Aula 01 Método das Cargas Unitárias

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Método das Cargas Unitárias
Teoria das Estruturas
Prof. João Augusto Dunck Dalosto
É a particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais, na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário. 
O MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas.
MCU
Por exemplo, temos uma estrutura isostática sujeita a um carregamento qualquer. Desejamos calcular um determinado deslocamento Δ, ou seja, um deslocamento vertical no ponto C.
Exemplo
Pelo MCU, considera-se um outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente ao deslocamento provocado Δ,
A equação geral do MCU:
I
II
III
IV
Em resumo, o cálculo de um deslocamento de uma estrutura isostática feito através do MCU pode ser sistematizado nas seguintes etapas (estrutura elástica-linear sujeita a cargas):
FASE L, quando a estrutura dada é submetida ao carregamento real especificado que produz o deslocamento Δ. Determinam-se os esforços solicitantes devidos ao carregamento real: N, M, V, T.
FASE U, quando aplica-se à estrutura descarregada uma carga unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado e calculam-se os esforços solicitantes virtuais devidos a este novo carregamento: n, m, v, t.
Substituem-se os esforços das fases L e U na expressão do MCU, em seguida integra-se a contribuição de cada esforço ao longo de toda a estrutura e no final somam-se todas as contribuições para a obtenção do deslocamento procurado Δ.
Observação: A contribuição das deformações devidas a alguns esforços solicitantes no cálculo dos deslocamentos pode ser desprezada, em certas circunstâncias, visando reduzir trabalho de cálculo manual. Nesse sentido, o efeito das deformações devidas à força cortante costuma ser desprezado na determinação dos deslocamentos de vigas, pórticos planos e grelhas, por ter em geral uma influência secundária em comparação com as deformações decorrentes do momento fletor. Da mesma forma, a desconsideração da deformação axial das barras devida à força normal na análise de pórticos planos costumava ser adotada.
SIMPLIFICAÇÃO PARA OS CÁLCULOS FEITOS À MÃO:
VIGAS -> Momento e normal
Pórticos -> Momento
Grelha -> Momento
Treliça -> Normal
Considerações sobre a escolha da carga unitária
Cálculo de Deslocamentos Absolutos
a.(1) Deslocamento linear de um ponto (translação)
Neste caso, a carga unitária a ser aplicada é uma força concentrada no ponto considerado, na direção do deslocamento procurado e no sentido positivo considerado para este deslocamento, ou seja, uma carga unitária correspondente ao deslocamento. (Fig. 30)
a.(2) Rotação de uma seção transversal
A carga unitária correspondente é um momento aplicado no ponto em questão. (Fig. 31)
a.(3) Rotação de Corda
Corda é a linha reta que liga dois pontos quaisquer da estrutura. Portanto, uma rotação de corda é a rotação deste segmento em relação à posição inicial e, neste caso, deve-se aplicar na corda um momento unitário por meio de um binário de forças nas extremidades desta corda. (Fig.32)
Em treliças sujeitas apenas a cargas nos nós, as rotações sofridas pelas barras são movimentos de corpo rígido, calculados, portanto, como rotações de cordas.
Exemplo 1:
Calcular o deslocamento vertical do ponto B da estrutura, desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante. EI = 2 x 10^5 kNm2 (constante)
FASE L: estrutura com carregamento real
FASE U: Cálculo dos esforços solicitantes virtuais
Aplicando-se à estrutura uma força unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado (ΔB)
Observar que a carga vertical unitária foi aplicada para baixo conforme sentido positivo assumido para a flecha em B e que a convenção de sinais de m é a mesma utilizada na Fase L.
Na expressão do MCU, as integrais I e IV referem-se a esforços inexistentes (N e T) neste caso, portanto se anulam. A integral III não será calculada pois será desprezado o efeito de da força cortante conforme previsto no início do problema. A expressão reduz-se então a:
O sinal positivo de ΔB indica que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga unitária, isto é, para baixo. Se a carga unitária tivesse sido arbitrada para cima, ΔB resultaria com sinal negativo o que indicaria, também, o sentido para baixo.
Exemplo 2:
Na viga do Exemplo 1, calcular a rotação da seção B, desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante.
Como a estrutura e o carregamento são os mesmos do Exemplo 9.1.1, a
FASE L é a mesma. Portanto,
FASE L:
Como a estrutura e o carregamento são os mesmos do Exemplo 1, a FASE L é a mesma. Portanto,
FASE U:
Como o deslocamento procurado é a rotação em B, a carga unitária correspondente a ser adotada é um momento unitário em B. Adotar-se-á o momento unitário no sentido horário:
Notar que na Fase U a convenção de sinais de momento fletor usada foi a mesma do Exemplo 1. Como foi arbitrado o sentido horário para a carga unitária e θB obtido foi positivo, isto significa que a rotação em B é horária, ou seja, o sentido de θB concorda com o sentido do momento unitário.
Configuração final será:
Exemplo 3:
Calcular o deslocamento vertical do ponto C da viga abaixo, desprezando o efeito das deformações devidas à força cortante. Dado: EI = 2,0 x 10 ^ 5 kNm2 (constante)
Exemplo 4:
Calcular o deslocamento vertical do nó C do pórtico abaixo, considerando efeitos de flexão e deformação axial. Dados: EA = 2,1 x 10^7 kN; EI = 4,375 x 10^5 kNm2
Exemplo 5:
Calcular o deslocamento horizontal do nó D do pórtico abaixo. EI = 2,0 x 10 5 kNm2
(constante)
APLICAR ATIVIDADE AVALIATIVA 1
Exemplo 6:
Calcular o deslocamento vertical e a rotação da extremidade D, em torno do eixo CD, na grelha. Desprezar efeito esforço cortante.
ΔD = 0,0552 m (para baixo)
θD = 0,0094 rad ( no mesmo sentido da carga unitária)
Exemplo 7:
Calcular a rotação relativa entre as barras 1 e 4 da treliça.
Exemplo 8:
Calcular a rotação relativa das seções da articulação do pórtico tri-articulado. E = 2,1 x 10^8 kN/m2. Considerar apenas efeito de flexão. 
Momentos de inércia: I1 = 39727,00 cm^4; I2 = 19062,00 cm^4; I3 = 55962,00 cm^4; 
Áreas: A1= 100 cm^2 A2 = 72,6 cm^2 A3 = 118 cm^2
Exemplo 9:
Calcular o deslocamento vertical no nó G e a rotação da barra 7 da treliça.