MICRO I 2017 2 (Aula 13 Escolha Intertemporal)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 13 
 
 
 
ESCOLHA INTERTEMPORAL 
 
 
 
Este modelo simples de dois períodos estuda a escolha do consumidor para alocar 
sua renda entre o consumo presente e o consumo futuro. 
 
 
Modelo Estático Simples com 2 Períodos 
 
Seja um consumidor que escolhe consumir a cesta de bens (𝑐1, 𝑐2), onde: 
𝑐1 é o consumo de bens (bem composto) no período 1 (inicial); e, 
𝑐2 é o consumo de bens (bem composto) no período 2 (final) 
𝑈(𝑐1, 𝑐2), é a sua função utilidade, 
𝑠, a poupança no período 1 (única forma de transferir renda para o período 2); 
𝑟, a taxa de juros praticada pelo sistema financeiro (poupança e empréstimos); 
(m1, m2) são as dotações de renda monetária do consumidor em cada período. 
 
O consumo em cada período pode ser especificado como: 
 
𝑐1 + 𝑠 = 𝑚1 (1) 
 
𝑐2 = 𝑚2 + (1 + 𝑟)𝑠 (2) 
 
Isolando-se s nas equações (1) e (2) e igualando-se os resultados, obtém-se: 
𝑚1 − 𝑐1 =
𝑐2−𝑚2
1+𝑟
 → (1 + 𝑟)(𝑚1 − 𝑐1) = 𝑐2 − 𝑚2 
 
𝑐2 = 𝑚2 + (1 + 𝑟)(𝑚1 − 𝑐1) (3) 
 
Ou, 
 
(1 + 𝑟)𝑐1 + 𝑐2 = (1 + 𝑟)𝑚1 + 𝑚2 (Equação Intertemporal de Valor Futuro) 
𝑐1 +
𝑐2
1+𝑟
= 𝑚1 +
𝑚2
1+𝑟
 (Equação Intertemporal de Valor Presente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Graficamente, 
 
 
 
Em (3), fazendo-se, 
 c2=0, obtém-se o intercepto horizontal, 𝑐1 = 𝑚1 +
𝑚2
1+𝑟
, que representa o valor 
presente da dotação total de renda monetária nos dois períodos. Ou seja, a 
quantidade máxima de dinheiro que o consumidor teria se decidisse adquirir 
todos os bens de consumo no período 1. 
 c1=0, obtém-se o intercepto vertical, 𝑐2 = (1 + 𝑟)𝑚1 + 𝑚2, que representa o valor 
futuro da dotação total de renda monetária nos dois períodos. Ou seja, a 
quantidade máxima de renda monetária que o consumidor teria se decidisse 
adquirir todos os bens de consumo no período 2. 
 
 
O Problema Intertemporal do Consumidor 
 
𝑀𝑎𝑥 𝑈(𝑐1, 𝑐2) 
sujeito a 𝑐2 = 𝑚2 + (1 + 𝑟)(𝑚1 − 𝑐1) 
A solução resulta nas escolhas ótimas de consumo (𝑐1
∗, 𝑐2
∗ ) para os dois períodos 
 
Observe (𝑐1
∗, 𝑐2
∗) em dois casos: 
 
Caso 1: O consumidor é Tomador líquido de empréstimos (𝒄𝟏
∗ > 𝒎𝟏) 
 
 
 
2c
 
1c1
m
2m
do
*
1c
*
2c
 
 3 
 
→ Se (𝑚1 − 𝑐1) < 0, o consumidor recorrerá a empréstimos para viabilizar um nível 
de consumo maior que sua dotação de renda monetária no período 1, sobre os 
quais pagará juros, reduzindo seu consumo no período 2. 
 
 
Caso 2: O consumidor é poupador (ou emprestador) líquido (𝒄𝟏
∗ < 𝒎𝟏) 
 
 
 
 
→ Se (𝑚1 − 𝑐1) > 0, o consumidor consume no período 1 menos que sua dotação 
de renda neste período, gerando poupança que será remunerada pela taxa r, 
permitindo um nível de consumo maior no período 2. 
 
