Notas de aula 1ºTVC

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Notas de Aulas de Ca´lculo III
Prof. Sandro Rodrigues Mazorche
1o semestre de 2015
Turmas: A e C
Cap´ıtulo 1: Integral Dupla
1.1 Definic¸a˜o:
Vamos considerar uma func¸a˜o z = f(x, y) definida em uma regia˜o fechada
e limitada R do plano XoY .
Considere Rk ⊂ R. Em cada retaˆngulo escolhendo (xk, yk) ∈ Rk.
Soma de Riemann de z = f(x, y) sobre R e´ dada por,
n∑
k=1
f(xk, yk)∆Ak onde ∆Ak = ∆xk∆yk e´ a a´rea de Rk.
Tomando Rk cada vez menores, de tal forma que a diagonal ma´xima dos
retaˆngulos Rk tende a zero quando n→∞.
Nessa situac¸a˜o, se lim
n→∞
n∑
k=1
f(xk, yk)∆Ak existe, ele e´ chamado
integral dupla de f(x,y) sobre a regia˜o R.
Denotamos
∫ ∫
R
f(x, y)dA ou
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy
Observac¸o˜es:
a) A regia˜o R e´ chamada regia˜o de integrac¸a˜o.
b) O limite deve ser independente da escolha das retas que subdividem
a regia˜o R e dos pontos.
c) A existeˆncia do limite depende da func¸a˜o f e tambe´m de R. No curso
vamos supor que R e´ formado por um nu´mero finitos de arcos de curvas
‘suaves’ e que f e´ cont´ınua sobre R.
1.2 Interpretac¸a˜o Geomeˆtrica da Integral Dupla:
Quando f(x, y) > 0, a
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy nos da´ o volume do so´lido delimi-
tado superiormente pelo gra´fico de z = f(x, y), inferiormente pela regia˜o
R e lateralmente pelo ‘cilindro’ vertical cuja base e´ o contorno de R.
1.3 Propriedades da Integral Dupla:
a)
∫ ∫
R
Kf(x, y)dA = K
∫ ∫
R
f(x, y)dA, para todo K real.
b)
∫ ∫
R
[f(x, y)± g(x, y)] dA =
∫ ∫
R
f(x, y)dA±
∫ ∫
R
g(x, y)dA.
c) Se f(x, y) ≥ g(x, y) em R, enta˜o
∫ ∫
R
f(x, y)dA ≥
∫ ∫
R
g(x, y)dA.
d) Se f(x, y) ≥ 0 em R, enta˜o
∫ ∫
R
f(x, y)dA ≥ 0.
e) Se a regia˜o R e´ composta de suas sub-regio˜es R1 e R2, R = R1 ∪R2 ,
que na˜o te´m pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas
fronteiras, enta˜o
∫ ∫
R
f(x, y)dA =
∫ ∫
R1
f(x, y)dA+
∫ ∫
R2
f(x, y)dA.
Teorema de Fubini: Se a func¸a˜o z = f(x, y) e´ cont´ınua no retaˆngulo
R = [a, b] × [c, d], enta˜o a integral dupla de f sobre R pode ser obtida
atrave´s de integrais iteradas, ou seja:
∫ ∫
R
f(x, y)dA =
∫ b
a
[ ∫ d
c
f(x, y)dy
]
dx =
∫ d
c
[ ∫ b
a
f(x, y)dx
]
dy.
1.4 Ca´lculo da Integral Dupla:
Todas as regio˜es que consideraremos sera˜o de tipo I, de tipo II, ou enta˜o
podera˜o ser divididas num nu´mero finito de sub-regio˜es, cada uma das
quais e´ de tipo I ou II.
Regia˜o do Tipo I: R = {(x, y) ∈ IR2 | a ≤ x ≤ b e f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}
Regia˜o do Tipo II: R = {(x, y) ∈ IR2 | c ≤ y ≤ d e g1(y) ≤ x ≤ g2(y)}
Teorema: Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua num subconjunto
limitado e fechado R ⊂ IR2.
Se R e´ uma regia˜o do Tipo I, enta˜o
∫ ∫
R
f(x, y)dA =
∫ b
a
[∫ f2(x)
f1(x)
f(x, y)dy
]
dx
Se R e´ uma regia˜o do Tipo II, enta˜o
∫ ∫
R
f(x, y)dA =
∫ d
c
[∫ g2(y)
g1(y)
f(x, y)dx
]
dy
as integrais do lado direito das igualdades sa˜o chamadas de integrais
iteradas.
