Aula14_Método dos Mínimos Quadrados

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Método dos Mínimos Quadrados
Cálculo Numérico Computacional
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Problema
Dado um conjunto de pontos (x1, y1); (x2,y2); ... (xn,yn) achar a reta y=ax+b que mais se aproxima desse conjunto de pontos.
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Função de Erro
A função y=ax+b avaliada no ponto xi é yi =axi+b. O erro desta aproximação pode ser computado como: ei=yi - yi =axi+b-yi. Este erro pode ser tanto positivo quanto negativo. Nosso objetivo é que o erro total seja minimizado, mas se definirmos o erro total como a soma dos erros:
Poderemos ter uma situação onde o erro E seja zero sem que ele o seja de fato.
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Função de Erro
A função de erro é então definida como:
ou seja, a soma dos erros ao quadrado, por isso o nome do método é método dos mínimos quadrados.
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Minimização
Precisamos achar o mínimo desta função ou seja (a*, b*) tais que E (a*, b*) ≤ E(a,b) para todo (a,b) != (a*, b*). As derivadas parciais são dadas por:
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Fazendo Ea e Eb iguais a zero temos:
(1)
(2)
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A partir da equação 1 temos que:
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Exemplo
Achar a equação da reta que melhor aproxima os pontos (2,1); (4,6)
Obs: A equação desta reta poderia ser obtida usando a equação da reta clássica, sem apelar para métodos numéricos.
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Exemplo