Aula Calc Numerico atualizada 03-06-14

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Professora Josina:
josina.on@gmail.com
Apostila Cálculo Numérico: William Wagner
Funções (revisão):
Função "Nota em relação ao tempo de estudo":
1 2 3 4
3
5
8
10
Tempo
(horas / semana)
Nota
ABICISSA
O
R
D
EN
AD
A Essa função é crescente: porque quando a 
abcissa cresce, a ordenada também cresce.
A nota é uma função de várias variáveis (ex: 
conhecimento prévio, professor, época, etc.) 
mas nós traçamos no gráfico somente uma 
variável.
Diagrama de Bloco ou Gráfico de Distribuição
f(x) = x²
x f(x0
0 0
1 1
-1 1
2 4
-2 4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota
N
º
 
de
 
A
Lu
n
o
s
x
f(x)
Cálculo Numérico
terça-feira, 18 de fevereiro de 2014
19:00
 Página 1 de Calc Num 
1 - Fazer a mão usando papel milimetrado ou quadriculado o gráfico para as funções abaixo:
a) f(x) = 2
b) g(x) = 3x + 1
c) h(y) = -y²
d) u(z) = z - 2z + 4 = -z +4
2 - Para cada uma responda, após o gráfico:
a) A função é decrescente? Por quê?
b) Qual o valor da função quando a abcissa é zero?
c) Existe alguma abcissa que faz a função ser nula? Se existe, qual é?
OBS:
f(x) = x²
(0,0)
-2
2
f(-2) = 0
f(0) = 2
x
f(x)
x
f(x)
Exercícios
sábado, 22 de fevereiro de 2014
11:59
 Página 2 de Calc Num 
a) f(x) = 2
x f(x)
0 2
4 2
b) g(x) = 3x + 1
x g(x)
0 1
-1 -2
1 4
Quando a função é um 
polinômio de grau 1, o gráfico é 
uma reta, ou seja, a função é 
linear.
A função é crescente, porque se a abcissa cresce, a ordenada cresce também.
A função é crescente para todo o domínio, ou seja: ∀	�	|	� ∈ �
c) h(y) = -y²
y h(y)
0 0
-1 -1
1 -1
-2 -4
2 -4
A abcissa que faz a função nula é y = 0.
NESSE CASO:
(continua)
x
f(x)
x
g(x)
y
h(y)
Exercícios
terça-feira, 25 de fevereiro de 2014
19:00
 Página 3 de Calc Num 
Para as funções quadráticas (polinômios de grau 2) podem ocorrer três situações:
1) Não ter ponto com função nula
Exemplo: O gráfico não cruza e nem 
"toca" o eixo das abcissas
2) Há somente um ponto com função nula. O gráfico "toca" o eixo das abcissas.
3) Há dois pontos para os quais a função é nula. O gráfico "corta" o eixo das abcissas em dois pontos.
Exemplo:
Funções Quadráticas
terça-feira, 25 de fevereiro de 2014
19:30
 Página 4 de Calc Num 
4) u(z) = z - 2z + 4 = -z + 4
z u(z)
0 4
3 1
Função Decrescente
z
u(z)
Exercícios (cont)
sábado, 1 de março de 2014
22:43
 Página 5 de Calc Num 
Apostila César Galvão → Capitulo 2 
(Zero de funções reais)
-11,4
10,7
x
f(x)
zero da função:
(-11,4 , 0)
São as abcissas que fazem a função ter valor zero. Nesses pontos, o gráfico da 
função "corta" o eixo das abcissas.
Teorema 1: Seja f(x) uma função contínua, num intervalo [a,b]. Se f(a) . f(b) < 0, então existe pelo menos 
um zero de f(x) entre a e b.
a
x
f(x)
b
OBS1: Ou f(a) é negativo ou f(b).
OBS2: toda vez que cruzar, será verdade.
a b
f(x)
x
I
��	
 < 0 ��
 < 0
���
. ���
 > �: Não se aplica
a
x
f(x)
b
��
 > 0
��	
 < 0
Zeros Reais de Funções Reais
terça-feira, 11 de março de 2014
19:00
 Página 6 de Calc Num 
Método para encontrar ZERO REAL de uma função REAL.
1º - Teorema 1 para a e b relativamente próximos.
Algoritmo:
���
 = 3�² + 2� − 1
Dados de Entrada:
a: 2
b: 3
ITMAX = 10
valores iniciais
