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4~ Lista de Exercicios - MA-141 - 20/04/06
VETORES NO PLANO E NO ESPAQO
1. Determine a extremidade au a origem do segmento orientado nos seguintes casos:
a) Representa 0 vetor v = (1, -2, 1) e sua origem e 0 ponto P = (1,0,1), isto , queremos urn
vetor com origem no ponto P e que tenha norma, direcao e sentido iguais ao vetor que tern
origem no ponto 0 = (0,0,0) e extremidade no ponto (1, -2,1).
b) Representa 0 vetor v = (-1,0, 1) e sua origem e 0 ponto medic entre os pontos
PI = (1,1,3) e g = (-1,1,1).
c) Representa 0 vetor v = (1,1,1) e sua extremidade e 0 ponto P = (1,1,1). -
2. Verifique se os pontos dados abaixo silo colineares:
a)A=(l,O,l), B=(2,2,0) eC=(0,-2,2)
b) A=(O,l,-l), B=(1,2,0) eC=(0,2,1)
3. Dados os pontos A = (1,0,1), B = (-1,1,1) e C = (0,1,2).
a) Determine 0 ponto D tal que A,B,C e D sejam os vertices consecutivos de urn paralelo-
gramo
b) Determine a ponto media entre A e Ceo ponto medic entre BeD.
4. Demonstre que as diagonais de urn paralelogramo se cortam ao meio (Sugestao: Sejam
MeN os pontos medics das duas diagonais. Mostre M N = (])
5. Demonstre que 0 segmento que une os pontos medics dos lados nao paralelos de urn
trapezio e paralelo as bases e seu comprimento e a media aritrnetica dos comprimentos das
bases.
6. a) Demonstre que nao existe x tal que os vetores v = (x, 2, 3) e u = (x, -2,3) sejam
perpendiculares.
b)Encontre 0 angulo entre os vetores u = (2,1,0) e v = (0,1, -1) e entre os vetores w =
(1,1,1) e z = (0, -2, -2).
7. a) Dado urn triangulo isosceles. Mostre que a mediana relativa a base e a mediatriz
(ie, e perpendicular a base).
b) Mostre que: Se urn triangulo tern d uas medianas iguais entao ele e isosceles.
PRODUTO VETORlAL E PRODUTO MISTO
8. a) Determine, se existir, os valores de x para que 0 vet or v = xi + 6k seja paralelo ao
produto vetorial de w = i + xl + 2k por u = 2i + 1+ 2k
b) Determine .'L para que os pontos A = (x, 1,2), B = (2, -2, -3), C = (5, -1, 1) e D =
(3, -2, -2) sejam coplanares.
9. Encontre 0 volume do paralelepipedo determinado pelos vetores u, v e w nos seguintes
cases:
1
a) Dados os pontos A = (1,3; 4); B = (3,5,3), C = (2,1,6) e D = (2,2,5) tome 1L = AB;
v = AC e w = AD = (1,3,4).
b) U = ; + 3J+ 2k, v = 2;+ J - k e w = ; - 2J+ k.
10. Sejam U e v vetores no espaco. Mostre que
a) (u+v) x (u-v) = 2v xu
b) Se u x v e nao nulo ewe um vetor qualquer no espaco entao existern numeros reais a, b
e e tal que w = a(u x v) + bu + ev.
e) Se u x v e nao nulo e u e ortogonal a v entao u x (u x v) e paralelo a v.
11. Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmacoes:
a) Se u, v e w sao vetores no espaco, com v nao nulo e v x u = v x w entao u = w
b) Seu, vewsaovetores no espaco entao: 17.L.(vxw) 1=1v.(uxw) 1=1w.(vxu) 1=1v.(wxu) 1
e) Se u, v e w sao vetores no espaco entao u x (v x w) = (u x v) x w.
d) Se u, v e w sao vetores no espaco, u e nao nulo e u x v = u x w = a entao v x w = O.
