Aula08_Método da Decomposição LU

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Método da Decomposição LU
Cálculo Numérico Computacional
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Fatoração LU
Objetivo: Decompor A como produto de duas matrizes L e U com
L= matriz triangular inferior
U=matriz triangular superior
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Vantagens
Ao mudar o vetor b em Ax=b, o sistema já está escalonado.
Sistema escalonado: É um sistema em que a matriz de coeficientes é uma matriz triangular.
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Método
Seja y = Ux, então:
 L(Ux)=b
 Ly = b
Para resolver Ax=b temos que resolver dois sistemas:
Ly = b 
Ux = y
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Método
Seja um sistema de dimensão 3:
A matriz dos coeficientes é:
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Método
Os multiplicadores da primeira etapa de Gauss são:
Para eliminar x1 da linha: multiplicamos a linha 1 por mi e subtraímos o resultado da linha i.
Os coeficientes aij(0) são alterados para aij(1) 
Definimos:
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Multiplicando-se M(0) por A(0) temos:
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Seja agora:
Multiplicando-se M(1) por A(1) temos:
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Obs: A(2) é triangular superior e M(0) e M(1) são triangulares inferiores.
Teoremas:
A inversa de uma matriz triangular superior é triangular superior.
A inversa de uma matriz triangular inferior é triangular inferior.
O produto de duas matrizes triangulares inferiores é triangular inferior.
O produto de duas matrizes triangulares superiores é triangular superior.
Assim sendo temos:
Chamamos então A de A(0). Desta maneira:
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Exemplo
Resolver o seguinte sistema usando o método da decomposição LU:
Solução:
e
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Temos que resolver dois sistemas:
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