ε = |
 − 	|2� =
	 + 
2
i a f(a) x f(x) b f(b) ε f(a)*f(X)
1 2,00 15,00 2,50 22,75 3,00 32,00 0,5000 341,3
2 2,50 22,75 2,75 27,19 3,00 32,00 0,2500 618,5
3 2,75 27,19 2,88 29,55 3,00 32,00 0,1250 803,3
4 2,88 29,55 2,94 30,76 3,00 32,00 0,0625 908,9
5 2,94 30,76 2,97 31,38 3,00 32,00 0,0313 965,2
6 2,97 31,38 2,98 31,69 3,00 32,00 0,0156 994,3
7 2,98 31,69 2,99 31,84 3,00 32,00 0,0078 1009,1
8 2,98 31,69 2,99 31,77 2,99 31,84 0,0039 1006,6
9 2,98 31,69 2,99 31,73 2,99 31,77 0,0020 1005,4
10 2,98 31,69 2,99 31,73 2,99 31,77 0,0020 1005,4
Apostila Cálculo Numérico César Galvão
Pág. 22
Método da Bissecção
terça-feira, 11 de março de 2014
19:30
 Página 7 de Calc Num 
3�−2.7
� − 2�−2.7
 − 4 = 23.273�8.4
� − 2�8.4
 − 4 = 190.88
3�−4.3
� − 2�−4.3
 − 4 = 60.073�2
� − 2�2
 − 4 = 4
a) 
Para cada intervalo abaixo, especifique se há ou não um zero da função e explique por que :���
 = 3�� − 2� − 4
a) (-1 , 0)
b) (-4.3 , 2)
c) (2.7 , 8.4)
a) (0 , -1)
b) (-2 , -4)
c) (3.27 , 4.25)
2
4)( −= iig
3�−1
� − 2�−1
 − 4 = 13�0
� − 2�0
 − 4 = −4 (1) x (-4) < 0 → há um zero da função
b) (60.07) x (4) > 0 → não há um zero da função
c) (23.27) x (190.88) > 0 → não há um zero da função
Resposta: não há valores negativos de g(i) para nenhum # ∈ ℝ, logo todos os valores serão > 0.
Exercício
terça-feira, 18 de março de 2014
19:59
 Página 8 de Calc Num 
Fazer planilha da função f(x) = x³ - 2x² + x para encontrar o(s) zero(s) pelo método da bissecção, seguindo o 
algoritmo da apostila Cesar Galvão (ε = 10-4).
individual•
manuscrito•
nome, função•
Trabalho da AV1 valendo 2 pontos:
I - esboço do gráfico no papel milimetrado (não usar software de computador).
II - Escolha de a e b.
III - Tabela
IV - Resposta final, com precisão ε = 10-6.
Exemplos:
dúvidas: josina.on@gmail.com
i a f(a) x f(x) b f(a) . f(x) ε
10 -5 -2 -3 +10,456
11 -2 -3
⫶
27 -12,47 +0,014 -11,580124312 -0,0004 -11,57 0,0000324
Resposta:
Zero da função = -11,58012 ±0,00003
i a f(a) x f(x) b f(a) . f(x) ε
4 1 -1,75 -2,5 - 4,67
5 1 -1,75
Passo 6:
Se f(a) . f(x) > 0 → )	*+, 	← �*
*+, 	← 
* senão: .
*+, 	← �*	*+, 	← 	* ε ≤ 10
-4
Programação
terça-feira, 1 de abril de 2014
19:00
 Página 9 de Calc Num 
i a f(a) x f(x) b f(b) f(a) . f(x) ε
1 1 -3 1,5 -2,5 2 1
2 1,5 -2,5 1,75 -1,21 2 1
3 1,75 -1,21 1,875 -0,238 2 1 0,125
� = 	 + 
2
- - +
- - +
- +
a = 1 x = 1,5 b = 2
b = 2
b = 2
I = 1
I = 2
I = 3
a = 1,5 x = 1,75
a = 1,75
ε = 
 − 	2 = 0,125
 = 1,9 ±0,1
Zero da função = 1,875 ±0,125
1,8 1,9 2,0
Exemplos
terça-feira, 8 de abril de 2014
19:00
 Página 10 de Calc Num 
Regra dos Trapézios
Em Cálculo Numérico buscamos um método para resolver de forma aproximada cálculos que são difíceis de 
serem resolvidos analiticamente.
f(x)
x
a b
/ ���
0�12 área sob a curva
A regra do trapézio consiste de um método aproximado para calcular a integral definida de uma função. 
O valor aproximado da integral será igual a área do trapézio conforme a figura.
Área do Trapézio = AR + AT
AR = (b - a) . f(b)
AT = 
,
�(b - a) . [f(a) . f(b)]
f(
a
) 
-
f(
b
)
ℎ2	. �4 + 
ou:
R
T
Exercícios:
Resolva pelo método do trapézio as integrais abaixo. Tais integrais são fáceis de serem resolvidas 
analiticamente. Faça o cálculo aritmético e calcule o erro:
	