RETAS E PLANOS NO ESPAc;O
12. Para cada urn dos casos abaixo encontre equacoes parametricas e equacoes simetricas
para a reta r:
a) Areta r passa pelos pontos A = (1,0,1) e B = (2,3,1).
b) Areta r tem vetor diretor v = (1,1, -1) e passa pelo ponto Po = (0,1,7).
e) Areta r passa pelo ponto Po = (1, -1,1), e paralela a reta I : x-I = y = 2z;2 e ortogonal
ao eixo z .
d) Areta r e perpendicular ao plano 2x - y + 2z = 4 e passa pelo ponto de intersecao das
retas i, e l2 dadas por:
{
X = t
lr: y=2+t
z = 1+t
e
{
X = -1 + 28
l2 : y = 1+ 8 ,
z=o
, tcIR
e) Areta rea intersecao dos planos x + y + 2z = 1 e 2x - y + z = 2.
13. Para cada par de retas r e l abaixo encontre In r. Enos casos em que a intersecao
e vazia decida se elas sao paralelas ou reversas.
a) r . x-2 = y+3 = z+2 e l : { 3x + 2y + z = -2
. 4 -1 3 ':1: - y + 2z = 1
b) r' :z:+1 = y+4 = z-2. 2 -5 3 I . :z:-3 = y+14 = z-8. 2 5 -3e
{
3:7: - y - z = °c r') . 8x - 2y - 3z = -1 {X - 3y + z =-3l : 3 5'x-y-z=-
14. Em cada urn dos casos abaixo encontre a equacao do plano 7r.
2
a) 0 plano 7r passa pelo ponto P = (3,1,2) e tern vetor normal N = (1,2, -3).
b) 0 plano 7r passa pelos pont os A = (0,0,2), B = (2,4,1) e C = (-2,3,3)
c) Tem-se que C = (-5,1,2) E 7r e que 7r e perpendicular a reta que passa pelos pontos
A = (2,2, -4) e B = (7, -1,3).
d) 0 plano 7r e perpendicular an plano x + 3y - Z = 7 e contem os pontos A = (2,0,5) e
B = (0,2, -1).
e) 0 plano 7r e perpendicular a cada urn dos planos x - y - 2z = ° e 2x + y - 4z - 5 = ° e
contem 0 ponto A = (4,0, -2)
15. a) Encontre a distancia do plano tt : 2x + 2y - z = 6 e 0 ponto P = (2,2, -4).
b) Encontre a distancia perpendicular entre os planos (paralelos):
z
4x - 8y - z = 9 e 2x - 4y - "2 = 5
c) Verifique que a reta x-I = z - 2 e y = 3 e paralela ao plano x + 2y - z = 3 e encontre
a distancia perpendicular entre eles.
16. a) Sejam r : a reta x-I = Y = z e A, B os pontos A = (1,1,1) e B = (0,0,1).
Encontre 0 ponto de r eqiiidistante de A e B.
b) Dados 0 plano x - y + z = 1 eo ponto P = (1,0,1). Encontre 0 ponto Q que e simetrico
a P em relacao an plano dado.
{
X +y + 2z = 41'7. Sejam P = (a, b, c) urn ponto no espaco era reta . 2 5 . Para cada
x- y+z=
par, nao nulo, de mimeros reais (m, n) considere 0 plano
7r(m,n) : (m + n)x + (m - 2n)y + (2m + n)z = 4m + 5n
Mestre que: PEr se e somente se P E 7r(m,n), para todo par nao nulo (m, n).
18. Dados os dois pontos A = (Xl, yl, Z1) e B = (X2' Y2, Z2), mostre que 0 lugar geometrico
dos pontos do espaco que eqiiidistam de A e B e urn plano que passa pelo ponto medio de
A e Bee perpendicular a reta que contem A e B.
19. Considere as retas r e l dadas por:
r: x = 0, y = 2 + t e z = 1 + t l: x - 2 = z + 1 e y = 3.
a) Mestre que r e l sao reversas.
b) Encontre os planes 7r e a tais que: r C 7r, I Cae 7r e paralelo a a.
c) Encontre a distancia entre os planes 7r e a do item anterior.
d) Encontre P em r e Q em I tais que a reta que passa por P e Q seja perpendicular are
al.
20. Considere os planos a : .J; - y + z - 3 = ° e fJ : 2m2x - (m + l)y + 2z = 0.
a) Determine m, em cada caso, para que as planos a e fJ sejam: paralelos; concorrentes e
concorrentes ortogonais.
b) Para m = -1 encontre a equacao da reta intersecao entre a e fJ·
3
/1 z: t», J..; ~)
M + r: z: (-1/ J. J 3) .
1/)
Oti -r if -::::OJ;
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