Exemplo 1: Calcular o volume do so´lido delimitado superiormente pelo
gra´fico de z = 4−x−y, inferiormente pela regia˜o R delimitada por x = 0,
x = 2, y = 0 e y = 14x +
1
2 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base
e´ o contorno de R.
Exemplo 2: Calcular a integral
∫ ∫
R
(x+y)dA onde R e´ a regia˜o limitada
por y = x2 e y = 2x.
Exemplo 3: Calcular a integral
∫ 1
0
∫ 4
4x
e−y2dydx.
Exemplo 4: Calcular a integral
∫ ∫
R
√
y sin(x
√
y)dA onde R e´ a regia˜o
delimitada por x = 0 , y = pi2 e x =
√
y.
Exemplo 5: Descrever a regia˜o de integrac¸a˜o da integral
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−
√
4−x2
f(x, y)dydx e inverta a ordem de integrac¸a˜o.
Exemplo 6: Calcular
∫ ∫
R
xydA onde R e´ o triaˆngulo OAB da figura
abaixo.
Mudanc¸a de varia´veis em Integrais Duplas
Por meio de uma mudanc¸a de varia´veis, (1)
{
x = x(u, v)
y = y(u, v)
, uma integral
dupla sobre uma regia˜o R do plano x ◦ y pode ser transformada em uma
integral dupla sobre uma regia˜o R′ do plano u ◦ v. A correspondeˆncia
entre as reigio˜es R e R′ e´ bijetora, e podemos retornar de R para R′ pela
transformac¸a˜o inversa, (2)
{
u = u(x, y)
v = v(x, y)
.
Teorema MV: Considere g uma aplicac¸a˜o definida por (1), g(u, v) =
(x(u, v), y(u, v)), onde x e y sa˜o func¸o˜es de classe C1 num subconjunto
aberto U ⊂ IR2. Seja R′ um subconjunto limitado e fechado contido em
U tal que
(i) g e´ injetora em R′
(ii) o determinante Jacobiano da aplicac¸a˜o g, ∂(x,y)
∂(u,v) =
∣∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣ , nunca
se anula em R′. Se f e´ integra´vel em g(R′), enta˜o
∫ ∫
g(R′)
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
R′
f(x(u, v), y(u, v))
∣∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣∣ dudv.
Casos especiais de mudanc¸a de varia´veis.
(1) Mudanc¸a linear: Consideremos a transformac¸a˜o linear g definida
pelas equac¸o˜es
{
x = au+ bv
y = cu+ dv
, onde a, b, c e d sa˜o constantes reais. O
determinante Jacobiano desta transformac¸a˜o e´ dado por
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣∣ = |ad− bc|.
Quando |ad− bc| 6= 0, a aplicac¸a˜o g e´ injetora em IR2 e pelo Teorema MV
∫ ∫
g(R′)
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
R′
f(au+ bv, cu+ dv)|ad− bc|dudv.
Exemplo 7: Calcule
∫ ∫
R
(x− y)dxdy, sendo R o paralelogramo limitado
pelas retas x− y = 0, x− y = 1, y = 2x e y = 2x− 4.
Exemplo 8: Calcule
∫ ∫
R
e
y−x
y+xdxdy, onde R e´ a regia˜o triangular limitada
pela reta x+ y = 2 e os eixos coordenados.
(2) Mudanc¸a Coordenadas Polares: Consideremos a transformac¸a˜o g
definida pelas equac¸o˜es
{
x(r, θ) = r cos(θ)
y(r, θ) = r sin(θ)
, onde r ≥ 0 e θ varia num
intervalo da forma [θ0, θ0 + 2pi).
O determinante Jacobiano desta transformac¸a˜o e´ dado por
∂(x,y)
∂(r,θ) =
∣∣∣∣∣ cos(θ) −r sin(θ)sin(θ) r cos(θ)
∣∣∣∣∣ = r. Do Teorema MV temos
∫ ∫
g(R′)
f(x, y)dxdy =
∫ ∫
R′
rf(r cos(θ), r sin(θ))drdθ.
Exemplo 9: Calcular
∫ ∫
R
√
x2 + y2dxdy, sendo R o c´ırculo de centro na
origem e raio 2.
Exemplo 10: Calcular
∫ ∫
R
ex
2+y2dxdy, onde R e´ a regia˜o do plano x ◦ y
delimitada por x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
Exemplo 11: Calcular
∫ ∫
R
(x+ y)dxdy, onde R e´ a regia˜o delimitada:
(1) x2 + y2 − ax = 0, a > 0.
(2) x2 + y2 − ay = 0, a > 0.
Exemplo 12: Calcular
∫ ∫
R
√
x2 + y2dxdy, sendo R a regia˜o limitada pelas
curvas x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x e y =
√
3
3 x.
