Flexão Reta Oblíqua

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Flexão Reta x Flexão Oblíqua
PROF. ALEXANDRE A. CURY
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL
2015
Revisão ResMat 1
Flexão Reta
2RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Flexão Reta
Conforme visto em sala de aula, a flexão reta ocorre quando o plano ou eixo de solicitação coincide com um dos eixos
principais de inércia.
Exemplos:
3RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Seja uma viga biapoiada submetida a flexão pura:
x x
4RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Flexão Reta
Seja uma viga biapoiada, em equilíbrio, submetida a flexão pura:
A B
C D 

dyCD
dLN


)( 


 y
d
dy
d
ddy
LN
LNCD
x 








)(
x
5RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
d
A
L
C
B
N
D

y
raio de curvatura ângulo de flexão
Flexão Reta
S
z d
A
L
C
B
N
D

y
y
L N
Mz


y
x 
Pela Lei de Hooke, tem-se:


y
EE xx 
z
y
L N
Mz

y
E

y
E
Sabemos que:
dSdF x
S
S
S
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ydFdM z 
Flexão Reta
Sabemos que:
dS
y
EdSdF x 
 
S
dS
y
EF

Como a viga está em equilíbrio, 
0F
Assim,
0
S
dS
y
E

0
S
ydS
E

Como E não pode ser nulo e  não pode ser infinito, tem-se:
0
S
ydS
Momento estático
0  



SyydS
S
ydS
dS
ydS
y
S
S
S
S
0y
A LN passa pelo CG da seção!
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Flexão Reta
Sabemos que: dFydM z Sendo: 
Assim,
z
S
IdSy 
2
Da Lei de Hooke, tínhamos que:
dS
y
EdF


Tem-se: 
 
S
zz dS
y
EyMdS
y
EydM  
S
z dSy
E
M 2 

Mas Logo,
zz I
E
M

 



 E
y
y
E xx  
Finalmente, tem-se:
z
z
I
yM
x 
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Flexão Reta
Flexão Oblíqua
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Flexão Oblíqua
Conforme visto em sala de aula, a flexão oblíqua ocorre quando o plano ou eixo de solicitação NÃO coincide com um dos eixos
principais de inércia.
Exemplos:
10RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
y
z
y
z
Ocorrências na prática:
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Carregamento nas “terças” de um
telhado
Montagem incorreta de uma viga
(viga montada com 1º de inclinação)
Flexão Oblíqua
S
S
M
Seja uma seção transversal qualquer:
u
v
u  distância de um ponto 
genérico P à LN
v distância de um ponto 
genérico P ao eixo de solicitação 
SS
Extrapolando a dedução feita para a flexão reta, tem-se que:
0u
n
n
I
uM
x 
Mnmomento fletor projetado sobre a LN
In momento de inércia em relação à LN
dFudM n 

S
n dSu
E
M 2 

dS
u
EdF


Flexão Reta Flexão Oblíqua
dS
y
EdF


0y
A LN também passa pelo CG da seção! dFydM z 
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
S
z dSy
E
M 2 

z
z
I
yM
x 
Flexão Oblíqua
S
S
E se quiséssemos calcular o momento em relação ao eixo de solicitação SS? 
u
v
M
dS
u
EvdFvdM SS 
 dSvu
E
M
S
SS )(  
Mas Mss = 0! Assim,
0)(  ns
S
IdSvu
Conclusão: O produto de inércia da área da seção transversal em relação à LN e ao eixo de solicitação SS é nulo! 
De que isso servirá? Veremos mais adiante...
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Flexão Oblíqua
Como determinar a posição da LN? Sejam z e y eixos principais de inércia.
v
u
n
n
s
s
a
b
z
y
z
y
a  ângulo que o eixo de 
solicitação faz com o eixo principal 
de inércia z
b  ângulo que a LN faz com o eixo 
principal de inércia z
a
a
z sena
z sena
y cosa
b
b
z senb
y cosb
y cosb
v = y cosa  z sena
u = z senb  y cosb
A transformação de coordenadas fica, então:
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Flexão Oblíqua
Vimos que o produto de inércia em relação ao eixo de solicitação ss e à LN era nulo. Assim,0nsI
 
SS
ns dSyzzyvudSI )cossin)(sincos( bbaa 
S
ns dSzyzyyzI )cossinsinsincoscossincos(
22 babababa
Como os eixos y e z são principais de inércia, a expressão acima simplifica-se:
0sinsincoscos  baba yzns III
Finalmente, determina-se a inclinação da LN:
y
z
I
I

ba
ba
coscos
sinsin
y
z
I
I
ba tantan
Casos particulares!
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Flexão Oblíqua
Usando a transformação de coordenadas obtida anteriormente, podemos reescrever a expressão: n
n
I
uM
x   
SS
n dSyzdSuI
22 )cossin( bb
 
S
n dSyzyzI )coscossin2sin(
2222 bbbb
bbb 22 cos2sinsin zzyyn IIII 
Se os eixos y e z forem os principais de inércia, a expressão simplifica-se:
bb 22 cossin zyn III 
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Flexão Oblíqua
A expressão obtida anteriormente para calcular as tensões normais na flexão oblíqua é direta, mas nem sempre 
é a mais prática. O ideal seria reescrevê-la em função de eixos que conhecemos...
n
n
I
uM
x S
S
u
v
M
z
y
L N
Mz
S
S
z
y
S S
My
L
N
Esta situação só é verdadeira se z e y eixos forem principais de inércia!
E se não forem?
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Flexão Oblíqua
Para haver equilíbrio das forças internas e externas, devemos ter:
18RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Flexão Oblíqua
Assumindo que as tensões normais se distribuem ao longo de plano z-y da seção transversal da peça, podemos
escrever:
Temos, assim, um sistema de duas equações e duas incógnitas (a e b) para resolver:
Resolvendo o sistema, chegamos às soluções:
19RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Flexão Oblíqua
Substituindo os valores de a e b na equação , vem:
A expressão acima permite calcular o valor da tensão normal em qualquer ponto da seção
transversal, sendo conhecidos os valores dos momentos de inércia, do produto de inércia e
dos momentos fletores projetados sobre os eixos baricêntricos (não necessariamente
principais de inércia!!)
OBS: As coordenadas dos pontos analisados também são descritas em relação aos eixos
baricêntricos!
20RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Flexão Oblíqua
Caso particular: Caso os eixos baricêntricos sejam, também, os principais de inércia, a
expressão anterior simplifica-se:
Isto acontece, pois o produto de inércia da seção em relação aos eixos principais de inércia 
é sempre nulo!
E por que o sinal negativo da 2ª parcela?
Devido à convenção dos eixos y e z que adotamos neste curso...
21RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 - PROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF
Flexão Oblíqua
• Os slides apresentados foram livremente baseados nas Notas de Aula do prof. Elson
Toledo – MAC/UFJF
• Algumas figuras, fotos e equações presentes nos slides foram retiradas do material do 
prof. Leonardo Goliatt – MAC/UFJF
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Flexão Oblíqua