/ �0�5,6,,6 																					
	/ ��� + 1
0�
+,6
7,6 																8
	/ ��9 + 2��
0�
,,6,
76,6,
a)
2
35
2
136
2
²
6
1
6
1
=
−
==∫
x
xdx Sendo:
2
35]16[
2
5
6 = f(6)
1 = f(1)
6 =h 
=+





erro = 0
)("max
12
125
12
³6
]6,1[
xfE
x
T
∈
=≤
f(x) = x
f'(x) = 1
f"(x) = 0
|ET| ≤ 0
0
(conforme aula seguinte)
Integração Numérica
terça-feira, 29 de abril de 2014
19:30
 Página 11 de Calc Num 
Apostila César Galvão, cap. 6
/ ���
0�12 ≈ área do trapézio formado conforme a figura:
: = ℎ2 �4 + 
x
f(x)
f(x1)
f(x0)
a = x0 b = x1
h = x1 - x0
∫
=
=
+≈
1
0
)]()([
2
)( 21
xb
xa
xfxfhdxxf
01 xxh −=
Estimativa de Erro: )("max
12
³
],[
xfhE
baxT ∈
≤
	
	/ ��� + 1
0�+,67,668720
3
200010
3
100010
3
100010
3
)³10(10
3
³10
3
³1²
10
10
10
10
≈+=+++=



−
−
−+=+=+
+
−
+
−
∫ x
xdxx
Pela regra do Trapézio:
h = 10 - (-10) = 10 + 10 = 20
f(10) = 100 + 1 = 101
f(-10) = 100 + 1 = 101
/ ≈
	
	
	202 . <101 + 101= = 2020
Continuação do Exercício:
|Erro| = 2020 - 687 = 1333
)("max
12
8000
]10,10[
xfE
x
T
−∈
≤
1333267,666
2 = (x)f"
2x = (x)f'
1x²= f(x)
≤⇒×≤




+
TT EE
Integração numérica
terça-feira, 6 de maio de 2014
19:00
 Página 12 de Calc Num 
/ √6� − 5	?
,
0�
328.4]71[
2
8
749554)9(
1156)1(
81-9h
=≈+≈∫





