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Exercício 8 
Um avião move-se com velocidade de V1 = 971 km/h como mostrado na figura abaixo. A área frontal 
da turbina é A1 = 0,8 m2 e a massa específica do ar que entra por essa seção é ρ1 = 0,736 kg/m3. A 
velocidade média de exaustão dos gases (velocidade do avião mais a velocidade de saída dos gases 
em relação a um referencial fixo no solo) é de V2 = 2021 km/h. A área de exaustão da turbina é A2 = 
0,558 m2 e a massa específica dos gases exauridos é de ρ2 = 0,515 kg/m3. Calcule: 
a) A vazão em massa de combustível para dentro da turbina em kg/h. 
b) As vazões em volume em todas as entradas/saídas em m3/h. 
 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
 
Equações básicas: Equação da conservação de massa com 
VC constante 
d 0
SC
V A
t

 
 
 
Como ρ é constante e adotando velocidade perpendicular às seções e constantes: 
Q VA
 e 
0Q 
. 
m VA
 e 
0m 
. 
 
a) vazão do combustível 
Usamos 
0m 
 e sabemos que o fluido atravessa a SC em 3 pontos (entrada do combustível, 
entrada do ar em 1 e saída de exaustão em 2). Portanto, 
 
saída entrada combustível combustível saída entrada
combustível 2 2 2 1 1 1
3 3
combustível 0,515 0,558 2021 10 0,736 0,80 971 10
m m m m m m
m A V AV
m
 
    
 
       
 
combustível 9100 kg/hm 
 
 
b) vazão em volume na entrada de ar e saída do gás 
3
1 1 1 0,80 971 10Q AV    
3 3
1 776,8 10 m /hQ  
 
3
2 2 2 0,558 2021 10Q A V    
3 3
2 1127,7 10 m /hQ  
 
combustível 2 1Q Q Q  
3 3
combustível 350,9 10 m /hQ  
 
 
 
Exercício 9 
No sistema de distribuição mostrado na figura, 1 m3/s de água são admitidos na entrada. Sabendo 
que a velocidade média na seção 3 é o dobro da velocidade média na seção 2, determine a velocidade 
média em todas as seções transversais. Calcule também as vazões em volume nas saídas 2 e 3. 
 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
 
Equações básicas: Equação da conservação de massa com 
VC constante 
d 0
SC
V A
t

 
 
 
 
Como ρ é constante e adotando velocidade perpendicular às seções e 
constantes: 
Q VA
 e 
0Q 
 
Sabemos que o fluido atravessa a SC em 3 pontos (entrada 1 e saídas 2 
e 3). Portanto, 
1 2 3
1 2 3 2 2 3 3
0 0Q Q Q Q
Q Q Q A V A V
     
   
 
Usando a informação de velocidades nas saídas: 
3 22v v
 
 
22
32
1 2 2 3 3 2 2 3 2 2 22 2
4 4
DD
Q A V A V A V A V V V

     
 
3
1 1 m /sQ 
 
Logo 
22 2 2
32
1 2 2 2 2
0,8 0,5
2 1 2
4 4 4 4
DD
Q V V V V
   
      
 
2 1,1169 m/sV 
 
1 1
1 2 2
1 1
1
4 1 4
Q Q
V
A D 
   

1 0,7854 /sV 
 
3 22 2,2338 m/sV V  3 2,2338 m/sV 
 
2
2
2 2 2 2
4
D
Q A V V

  
3
2=0,5614 m /sQ
 
2
3
3 3 3 3
4
D
Q A V V

  
3
3=0,4386 m /sQ
 
 
 
Exercício 17 
Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e qual a velocidade. 
Dados: 
D1 = 8 cm = 8*10-2 m 
V1 = 3 m/s 
V3 = 5 m/s 
Q2 = 20 l/s = 20*10-3 m3/s 
A3 = 20 cm2 = 20*10-4 m2 
Apistão = 50 cm2 = 50*10-4 m2 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável 
d V
t

 VC
d 0
SC
V A
t

  
 
 
 
Como ρ é constante e adotando velocidade do fluido como constante e perpendicular às seções, a 
segunda parcela da equação torna-se 
d
SC
V A Q VA
t

  

 
 
A primeira parcela da equação também pode ser simplificada 
d V
VC
V
e portanto, 
d V
t

 VC
V
. 
Logo, a versão simplificada para a conservação de massa com VC variável torna-se 
0V Q 
 
Também podemos simplificar o cálculo de 
V
. Se lembrarmos que o volume deslocado pelo pistão é dado 
por 
pistão pistãoV x A
 e a variação de volume (
V
) é a derivada em relação ao tempo, 
 pistão pistãodd
d d
x AV
V
t t
 
 
se Apistão é constante,  pistão
pistão pistão pistão
d
d
x
V A V A V
t
   
 
 
Para este problema, sabemos que o fluido atravessa a SC em 
3 pontos (entrada 2 e saídas 1 e 3). A equação da continuidade 
para VC variável e fluido incompressível é dada por 
pistão pistão 2 3 10 0V Q V A Q Q Q      
 
Cálculo das vazões: 
   2 3 21 1 4 5,03 10 mA D
 
   2 31 1 1 1,51 10 m /sQ AV
 e 
   2 33 3 3 1,0 10 m /sQ A V
 
Logo 
2 2 2
pistão pistão 2,0 10 1,0 10 1,51 10 0V A
        
 
3 3
pistão 4
pistão
5,08 10 5,08 10
50 10
V
A
 

   
  

pistão 1,02 m/sV  
 
Como 
V
 é negativo, significa que o pistão está diminuindo o VC. Portanto, ele está subindo. 
Exercício 18 
A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios R1 = 3 cm e R2 = 4 cm, dentro dos quais passa 
óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno tem velocidade V1 = 1,15 m/s. Esse fluxo divide-
se em Q2 e Q3 e QR, que é o fluxo de retorno no tubo maior. O pistão desloca-se com uma velocidade 
de 3,8 cm/s e tem uma área de 78,5 cm2. A massa específica do óleo é 800 kg/m3 e após 60 s a leitura 
na balança é de 14,4 kg. Pede-se: 
 
a) A vazão Q1 no tubo interno 
b) A vazão de retorno, QR 
c) A velocidade média no turno de retorno 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável 
d V
t

 VC
d 0
SC
V A
t

  
 
 
a) Vazão na entrada 1: 
   2 3 21 1 2,83 10 mA R
 
    31 1 1 1,15 2,83 10Q V A
  3 31 3,25 10 m /s 3,25 /sQ
 
 
b) Vazão no retorno: 
vazão na saída 2: 
  

2
14,4
0,24 kg/s
60
m
m
t
 

    4 322
óleo
0,24
3 10 m /s
800
m
Q
 
como Apistão é constante, 
pistão pistãoV A V
 (ver a solução do problema 17). 
2 4 4 33,8 10 78,5 10 2,98 10 m /spistão pistãoV V A
        
 (positivo pois o VC está aumentando) 
Equação da continuidade para VC variável e fluido incompressível 
0V Q 
(ver a solução do problema 17) 
 
Para este problema, o fluido atravessa a SC em 3 
pontos (entrada em 1, saída em 2 e saída no 
retorno do fluido) 
1 2
4 3 4
0
2,98 10 3,25 10 3,0 10 0
R
R
V Q Q Q
Q  
   
      
 
  3 32,65 10 m /s 2,65 /sRQ
 
 
 
c) Velocidade média no retorno: 
   2 3 22 2 5,03 10 mA R
 
 



   
  
3
3
2 1
2,65 10
5,03 2,83 10
R R
R
R
Q Q
V
A A A
1,21 m/sRV
 
Exercício 19 
Uma seringa contém um medicamento cuja densidade relativa é 1,05. O medicamento deve ser 
inserido no paciente a uma taxa de 6 gramas por segundo. Qual deve ser a velocidade do cilindro de 
diâmetro D1 que é necessária para manter esse regime? Considere 
a) Não há vazamento. 
b) Existe uma folga no encaixe que propicia uma perda de 10% da vazão do medicamento (Qvazamento 
na figura). 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Prop. constantes do fluido nas seções 
 
Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável 
d V
t

 VC
d 0
SC
V A
t

  
 
 
Dados: 
vazão na saída 
2m 
 6 g/s = 
36 10kg/s 
densidade do medicamento 
3
água 1,05 1000 1050 kg/mDR     
 
diâmetros 
1D 
20 mm = 0,02 m e 
2D 
0,8 mm = 
48 10
 m 
Áreas das seções transversais 
2
-4 21
1 3,14 10 m
4
D
A

  
 2
-7 22
2 5,03 10 m
4
D
A

  
 
Vazão em volume necessária na seção 2: 
3
6 32
2
6 10
5,71 10 m /s
1050
m
Q 

   
 
A equação de conservação de massa para volume de controle pode ser escrita como (ver problema 
17) 
0V Q 
. 
 
Para este problema, o fluido atravessa a SC em 2 
pontos (saída em 2 e pela folga do encaixe). 
1 2 vazamento0 0V Q V Q Q     
 
 
sendo que    1 1 11
1 1 1 1
d dd
d d d
A x xV
V A AV
t t t
    
 (negativo pois o VC está diminuindo) 
 
a) Não há vazamento, Qvazamento = 0, a velocidade do cilindro é dada por 
6
2
1 1 2 1 4
1
5,71 10
0 0
3,14 10
Q
AV Q V
A



       

 
1 0,018 m/sV 
 . 
 
b) Quando o vazamento não é nulo 
7 3
vazamento 20,1 5,71 10 m /sQ Q
   
 
1 2 vazamento 1 1 2 vazamento0 0V Q Q V A Q Q       
 
6 7
2 vazamento
1 -4
1
5,71 10 5,71 10
3,14 10
Q Q
V
A
    
  

 
1 0,02 m/sV 
. 
A velocidade do cilindro é maior neste segundo caso para compensar o vazamento e manter a vazão 
Q2 inalterado. 
 
Exercício 20 
O foguete da figura tem uma massa inicial de 100 kg de combustível e o queima a uma taxa de 0,5 
kg/s. A boca de exaustão tem uma área de 0,1 m2 e os gases atravessam com uma massa específica 
de 5 kg/m3. Determinar a velocidade de saída dos gases. 
 
Dados: 
m0 = 100 kg 
 = 0,5 kg/s 
A = 0,1 m2 
ρ = 5 kg/m3 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
 
Equações básicas: Equação da conservação de massa com 
VC variável 
d V
t

 VC
d 0
SC
V A
t

  
 
 
A equação de conservação de massa para volume de controle pode ser escrita como (ver problema 
17) 
0V Q 
 ou reescrita para vazão em massa, 
VC 0m m 
, 
sendo 
VCm
 a variação da massa do fluido dentro do VC. Para este problema, 
VC 0m m t 
, 
sendo 
0m
 a massa inicial dentro do VC e 

 a taxa com que essa massa é ejetada. O sinal negativo 
do segundo termo no lado direito da equação se deve ao fato da massa estar diminuindo com o tempo. 
A derivada de 
VCm
 é igual a 
VC
VC
d
0,5 kg/s
d
m
m
t
    
 
 
 
O fluido atravessa a SC em somente um ponto, na boca de exaustão do foguete. 
Portanto, 
VC 0 0m m VA V
A
         
 
0,5
5 0,1
V
A


  

1 m/sV 

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