Exemplo 13: Calcular
∫ ∫
R
[(x − 2)2 + (y − 2)2]dxdy, onde R e´ a regia˜o
delimitada pela circunfereˆncia (x− 2)2 + (y − 2)2 = 4.
Exemplo 14: Calcular
∫ ∫
R
(x2 + y2)dxdy, onde R e´ a regia˜o no primeiro
quadrante limitada pelas hipe´rboles x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 9, xy = 2 e
xy = 4.
Aplicac¸o˜es da Integral Dupla
(1) Ca´lculo de volume: Vimos que, para f(x, y) ≥ 0, a integral
∫ ∫
R
f(x, y)dA
nos da´ o volume do so´lido delimitado superiormente pelo gra´fico de z =
f(x, y), inferiormente pela regia˜o R e lateralmente pelo cilindro vertical
cuja base e´ o contorno de R.
Exemplo 15: Calcular o volume do so´lido acima do plano x◦y delimitado
por z = 4− 2x2 − 2y2.
Exemplo 16: Calcular o volume do so´lido no primeiro octante delimitado
por y+ z = 2 e pelo cilindro que contorna a regia˜o delimitada por y = x2
e x = y2.
Exemplo 17: Calcular o volume do so´lido abaixo do plano x◦y delimitado
por z = x2 + y2 − 9.
Exemplo 18: Calcular o volume do so´lido delimitado por z = 2x2 + y2
ez = 4− 2x2 − y2.
Exemplo 19: Calcular o volume do so´lido no primeiro octante, delimitado
pelos cilindros x2 + y2 = 16 e x2 + z2 = 16.
Exemplo 20: Calcular o volume do tetraedro dado pela figura abaixo.
(2) Ca´lculo de a´reas de regio˜es planas: Se f(x, y) = 1 naregia˜o R
enta˜o a integral
∫ ∫
R
dA nos da´ a a´rea da regia˜o de integrac¸a˜o R.
Se temso uma regia˜o do Tipo I, como mostra na figura acima, podemos
escrever
A =
∫ ∫
R
dA =
∫ b
a
∫ f2(x)
f1(x)
dydx =
∫ b
a
[f2(x)− f1(x)]dx
Exemplo 21: Calcular a a´rea da regia˜o R delimitada por x = y2 + 1 e
x+ y = 3.
Exemplo 22: Calcular a a´rea da regia˜o R delimitada por y = x3, y = −x
e y = 23x+
20
3 .
Exemplo 23: Usando integral dupla, mostre que a a´rea da regia˜o R
delimitada por uma elipse com semi-eixos a e b e´ piab unidades de a´rea.
(3) Aplicac¸o˜es f´ısicas: Consideremos uma laˆmina fina tendo a forma de
uma regia˜o R do plano e assumamos que a massa esta´ distribu´ıda sobre
esta laˆmina com densidade conhecida( f(x, y) ≥ 0 em R ).
(i) A massa total da laˆmina e´: M =
∫ ∫
R
f(x, y)dA
(ii) O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo x e´: Mx =
∫ ∫
R
yf(x, y)dA
(iii) O momento de massa em relac¸a˜o ao eixo y e´: My =
∫ ∫
R
xf(x, y)dA
(iv) O centro de massa, (x, y) , e´ definido por x =
My
M e y =
Mx
M .
Quando a densidade e´ constante, f(x, y) = k em R, o centro de massa
(x, y) e´ chamada cento´ide da laˆmina(ou da regia˜o R).
Se L e´ uma reta no plano da laˆmina R, seja d(x, y) a distaˆncia do ponto
(x, y) em R a` reta L. O nu´mero IL =
∫ ∫
R
d2(x, y)f(x, y)dA, onde
f(x, y) e´ a densidade, e´ chamado de momento de ine´rcia da laˆmina
em relac¸a˜o a` reta L.
(i) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x: Ix =
∫ ∫
R
y2f(x, y)dA
(ii) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y: Iy =
∫ ∫
R
x2f(x, y)dA
(iii) Momento de ine´rcia polar: Io =
∫ ∫
R
(x2 + y2)f(x, y)dA
Exemplo 24: Determinar o centro de massa de uma chapa homogeˆnea
formada por um quadrado de lado 2a, encima por um triaˆngulo iso´sceles
que tem por base o lado 2a do quadrado e por altura a.
Exemplo 25: Calcular o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo dos y
da chapa desenhada na figura abaixo, sabendo que a densidade de massa
e´ igual a xy kg/m2.
