1, isto é, fazendo a0 = 1, obtemos por substituição nas expressões anteriores que:
a1 = −6 , a2 = 11 , a3 = 6 .
Portanto, o polinômio procurado é:
P(x) = x3 − 6x 2 + 11x − 6.
Logo, o conhecimento dos sk, k = 1,. . . , n, proporciona a determinação dos ak, k = 1, 2,. . . , n. Observe que nesse exemplo as raízes do polinômio são: x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 3.
Para os métodos numéricos descritos a seguir usaremos a seguinte notação para o polinômio característico de uma matriz A, de ordem n:
P(λ) = (−1)n λ n − p1λ n−1 − p2λ n−2 − . . . − pn−1λ − pn. 
Agora vejamos o método de Levorrier.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se λ1, λ2,...,λn são os autovalores da matriz A, isto é, se λ1, λ2,...,λn são os zeros do polinômio, e se 
Então, temos:
 , 1 ≤ k ≤ n.
Portanto, se conhecermos os , poderemos determinar os coeficientes p1, p2...,pn de P(λ).
Abaixo veremos como determinar as somas parciais . Fazendo expansão direta de A – λI, o coeficiente de em P(λ) é (a11 + a22 +... + ann). Por outro lado esse mesmo coeficiente dado em Newton é p1.
 Assim, temos:
 P1 = a11 + a22 + . . . + ann .
A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz A é conhecida como traço de A, cuja notação é tr(A). Se s1=p1, temos;
(A)
Logo, a soma dos autovalores da matriz A é igual ao traço de A. Assim,
Os números s1, s2,. . . ,sn são obtidos através do cálculo das potências de A, podendo ser usada para determinar os coeficientes do polinômio característico. Determinando as raízes desse polinômio por qualquer dos métodos numéricos, obtemos os autovalores de A.
Vejamos um exemplo;
Determinar seus autovalores pelo método de Levorrier.
Solução
S1 = tr(A) = 3 
S2 = tr(A 2 ) , A2 = A · A = , ⇒ s2 = 3 ,
S3 = tr(A 3 ) , A3 = A 2 · A = , ⇒ s3 = −3 .
Usando Levorrier, obtemos:
p1 = s1 ⇒ p1 = 1,
2p2 = s2 – p1s1 ⇒ p2 = 2,
3p3 = s3 – p1s2 – p2s1 ⇒ p3 = −2.
Por Newton, segue que:
P(λ) = (−1)3 (λ 3 − p1 λ 2 − p2λ − p3)
p3) = (−1)3 (λ 3 − λ 2 + 2λ − 2)
= −λ 3 + 2λ 2 − 2λ + 2 .
Para determinar os autovalores de A basta determinar os zeros de P(λ). É fácil verificar que 
λ = 1 é uma raiz de P(λ).
Assim, P(λ) = (λ − 1)(−λ 2 + 2). Logo os autovalores de A são: λ1 = 1, λ2= − √ 2 e λ3 = √ 2.
Método de Leverrier-Faddeev:
Dá-se por uma modificação do método de Leverrier, devida a Faddeev, simplifica os cálculos dos coeficientes do polinômio característico e assim fornecem, em alguns casos, os autovetores de A.
	Para a definição e melhor compreensão, vejamos abaixo.
Com o método de Leverrier-Faddeev, obtemos o polinômio característico de A. Para determinar seus autovalores basta determinar os zeros de P(λ). 
ii) Se ao fazer os cálculos Bn resultar numa matriz diferente da matriz nula, você terá cometido erros de cálculo. 
iii) Como Bn = θ e como Bn = An − pnI então An é uma matriz diagonal com todos os elementos não nulos iguais a pn.
