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Flexão Reta x Flexão Oblíqua PROF. ALEXANDRE A. CURY DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL 2015 Revisão ResMat 1 Flexão Reta 2RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Reta Conforme visto em sala de aula, a flexão reta ocorre quando o plano ou eixo de solicitação coincide com um dos eixos principais de inércia. Exemplos: 3RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Seja uma viga biapoiada submetida a flexão pura: x x 4RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Reta Seja uma viga biapoiada, em equilíbrio, submetida a flexão pura: A B C D dyCD dLN )( y d dy d ddy LN LNCD x )( x 5RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF d A L C B N D y raio de curvatura ângulo de flexão Flexão Reta S z d A L C B N D y y L N Mz y x Pela Lei de Hooke, tem-se: y EE xx z y L N Mz y E y E Sabemos que: dSdF x S S S 6RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF ydFdM z Flexão Reta Sabemos que: dS y EdSdF x S dS y EF Como a viga está em equilíbrio, 0F Assim, 0 S dS y E 0 S ydS E Como E não pode ser nulo e não pode ser infinito, tem-se: 0 S ydS Momento estático 0 SyydS S ydS dS ydS y S S S S 0y A LN passa pelo CG da seção! 7RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Reta Sabemos que: dFydM z Sendo: Assim, z S IdSy 2 Da Lei de Hooke, tínhamos que: dS y EdF Tem-se: S zz dS y EyMdS y EydM S z dSy E M 2 Mas Logo, zz I E M E y y E xx Finalmente, tem-se: z z I yM x 8RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Reta Flexão Oblíqua 9RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Conforme visto em sala de aula, a flexão oblíqua ocorre quando o plano ou eixo de solicitação NÃO coincide com um dos eixos principais de inércia. Exemplos: 10RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF y z y z Ocorrências na prática: 11RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Carregamento nas “terças” de um telhado Montagem incorreta de uma viga (viga montada com 1º de inclinação) Flexão Oblíqua S S M Seja uma seção transversal qualquer: u v u distância de um ponto genérico P à LN v distância de um ponto genérico P ao eixo de solicitação SS Extrapolando a dedução feita para a flexão reta, tem-se que: 0u n n I uM x Mnmomento fletor projetado sobre a LN In momento de inércia em relação à LN dFudM n S n dSu E M 2 dS u EdF Flexão Reta Flexão Oblíqua dS y EdF 0y A LN também passa pelo CG da seção! dFydM z 12RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF S z dSy E M 2 z z I yM x Flexão Oblíqua S S E se quiséssemos calcular o momento em relação ao eixo de solicitação SS? u v M dS u EvdFvdM SS dSvu E M S SS )( Mas Mss = 0! Assim, 0)( ns S IdSvu Conclusão: O produto de inércia da área da seção transversal em relação à LN e ao eixo de solicitação SS é nulo! De que isso servirá? Veremos mais adiante... 13RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Como determinar a posição da LN? Sejam z e y eixos principais de inércia. v u n n s s a b z y z y a ângulo que o eixo de solicitação faz com o eixo principal de inércia z b ângulo que a LN faz com o eixo principal de inércia z a a z sena z sena y cosa b b z senb y cosb y cosb v = y cosa z sena u = z senb y cosb A transformação de coordenadas fica, então: 14RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Vimos que o produto de inércia em relação ao eixo de solicitação ss e à LN era nulo. Assim,0nsI SS ns dSyzzyvudSI )cossin)(sincos( bbaa S ns dSzyzyyzI )cossinsinsincoscossincos( 22 babababa Como os eixos y e z são principais de inércia, a expressão acima simplifica-se: 0sinsincoscos baba yzns III Finalmente, determina-se a inclinação da LN: y z I I ba ba coscos sinsin y z I I ba tantan Casos particulares! 15RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Usando a transformação de coordenadas obtida anteriormente, podemos reescrever a expressão: n n I uM x SS n dSyzdSuI 22 )cossin( bb S n dSyzyzI )coscossin2sin( 2222 bbbb bbb 22 cos2sinsin zzyyn IIII Se os eixos y e z forem os principais de inércia, a expressão simplifica-se: bb 22 cossin zyn III 16RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua A expressão obtida anteriormente para calcular as tensões normais na flexão oblíqua é direta, mas nem sempre é a mais prática. O ideal seria reescrevê-la em função de eixos que conhecemos... n n I uM x S S u v M z y L N Mz S S z y S S My L N Esta situação só é verdadeira se z e y eixos forem principais de inércia! E se não forem? 17RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Para haver equilíbrio das forças internas e externas, devemos ter: 18RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Assumindo que as tensões normais se distribuem ao longo de plano z-y da seção transversal da peça, podemos escrever: Temos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas (a e b) para resolver: Resolvendo o sistema, chegamos às soluções: 19RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Substituindo os valores de a e b na equação , vem: A expressão acima permite calcular o valor da tensão normal em qualquer ponto da seção transversal, sendo conhecidos os valores dos momentos de inércia, do produto de inércia e dos momentos fletores projetados sobre os eixos baricêntricos (não necessariamente principais de inércia!!) OBS: As coordenadas dos pontos analisados também são descritas em relação aos eixos baricêntricos! 20RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua Caso particular: Caso os eixos baricêntricos sejam, também, os principais de inércia, a expressão anterior simplifica-se: Isto acontece, pois o produto de inércia da seção em relação aos eixos principais de inércia é sempre nulo! E por que o sinal negativo da 2ª parcela? Devido à convenção dos eixos y e z que adotamos neste curso... 21RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua • Os slides apresentados foram livremente baseados nas Notas de Aula do prof. Elson Toledo – MAC/UFJF • Algumas figuras, fotos e equações presentes nos slides foram retiradas do material do prof. Leonardo Goliatt – MAC/UFJF 22RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF Flexão Oblíqua
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