Aula10_Método de Jacobi-Richardson

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Método de Jacobi-Richardson (ou Gauss-Jacobi)
Cálculo Numérico Computacional
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Método
Neste método, o sistema Ax = b é escrito na forma x = Cx + g.
O processo consiste em a partir de uma aproximação inicial x0 calcular x1, x2,..., xn por:
 
xk+1 = Cxk + g.
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Método
Para isso colocamos x1 em função de x2,x3, ...,xn da seguinte forma:
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Método
De maneira análoga, colocamos x2 em função de x1,x3, ...,xn da seguinte forma:
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A partir daí, montamos um processo iterativo dado por:
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Método
xk+1
C
xk
g
As equações escritas na forma matricial ficam:
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Critérios de Parada
Podemos definir vários critérios de parada para o método entre eles:
que é a distância euclidiana entre duas iterações consecutivas ser menor que ɛ.
Um outro critério de parada é dado por:
neste caso consideramos os elementos do vetor xk+1 e os respectivos elementos do vetor xk e consideramos o máximo da diferença entre eles em módulo. Se essa diferença for menor que ɛ paramos o processo.
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Critérios de Parada
Um outro critério é o da distância relativa, dado por:
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Exemplo
Resolver o seguinte sistema linear pelo método de Jacobi-Richardson:
com
com
e com o critério de parada da
distância relativa.
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Exemplo
Inicialmente colocamos o sistema na seguinte forma:
A partir daí começamos a calcular a sequência de soluções.
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Note que neste caso estamos usando o critério da distância relativa.
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A solução do sistema é portanto: