Questões AV3 Calculo 3

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Questões AV3 Calculo 3
1 - Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2.
R:(2,cos 2, 3)
2- Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0
R: x²+y²=C
3- Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4y
R: 	y=cx4
4 - Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação diferencial se faz necessário classificar esta equações.
Três classificações primordiais são:
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial)
2. Segundo a ordem desta equação.
3. Segundo a linearidade.
Classifique as seguintes equações:
a) dxdt=5(4-x)(1-x)
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0
Admitindo os seguintes índices para a classificação:
A=1: para E.D.O.
A=2: para E.D.P.
n: A ordem da Equação
B=5: para equação linear
B=6: para equação não linear
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em: 
R: 	8; 8; 11; 9
5 - Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0:
R: equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear
6- Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h
R: ( -sent, cos t)
7 - Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent.
R: 1
8 - Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x)
R: ordem 2 grau 3
9 - A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias.
R: C(x) = x(1000+ln x)
10 - Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. ydx + xdy = 0 concluimos que ela é;
R: Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
11 - "As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima. Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
R: I), (II) e (III)
12 - A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Podemos afirmar que  o número inicial de bactérias é: 
R: Aproximadamente 160 bactérias.
13 - Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y b) dx/dt = k(4-x).(1-x) encontramos:
R: (a)linear (b)não linear
14 - Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial.
R: Todas são corretas.
15 - Calcule C1 e C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições dadas:
y(0)=2; y'(0)=1.Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.
R: 	C1=1; C2=2 PVI
16 - O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,cost são linearmente dependentes.
R: t=0
17 - Marque a alternativa que indica a solução geral da equação  diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy.
R: y = (e-3x/3) + k
18 - Resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6, encontramos:
R: y = x + 5 ln | x + 1 | + C
19 - Indique a única resposta correta da Transformada de Laplace da função degrau unitário:
f(t)={1se  t≥00se  t<0
R: 1s,s>0
20 - Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2
R: {(x,y)  2|  x+y ≥ 2}
21 - Podemos afirmar que o fator integrante da equação \({(6xy)dx +(4y+ 9x^2) dy}\)  
R: \(I= {y^2}\)
22 - Determine c1 e c2 de modo que f(x)=c1e2x+c2ex+2senx satisfaça as seguintes condições iniciais: f(0)=0 e f'(0)=1. Marque a única resposta correta.
R: c1=-1c2=1
23 - Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar:
 É um método simples.
Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas.
Serve para transformar uma Equação algébrica com condições iniciais em uma equação Diferencial , de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
 É um método complexo.
R: As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
24 - O gráfico das curvas de nível e o gráfico de f(x,y)=x2+y2 pode ser definido pelas curvas: 
R: Quando z = 1 temos uma circunferência de raio 1, 1 =x2+y2
Quando z = 4 temos uma circunferência de raio 2, 4 =x2+y2
25 - Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0).
R: tende a zero
26 - Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
R: 𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
27 - Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor v=3i-4j, no ponto P=(1,-2) tem valor de: 
R: 8/5
28 - Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0
R: y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
29 - Resolva a equação diferencial homogênea dy/dx = ( y + x) / x
R: ln(x) + c
30 - A equação diferencial abaixo é de primeira ordem. Qual é a única resposta correta? cosΘdr-2rsenΘd Θ=0
R: rcos²Θ=c