==−=
==−=
==
f
f
Estimativa de erro:
2/3
2/32/3
2/12/1
2/1
)56(
9)56(9)56(
2
6.3)("
)56(36.)56(
2
1)('
)56()(
−
−=−=−−=
−=−=
−=
−−
−−
x
xxxf
xxxf
xxf
3]9,1[ )56(
9
max
12
³8
−
−≤
∈ x
E
x
T 91
9
)5)1(6(
9)1("
3
−=
−
=
−
−
=f
33 49
9
)5)9(6(
9)9(" −=
−
−
=f
3849.
12
³8
=≤TE 38432 ±=∫→
/ ���
0�
1
2
= / ���
0�
@
2
+/ ���
0�
1
@
≈ 8 − 	2 <��8
 + ��	
= + 
 − 82 <��8
 + ��
=
≈ 
 −
	22 <��	
 + ��8
 + ��8
 + ��
=
Regra do Trapézio com (n) divisões.
2f(c)
/ ���
0�1ABC2ABD 						ℎ = ��E − �6
 = 	
ℎ2. F G���6
 + ���E
 + 2H�I�JK
E7,
JA,
L
Exercícios
terça-feira, 6 de maio de 2014
20:00
 Página 13 de Calc Num 
p/ n = 4:
{ })]()()([2)()(
8 32140
xfxfxfxfxfh ++++ )("max
²12
³
],[ 0
xf
n
hE
n
R xxx
T
∈
≤
Onde: h = xn - x0 , ou seja, o intervalo de integração.
Para fazer em casa:
/ √6� − 5	?
,
0� usando a regra do trapézio, repetida para n = 2 e n = 4.
Calcular o erro p/ cada uma.
Exemplo
terça-feira, 6 de maio de 2014
20:30
 Página 14 de Calc Num 
Apostila William Wagner
Erros•
Mudança de Base•
Integração Numérica repetida (César Galvão)•
Erro Absoluto:�̅ → valor aproximado� → valor exato NO = |� − �̅|
Normalmente, quando chegamos a um resultado por um método numérico, fazemos a estimativa do 
erro, por alguma regra, ou fórmula do próprio método.
|� − �̅| |� − �̅|
x
Erro absoluto representa:
Exemplo: Na tabela interativa do Método da Bissecção, o valor de ε = |172|� era o erro absoluto. E o 
valor de x = 1+2� 	 era o valor aproximado encontrado ��̅
.
Resposta: �̅ + P
Erro Percentual:
Erro Perc = |� − �̅|�̅
Erro Relativo: |� − �̅|�
. 100
Em cálculo numérico não se conhece x, então: NQ = |� − �̅|�̅
erro absoluto
valor obtido no método
Arredondamento:
Dado um valor, por exempo: π = 3,141592653, arredonde-o na quarta casa decimal:
3,141592653
Se o valor seguinte for ≥ 5, o valor do numeral dessa casa é soma de 1: 3,1416.
Caso o arredondamento fosse na 5a casa: π = 3,141592
≥ 5
Erros
terça-feira, 20 de maio de 2014
19:00
 Página 15 de Calc Num 
Considera-se o no até a casa decimal, desprezando-se as seguintes. Nos exemplos anteriores:
Truncar π na 4a casa = 3,1415
Truncar π na 5a casa = 3,14159
Exercício:
1) Calcular os erros absoluto, relativo e percentual quando se trunca π na 7a casa e quando se arredonda na 
7a casa.
2) Sabendo-se que ex pode ser escrito como: ∑
∞
=
=
0 !i
i
x
i
x
e faça a aproximação de e2 considerando até o 
4o termo do somatório. Calcule o erro absoluto, relativo e percentual. OBS: Nesse caso, conhece-se o 
valor exato (= e2)
Truncamento
terça-feira, 20 de maio de 2014
19:30
 Página 16 de Calc Num 
Base 2 Base 10
0 0
1 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1) Da base 2 para base 10:
1 0 1 1 0 1 1 = 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
6 5 4 3 2 1 0 = 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 91
2) Da base 4 para base 10:
1 2 0 3 1 2 2 0 = 1 x 47 + 2 x 46 + 0 x 45 + 3 x 44 + 1 x 43 + 2 x 42 + 2 x 41 + 0 x 40
= 16.384 + 8.192 + 768 + 64 + 32 + 8 = 25.4487 6 5 4 3 2 1 0
3) da base 10 para a base 2:
432
216
108
54
27
13
6
3
1
0
43210 = 1101100002
91
45
22
11
5
2
1
0
9110 = 10110112
?
?
Mudança de Base
terça-feira, 20 de maio de 2014
20:06
 Página 17 de Calc Num 
pela regra do trapézio repetida, com n intervalos:









+++++
−
= ∑∫
−
=
−
1
2
1)()()(2)()(.2
/)()(
n
i
n
b
a
xfdfcfbfafnabdxxf K
)("max
²12
³
],[
xf
n
hE
baxTR ∈
≤
x
f(x)
a bcd e
n = 2 →
n = 4 →
f(c)
f(c)
f(d)
f(e)
Exercícios:
∫ −
9
1
56 dxx com n = 4 e n = 2.
∫ +
−
9
1
3
1
19 dx
x
x
com n = 1 e n = 3.
Integração Numérica
terça-feira, 20 de maio de 2014
20:30
 Página 18 de Calc Num 
Apostila William Wagner, pág. 48
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função p(x) que satisfaça 
algumas propriedades. Em geral, a interpolação de funções é usada nas seguintes situações:
São conhecidos valores numéricos da função f(x) em alguns pontos discretos de x e deseja-se obter 
valores de f(x) em pontos desconhecidos, mas dentro do limite avaliado; 
•
Quando uma determinada função f(x) possui os operadores de diferenciação e integração muito 
complexos; 
•
Na solução numérica de equações diferenciais usando o método das diferenças finitas e o método dos 
elementos finitos. 
•
Vandermode: O polinômio passa por todos os pontos dados.•
Lagrange: Não há exigência de passar em todos os pontos.•
Por Polinômios:
Quando tivermos n+1 pontos dados, o polinômio terá grau n. O ajuste do Polinômio aos pontos é feito 
observando-se o princípio básico, ou seja, que o polinômio passa por TODOS OS PONTOS.
n
nxaxaxaxaaxp +++++= K³²)( 3210
11
3
13
2
121101
00
3
03
2
020100
)(
)(
yxaxaxaxaaxp
yxaxaxaxaaxp
n
n
n
n
=+++++=
=+++++=
K
K
Exemplo:
x f(x)
-1 4 x0
0 1 x1
2 -1 x2
∑
=
=
n
i
i
i xaxp
0
)(
1)²2()2()2(
1)²0()0()0(
4)²1()¹1()1(
210
210
210
−=++=
=++=
=−+−+=−
aaap
aaap
aaap
a0 = 1
1421)2(
41)1(
21
21
−=++=
=+−=−
aap
aap



−=+
=+−
242
3
21
21
aa
aa 12
3
21
21
−=+
=+−
aa
aa
3/2
23
2
2
=
=
a
a
3
923
3
2333 22121
−
=−=−=−=−⇒=+− aaaaa 3
7
1 −=a
²
3
2
3
71)( xxxp +−=
Interpolação
terça-feira, 27 de maio de 2014
19:00
 Página 19 de Calc Num 
O polinômio passa 
por todos os pontos
y
x
Vandermode
y
x
Lagrange
não há exigência de passar 
em todos os pontos
i
n
i
i
i yxaxp ==∑
=0
)(
igualdade que 
garante a exigênciapolinômio
Lagrange:
)()()()()()()( 2211 xLxfxLxfxLxfxp nn+++= K
∏
≠= −
−
=
n
ikk ki
i
i
xx
xx
xL
1
)(
Exemplo:
Van x f(x) Lagrange
x0 -1 4 x1
x1 0 1 x2
x2 2 -1 x3
²
3
2
3
71)( xxxp +−=
3
2²
3
2
.
121
2
.
01
0
.)(
)()(
31
3
21
2
3
1
1
xxxxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xL
ikk ki
k −
−=
−
−
−
=
−−
−
−−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
= ∏
≠=
2
2²
2
2
.
1
1
20
2
.)1(0
)1(
.)(
32
3
12
1
2
−−
−=
−
−+
=
−
−
−−
−−
=
−
−
−
−
==
xxxxxx
xx
xx
xx
xx
xL
6
²
2
.
3
1
02
0
.)1(2
)1(
.)(
23
2
13
1
3
xxxxxx
xx
xx
xx
xx
xL +=+=
−
−
−−
−−
=
−
−
−
−
==
)()()()()()()( 332211 xLxfxLxfxLxfxP ++=
12²2)(
]612²12[
6
1]²63²316²8[
6
1)(
6
²
2
2²)2²(
3
4
6
²)1(
2
2²1
3
2²4)(
−+−=
−+−=−−−−−+−=
+
−
−−
−−−=