 iv) Se A é singular então pn = 0. Nesse caso λ = 0 ´e um autovalor de A
Método das Potências
Este método é bem breve. Ele tem por objetivo determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz qualquer e seu correspondente autovetor, sem precisar determinar o polinômio desejado. Assim, podemos concluir que o método é prático quando o interesse é determinar alguns autovalores, de módulo grande e que estes estejam bem separados, em módulo dos demais. As complicações podem surgir caso a matriz não possua autovetores linearmente independentes. Com essas condições podemos afirmar que ele se baseia pôr o seguinte teorema:
Supondo uma matriz A (n × n) com n autovalores reais e distintos λ1, λ2,..., λn e n autovetores associados [u]1, [u]2,..., [u]n. Afirmamos, que arranja-se os autovalores maior para o menor. Sendo os autovetores linearmente independentes, eles formam uma base, ou seja, qualquer vetor pertence ao mesmo espaço e pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores bases
Sendo a sequência yk : yk+1 = Ayk, k= 0, 1, 2..., onde yo é um vetor arbitrário que autoriza a expansão: 𝑦𝑜 = ∑ 𝑐𝑗𝑢𝑗, 𝑛 𝑗=1 sendo o cj um escalar qualquer e c1≠0. Logo:
Sendo o r o indicador da r-ésima componente. E O k tendendo ao infinito, yk ao autovetor correspondente a 𝜆1.
Como todas as componentes do limite tem a 𝜆1, mas na prática uma componente converge primeiro que as outras. Tendo o autovalor procurado assim que uma componente satisfizer a precisão almejada. A velocidade de convergência é resultado do quociente de a 𝜆2 por a 𝜆1, então, quanto maior for o a 𝜆1 mais rápida será a convergência. A precisão do a 𝜆1 é calculada pelo erro relativo, quando ele for menor que o erro, tem-se o critério de parada.
 Método da Potência Inversa
Ao contrário do método anterior, o método da potência inversa é usado para determinar o autovalor de menor valor absoluto e o autovetor da matriz desejada. É bem semelhante ao método da potência, com a diferença do arranjo dos autovalores, que aqui vão do menor para o maior.
Por exemplo,
|𝜆1|≥|𝜆2|≥⋯≥|𝜆1n+1|>|𝜆𝑛|,
Método das Potências com Deslocamento
Chamamos de método das potências com deslocamento quando os autovalores são deslocados na reta real. Vejamos;
Considerando que A têm autovalores 𝜆i reais, a sua sequência de vetores é definida por:
 	Onde I é a matriz identidade de ordem n e q é um parâmetro qualquer. 
Cálculo dos Autovetores
Do mesmo jeito que os autovalores são calculadospelo método de Jacobi os autovetores também são.
A sequência de matrizes Ak é calculada da seguinte forma:
Se A1=A, dizemos que...
Onde 
	Se . Podemos obter o , V é a matriz ortogonal e D contém os autovetores de A. V contém seus autovetores, isso todos em colunas, isto é, a j-ésima coluna de V é o autovetor correspondente ao autovalor 𝜆j.
	No método de Jacobi, um par de elementos fora da diagonal sempre se torna zero. Em primeira vista a matiz diagonal parece ser obtida após n passos. Porém, podemos dizer que isso não é verdade porque há transformações ortogonais que retira os zeros criados anteriormente.
Exemplo.
Determine os autovalores e correspondentes autovetores de:
A = 
Solução:
Logo os autovalores de A são: 𝜆1=5; 𝜆2=9.
Aplicação.
As características de vibração de estruturas podem ser determinadas a partir da solução de um problema de autovalores. Por exemplo;
As equações deste movimento podem ser definidas pelo sistema a seguir.
−ω 2m1u1 + (k1 + k2 + k4)u1 − k2u2 − k4u3 = 0
−ω 2m2u2 − k2u1 + (k2 + k3)u2 − k3u3 = 0
−ω 2m3u3 − k4u1 − k3u2 + (k3 + k4)u3 = 0
Na equação 1 o sistema pode ser descrito, como:
−ω 2Mu + Ku = 0
Onde:
M= e K= 
E pode ser rearranjado na seguinte forma;
Mu = λKu onde λ = 1/ω2
REFERÊNCIAS
FRANCO, Neide Bertold. Calculo Numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2006. 203 p.
http://paraiso.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576050872/pages/243
https://www.inf.ufes.br/~luciac/mn1/Exer5-autovalores-autovetores.pdf