 
Mudanças nas Dotações de Renda 
 
As variações nas dotações de renda (m1, m2), com a taxa de juros (𝑟) constante, 
expandem ou contraem o conjunto orçamentário sem alterar a inclinação da reta 
orçamentária. 
 
Observe também que o consumidor sempre preferirá uma dotação de renda 
monetária maior no período 1 (valor presente), pois poderá gerir melhor seu consumo 
neste período e, assim, obter um consumo maior no período 2. 
 
A figura abaixo ilustra este caso. 
2c
 
1c
 
1m
2m
 
*
1c
*
2c
 
 4 
 
 
 
Mudanças na Taxa de Juros 
 
As mudanças na taxa de juros 𝑟 provoca alterações na inclinação da reta 
orçamentária. Observe que, qualquer que seja a taxa de juros (𝑟), o ponto das 
dotações de renda, (m1, m2) sempre refletirá um possível nível de consumo. 
 
 
 
Nos casos abaixo, suponha uma elevação na taxa de juros. 
 
Usando o princípio da preferência revelada, é possível avaliar a situação do 
consumidor em termos de seu bem-estar após uma variação na taxa de juros. 
 
1. Se, inicialmente, o consumidor for tomador líquido de empréstimos, será 
pior para ele caso permaneça como tomador líquido. 
 
 5 
 
 
2. Se, inicialmente, o consumidor for poupador líquido, será melhor para ele 
permanecer como poupador líquido. 
 
 
Como exercício, analise as situações acima descritas para uma redução da taxa de 
juros. 
 
 
Preferências de Consumo 
 
As curvas de indiferença representam as preferências do consumidor. Seus formatos 
indicam os gostos de consumo do consumidor nos diversos períodos. 
 
 Se o consumidor não se importa entre consumir no presente ou no futuro, sua 
curva de indiferença terá aparência similar a dos bens substitutos perfeitos (TMS 
constante). 
 
 Se o consumidor realiza seu consumo em proporções fixas no presente e no 
futuro, sua curva de indiferença se assemelha àquela dos bens complementares 
perfeitos. 
 
 O mais comum é que tenhamos curvas de indiferença “bem comportadas”, 
onde o consumidor diversifica seu consumo nos dois períodos. A convexidade 
da curva de indiferença nos diz que o consumidor prefere uma quantidade média 
de consumo em cada período do que consumir muito hoje e pouco amanhã e 
vice-versa. A TMS entre o consumo presente e o futuro, portanto, depende de 
sua disposição de se abster ou não de consumir num certo período. 
 
 6 
 
 
 
 
Equação de Slutsky para o Modelo de Escolha Intertemporal 
 
 
A decomposição do efeito total sobre a demanda de consumo do período 1 resultante 
de uma variação na taxa de juros para este modelo intertemporal deve considerar 
além do efeito substituição, o efeito renda-dotação líquido, como ocorre no modelo 
com renda endógena. 
 
A equação de Slutsky para uma variação da taxa de juros pode ser descrita como, 
 
𝜕𝑐1(𝑟, 𝑚1)
𝜕𝑟
=
𝜕𝑐1(𝑟, 𝑈)
𝜕𝑟
+ (𝑚1 − 𝑐1)
𝜕𝑐1(𝑟, 𝑚1)
𝜕𝑚
 
 
 
Análise dos Sinais 
 
Supondo-se o consumo como um bem normal e uma elevação da taxa de juros: 
 
O sinal do efeito substituição, 
𝜕𝑐1(𝑟,𝑈)
𝜕𝑟
, é sempre negativo; 
O sinal do efeito renda-dotação líquido, expresso pelo termo (𝑚1 − 𝑐1)
𝜕𝑐1(𝑟,𝑚1)
𝜕𝑚
, 
dependerá do sinal do termo (𝑚1 − 𝑐1): 
 Se (𝑚1 − 𝑐1) < 0, o efeito renda-dotação líquido será negativo e o sinal do efeito 
total também será negativo. Significa que um aumento da taxa de juros reduz o 
consumo presente, ou seja, fica mais caro consumir no período 1 (custo de 
oportunidade aumenta). 
 Se 
)( 11 cm 
>0, o efeito renda-dotação líquido será positivo e o sinal do efeito total 
será ambíguo, valendo o sinal do efeito mais significativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
O Modelo de Escolha Intertemporal com Inflação 
 
 
Normalize o preço do consumo presente (atual) em 1 e, chame de p2 o preço do 
consumo futuro. 
 