 +−+




 −−
−+




 −
−=
xxxP
xxxxxxxxxP
xxxx
xx
xxxxxx
xP
/6 /6 /6
(mmc)
Interpolação
terça-feira, 27 de maio de 2014
19:30
 Página 20 de Calc Num 
Zero da Função (método da bissecção)•
Erros (aboluto, relativo, percentual) Truncamento / Arredondamento•
Integração Numérica pela regra do trapézio e regra do Trapézio 
repetido, erros.
•
y
x
h
a b
f(x)
Base Maior (B)
Base menor (b)
/ ���
0�12
R ���
0�12 pela regra do trapézio:
/ ���
0�12 	≈ ÁTU		0V	WT	XéZ#V =
ℎ2 �4 + 
 	⇒ 		/ ���
0�
1
2 	≈
 − 	2 	<��
 + ��	
=
)("max
12
³
],[
xfhE
baxT ∈
≤
Erro = \/ ���
0�12 −/ ���
0�
1
2 \ =
[ ]{ })()()(2)()(
2
/)( efdfcfbfafnhdxxfb
a
++++≈∫
)("max
12
³
],[
xfhE
baxT ∈
≤
Exercício:
dxx∫
−
+
4
1
1
Revisão AV2
terça-feira, 3 de junho de 2014
19:00
 Página 21 de Calc Num 
Interpolação
Objetivo: ajustar um polinômio e a partir daí obter f(x) para qualquer x dentro do intervalo [0, -10].
x f(x)
-10 35
-8 22
-6 13
-4 10
-2 1
-1 -2
0 -7
7 pontos
N = 7
Vandermode: o polinômio passa por todos os pontos.
n
nxaxaxaxaaxp +++++= K³²)( 3210 ∑
=
=
n
i
i
i xaxp
0
)(
O grau do polinômio é sempre igual ao no de pontos menos 1. n = N - 1 = 7 - 1 = 6
2)²1()¹1()1()1(
70.0.0.)0(
21
0
0
6210
−=+−+−+−=−
−=++++=
K
K
aaap
aaaap
7 equações e 7 incógnitas:
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
Revisão AV2
sexta-feira, 6 de junho de 2014
13:13
 Página 22 de Calc Num 
Exercício
Em quantas partes deve-se dividir o intervalo [-10] a [+6] para que a integração numérica da função ���
 = ,√B+,	 
nesse intervalo tenha erro menor ou igual a 0,1?
)("max
².12
³
]10,0[
xf
n
hE
x
TR
∈
≤ 1,0≤TRE
5
2
5
2
31
2
1
2
1
)1(
1
4
3)1(
2
3
.
2
1)("
)1(
2
1)1(
2
1)('
)1()(
+
=+=
+−=+−=
+=
−
−−−
−
x
xxf
xxxf
xxf
4
3)("max
]10,0[
=
∈
xf
x
10
1
4
3
.
².12
³10
10010
=
=−=
n
h
²10.
4
3
.
12
³10
n=
4
1
25
4
10
16
10
16
10
²
24
4
===
=
n
n
Dividir o intervalo em 25 partes.
Revisão AV2
sexta-feira, 6 de junho de 2014
13:37
 Página 23 de Calc Num