Aula09_Método de Cholesky

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Método de Cholesky
Cálculo Numérico Computacional
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Método
Teorema: Se a matriz A de um sistema linear é simétrica e positiva definida então ela pode ser escrita como:
 A = G.GT
Esta decomposição também pode ser obtida a partir da decomposição de Cholesky escrevendo A como:
 A = LDU, 
sendo que U possui diagonal unitária.
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Exemplo
A matriz abaixo satisfaz as condições do teorema e pode ser escrita como o produto de L e U conforme mostrado:
Podemos escrever a matriz de Gauss (segunda matriz acima) como o produto:
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Note que na última passagem fatoramos a matriz diagonal em duas matrizes, extraindo a raiz quadrada dos termos da diagonal. Isso é sempre possível fazer quando a matriz é positiva definida.
No final deste processo obtemos a matriz G e a matriz GT a partir da decomposição LU de A. Existe também uma outra forma de fazer esta decomposição, conforme é mostrado no slide seguinte.
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Consideramos que A é o produto de G por GT. E repetimos os coeficientes de g na matriz GT conforme mostra a equação abaixo:
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Exemplo
Achar a decomposição de Cholesky para a matriz A abaixo sabendo que ela é positiva definida.
Note que a matriz A é simétrica. Para verificar que ela é positiva definida devemos mostrar que xT Ax > 0 para todo x. Como o exercício já disse que a matriz é positiva definida, não precisamos verificar essa condição.
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Exemplo (cont.)
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Exemplo (cont.)
Desta forma temos que A = G. GT e G é dada por: