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Exercício 8 Um avião move-se com velocidade de V1 = 971 km/h como mostrado na figura abaixo. A área frontal da turbina é A1 = 0,8 m2 e a massa específica do ar que entra por essa seção é ρ1 = 0,736 kg/m3. A velocidade média de exaustão dos gases (velocidade do avião mais a velocidade de saída dos gases em relação a um referencial fixo no solo) é de V2 = 2021 km/h. A área de exaustão da turbina é A2 = 0,558 m2 e a massa específica dos gases exauridos é de ρ2 = 0,515 kg/m3. Calcule: a) A vazão em massa de combustível para dentro da turbina em kg/h. b) As vazões em volume em todas as entradas/saídas em m3/h. Solução Hipóteses: Fluido incompressível Escoamento permanente Propriedades constantes do fluido nas seções Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC constante d 0 SC V A t Como ρ é constante e adotando velocidade perpendicular às seções e constantes: Q VA e 0Q . m VA e 0m . a) vazão do combustível Usamos 0m e sabemos que o fluido atravessa a SC em 3 pontos (entrada do combustível, entrada do ar em 1 e saída de exaustão em 2). Portanto, saída entrada combustível combustível saída entrada combustível 2 2 2 1 1 1 3 3 combustível 0,515 0,558 2021 10 0,736 0,80 971 10 m m m m m m m A V AV m combustível 9100 kg/hm b) vazão em volume na entrada de ar e saída do gás 3 1 1 1 0,80 971 10Q AV 3 3 1 776,8 10 m /hQ 3 2 2 2 0,558 2021 10Q A V 3 3 2 1127,7 10 m /hQ combustível 2 1Q Q Q 3 3 combustível 350,9 10 m /hQ Exercício 9 No sistema de distribuição mostrado na figura, 1 m3/s de água são admitidos na entrada. Sabendo que a velocidade média na seção 3 é o dobro da velocidade média na seção 2, determine a velocidade média em todas as seções transversais. Calcule também as vazões em volume nas saídas 2 e 3. Solução Hipóteses: Fluido incompressível Escoamento permanente Propriedades constantes do fluido nas seções Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC constante d 0 SC V A t Como ρ é constante e adotando velocidade perpendicular às seções e constantes: Q VA e 0Q Sabemos que o fluido atravessa a SC em 3 pontos (entrada 1 e saídas 2 e 3). Portanto, 1 2 3 1 2 3 2 2 3 3 0 0Q Q Q Q Q Q Q A V A V Usando a informação de velocidades nas saídas: 3 22v v 22 32 1 2 2 3 3 2 2 3 2 2 22 2 4 4 DD Q A V A V A V A V V V 3 1 1 m /sQ Logo 22 2 2 32 1 2 2 2 2 0,8 0,5 2 1 2 4 4 4 4 DD Q V V V V 2 1,1169 m/sV 1 1 1 2 2 1 1 1 4 1 4 Q Q V A D 1 0,7854 /sV 3 22 2,2338 m/sV V 3 2,2338 m/sV 2 2 2 2 2 2 4 D Q A V V 3 2=0,5614 m /sQ 2 3 3 3 3 3 4 D Q A V V 3 3=0,4386 m /sQ Exercício 17 Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e qual a velocidade. Dados: D1 = 8 cm = 8*10-2 m V1 = 3 m/s V3 = 5 m/s Q2 = 20 l/s = 20*10-3 m3/s A3 = 20 cm2 = 20*10-4 m2 Apistão = 50 cm2 = 50*10-4 m2 Solução Hipóteses: Fluido incompressível Escoamento permanente Propriedades constantes do fluido nas seções Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável d V t VC d 0 SC V A t Como ρ é constante e adotando velocidade do fluido como constante e perpendicular às seções, a segunda parcela da equação torna-se d SC V A Q VA t A primeira parcela da equação também pode ser simplificada d V VC V e portanto, d V t VC V . Logo, a versão simplificada para a conservação de massa com VC variável torna-se 0V Q Também podemos simplificar o cálculo de V . Se lembrarmos que o volume deslocado pelo pistão é dado por pistão pistãoV x A e a variação de volume ( V ) é a derivada em relação ao tempo, pistão pistãodd d d x AV V t t se Apistão é constante, pistão pistão pistão pistão d d x V A V A V t Para este problema, sabemos que o fluido atravessa a SC em 3 pontos (entrada 2 e saídas 1 e 3). A equação da continuidade para VC variável e fluido incompressível é dada por pistão pistão 2 3 10 0V Q V A Q Q Q Cálculo das vazões: 2 3 21 1 4 5,03 10 mA D 2 31 1 1 1,51 10 m /sQ AV e 2 33 3 3 1,0 10 m /sQ A V Logo 2 2 2 pistão pistão 2,0 10 1,0 10 1,51 10 0V A 3 3 pistão 4 pistão 5,08 10 5,08 10 50 10 V A pistão 1,02 m/sV Como V é negativo, significa que o pistão está diminuindo o VC. Portanto, ele está subindo. Exercício 18 A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios R1 = 3 cm e R2 = 4 cm, dentro dos quais passa óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno tem velocidade V1 = 1,15 m/s. Esse fluxo divide- se em Q2 e Q3 e QR, que é o fluxo de retorno no tubo maior. O pistão desloca-se com uma velocidade de 3,8 cm/s e tem uma área de 78,5 cm2. A massa específica do óleo é 800 kg/m3 e após 60 s a leitura na balança é de 14,4 kg. Pede-se: a) A vazão Q1 no tubo interno b) A vazão de retorno, QR c) A velocidade média no turno de retorno Solução Hipóteses: Fluido incompressível Escoamento permanente Propriedades constantes do fluido nas seções Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável d V t VC d 0 SC V A t a) Vazão na entrada 1: 2 3 21 1 2,83 10 mA R 31 1 1 1,15 2,83 10Q V A 3 31 3,25 10 m /s 3,25 /sQ b) Vazão no retorno: vazão na saída 2: 2 14,4 0,24 kg/s 60 m m t 4 322 óleo 0,24 3 10 m /s 800 m Q como Apistão é constante, pistão pistãoV A V (ver a solução do problema 17). 2 4 4 33,8 10 78,5 10 2,98 10 m /spistão pistãoV V A (positivo pois o VC está aumentando) Equação da continuidade para VC variável e fluido incompressível 0V Q (ver a solução do problema 17) Para este problema, o fluido atravessa a SC em 3 pontos (entrada em 1, saída em 2 e saída no retorno do fluido) 1 2 4 3 4 0 2,98 10 3,25 10 3,0 10 0 R R V Q Q Q Q 3 32,65 10 m /s 2,65 /sRQ c) Velocidade média no retorno: 2 3 22 2 5,03 10 mA R 3 3 2 1 2,65 10 5,03 2,83 10 R R R R Q Q V A A A 1,21 m/sRV Exercício 19 Uma seringa contém um medicamento cuja densidade relativa é 1,05. O medicamento deve ser inserido no paciente a uma taxa de 6 gramas por segundo. Qual deve ser a velocidade do cilindro de diâmetro D1 que é necessária para manter esse regime? Considere a) Não há vazamento. b) Existe uma folga no encaixe que propicia uma perda de 10% da vazão do medicamento (Qvazamento na figura). Solução Hipóteses: Fluido incompressível Escoamento permanente Prop. constantes do fluido nas seções Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável d V t VC d 0 SC V A t Dados: vazão na saída 2m 6 g/s = 36 10kg/s densidade do medicamento 3 água 1,05 1000 1050 kg/mDR diâmetros 1D 20 mm = 0,02 m e 2D 0,8 mm = 48 10 m Áreas das seções transversais 2 -4 21 1 3,14 10 m 4 D A 2 -7 22 2 5,03 10 m 4 D A Vazão em volume necessária na seção 2: 3 6 32 2 6 10 5,71 10 m /s 1050 m Q A equação de conservação de massa para volume de controle pode ser escrita como (ver problema 17) 0V Q . Para este problema, o fluido atravessa a SC em 2 pontos (saída em 2 e pela folga do encaixe). 1 2 vazamento0 0V Q V Q Q sendo que 1 1 11 1 1 1 1 d dd d d d A x xV V A AV t t t (negativo pois o VC está diminuindo) a) Não há vazamento, Qvazamento = 0, a velocidade do cilindro é dada por 6 2 1 1 2 1 4 1 5,71 10 0 0 3,14 10 Q AV Q V A 1 0,018 m/sV . b) Quando o vazamento não é nulo 7 3 vazamento 20,1 5,71 10 m /sQ Q 1 2 vazamento 1 1 2 vazamento0 0V Q Q V A Q Q 6 7 2 vazamento 1 -4 1 5,71 10 5,71 10 3,14 10 Q Q V A 1 0,02 m/sV . A velocidade do cilindro é maior neste segundo caso para compensar o vazamento e manter a vazão Q2 inalterado. Exercício 20 O foguete da figura tem uma massa inicial de 100 kg de combustível e o queima a uma taxa de 0,5 kg/s. A boca de exaustão tem uma área de 0,1 m2 e os gases atravessam com uma massa específica de 5 kg/m3. Determinar a velocidade de saída dos gases. Dados: m0 = 100 kg = 0,5 kg/s A = 0,1 m2 ρ = 5 kg/m3 Solução Hipóteses: Fluido incompressível Escoamento permanente Propriedades constantes do fluido nas seções Equações básicas: Equação da conservação de massa com VC variável d V t VC d 0 SC V A t A equação de conservação de massa para volume de controle pode ser escrita como (ver problema 17) 0V Q ou reescrita para vazão em massa, VC 0m m , sendo VCm a variação da massa do fluido dentro do VC. Para este problema, VC 0m m t , sendo 0m a massa inicial dentro do VC e a taxa com que essa massa é ejetada. O sinal negativo do segundo termo no lado direito da equação se deve ao fato da massa estar diminuindo com o tempo. A derivada de VCm é igual a VC VC d 0,5 kg/s d m m t O fluido atravessa a SC em somente um ponto, na boca de exaustão do foguete. Portanto, VC 0 0m m VA V A 0,5 5 0,1 V A 1 m/sV
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