Assuma que a dotação de dinheiro é medida em unidades de bens de consumo para 
que possamos expressar o valor monetário futuro como p2m2. 
 
Assim, a quantidade de dinheiro que o consumidor terá para gastar no período 2 
será: 
 
))(1( 112222 cmrmpcp 
 (1) 
 
a quantidade de consumo disponível no período 2 será: 
)(
1
11
2
22 cm
p
r
mc 


 (2) 
Incluindo-se a taxa de inflação, 

, no preço do período 2 e lembrando que p1=1, 
podemos escrever: 
12p
 (3) 
 
 
Substituindo-se (3) em (2), 
)(
1
1
1122 cm
r
mc 




 (4) 
 
Fazendo-se 

= 


1
1 r
, a taxa de juros real, a restrição orçamentária torna-se, 
))(1( 1122 cmmc  
 (5) 
 
A equação (5) mostra quanto de consumo adicional pode ser obtido no período 2 se 
abrirmos mão de alguma quantidade de consumo no período 1. 
 
Relacionando-se a taxa de juros real (

) com a taxa nominal (r) e com a taxa de 
inflação (

), obtém-se: 
 









1
1
1
1 rr
 
 
Se a taxa de inflação for baixa, pode-se fazer 
0
, e então, 
 
  r
 
 
Ou seja, a taxa real de juros é aproximadamente igual à diferença entre a taxa de 
juros nominal e a taxa de inflação. 
 
É claro que sempre fazemos planos de consumo olhando para o futuro. Geralmente 
conhecemos a taxa de juros nominal para o período seguinte, mas não conhecemos 
 8 
a taxa de inflação. Assim a taxa real de juros é tida como a taxa atual de juros menos 
a inflação esperada. 
 
 
Valor Presente para “n” períodos 
 
No caso de uma taxa de juros constantes, a restrição orçamentária para 𝑛 períodos 
é dada por, 
 
𝑐1 +
𝑐2
(1 + 𝑟)
+
𝑐3
(1 + 𝑟)2
+ ⋯ +
𝑐𝑛
(1 + 𝑟)𝑛−1
= 𝑚1 +
𝑚2
(1 + 𝑟)
+
𝑚3
(1 + 𝑟)2
+ ⋯ +
𝑚𝑛
(1 + 𝑟)𝑛−1
 
 
 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2011) Cap. 10 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 14) 
JEHLE & RENY (2001) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Um consumidor encara uma função utilidade intertemporal 𝑢(𝑐1, 𝑐2) = 𝑙𝑛𝑐1 + 𝑙𝑛𝑐2, 
onde 𝑐1 é o consumo no período 1 e, 𝑐2 é o consumo no período 2. Sabendo-se 
que sua renda é de $1000 e de $500 nos períodos 1 e 2, respectivamente, e que 
a taxa de juros de mercado de 5%, determine o valor da poupança deste 
consumidor. 
 
2. Um consumidor encara uma função utilidade Cobb-Douglas 𝑈(𝑐1, 𝑐2) = 𝑐1
𝑎𝑐2
1−𝑎, 
onde 0<a<1 e onde 𝑐1 e 𝑐2 são seus consumos nos períodos 1 e 2, 
respectivamente. Supondo-se que 𝑚1 e 𝑚2 são seus orçamentos nestes dois 
períodos e r é a taxa de juros, pede-se: 
(a) Encontre a expressão funcional da demanda ótima de consumo no primeiro 
período; 
(b) Mostre algebricamente que este consumo é decrescente na taxa de juros; 
(c) Se a=0,5, 𝑚1 = $8000, 𝑚2 = $5000 e r=10%, quanto ele gastará em consumo 
no segundo período? 
 
3. A renda de um indivíduo para este ano é de $20.000 e ele espera ganhar apenas 
$11.000 no próximo ano. Seus bens de consumo custam $1 em cada período. 
Não há inflação. Se ele consumir $15000 no período 1 e pretender consumir 12% 
a mais no período 2, qual será a taxa de juros que ele aceitará aplicar em 
poupança no período 1?