Cap´ıtulo 2: Integrais Triplas
2.1 Definic¸a˜o: Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o definida e cont´ınua em
uma regia˜o fechada e limitada T do espac¸o. Subdividimos T em pequenas
subregio˜es trac¸ando planos paralelos coordenados.
Se existe lim
n→∞
n∑
k=1
f(xk, yk, zk)∆Vk, ele e´ chamado integral tripla da finc¸a˜o
f(x, y, z) sobre a regia˜o T e o representamos por
∫ ∫ ∫
T
fdV ou
∫ ∫ ∫
T
f(x, y, z)dxdydz.
2.3 Propriedades da Integral Tripla:
a)
∫ ∫ ∫
T
KfdV = K
∫ ∫ ∫
T
fdV , para todo K real.
b)
∫ ∫ ∫
T
[f ± g]dV =
∫ ∫ ∫
T
fdV ±
∫ ∫ ∫
T
gdV .
c) Se f ≥ g em T , enta˜o
∫ ∫ ∫
T
fdV ≥
∫ ∫ ∫
T
gdV .
d) Se a regia˜o T e´ composta de suas sub-regio˜es T1 e T2, T = T1 ∪ T2 ,
enta˜o
∫ ∫ ∫
T
fdV =
∫ ∫ ∫
T1
fdV +
∫ ∫ ∫
T2
fdV .
2.3 Ca´lculo da Integral Tripla: 1o Caso
A regia˜o T e´ delimitada inferiormente pelo gra´fico da func¸a˜o z = h1(x, y)
e superiormente pelo gra´fico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas sobre a regia˜o R do plano x ◦ y, como mostra a figura.
(
R :
{
f1(x) ≤ y ≤ f2(x)
a ≤ x ≤ b
)
∫ ∫ ∫
T
fdV =
∫ ∫
R
[∫ h2(x,y)
h1(x,y)
f(x, y, z)dz
]
dxdy =
∫ b
a
∫ f2(x)
f1(x)
∫ h2(x,y)
h1(x,y)
f(x, y, z)dzdydx
2o Caso: A regia˜o T e´ delimitada a` esquerda pelo gra´fico de y = p1(x, z)
e a` direita pelo gra´fico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas
sobre a regia˜o R′ do plano x ◦ z, como mostra a figura.
(
R′ :
{
f1(x) ≤ z ≤ f2(x)
a ≤ x ≤ b
)
∫ ∫ ∫
T
fdV =
∫ ∫
R′
[∫ p2(x,z)
p1(x,z)
f(x, y, z)dy
]
dxdz =
∫ b
a
∫ f2(x)
f1(x)
∫ p2(x,z)
p1(x,z)
f(x, y, z)dydzdx
3o Caso: A regia˜o T e´ delimitada na parte de tra´s pelo gra´fico de x =
q1(y, z) e na frente pelo gra´fico de x = q2(y, z), onde q1 e q2 sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas sobre a regia˜o R” do plano y ◦ z, como mostra a figura.
(
R” :
{
f1(y) ≤ z ≤ f2(y)
c ≤ y ≤ d
)
∫ ∫ ∫
T
fdV =
∫ ∫
R′′
[∫ q2(y,z)
q1(y,z)
f(x, y, z)dx
]
dydz =
∫ d
c
∫ f2(y)
f1(y)
∫ q2(y,z)
q1(y,z)
f(x, y, z)dxdzdy
Exemplo 26: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
fdV , onde T e´ o so´lido delimitado pelo
cilindro x2 + y2 = 25, pelo plano x+ y + z = 8 e pelo plano x ◦ y.
Exemplo 27: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
fdV , onde T ’e a regia˜o delimitada
pelos planos coordenados e pelo plano x3 +
y
2 + z = 1.
Exemplo 28: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
dV , onde T e´ a reiga˜o delimitada por
x2 + y2 + z2 = 4 e x2 + y2 = 3z.
Exemplo 29: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
(x−1)dV , onde T e´ a reiga˜o do espac¸o
delimitada pelos y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabo´lico
z = 4− x2.
2.4 Mudanc¸a de varia´veis em Integral Tripla: De forma ana´loga a`
apresentada para as integrais duplas. podemos introduzir novas varia´veis
de integrac¸a˜o na integral tripla
∫ ∫ ∫
T
f(x, y, z)dxdydz.
Introduzindo novas varia´veis de integrac¸a˜o u, v, w por meio das equac¸o˜es
x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
, a integral acima pode ser expressa por
∫ ∫ ∫
T ′
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
∣∣∣∣∣ ∂(x, y, z)∂(u, v, w)
∣∣∣∣∣ dudvdw
onde T ′ e´ a correspondente regia˜o no espac¸o u, v, w e ∂(x,y,z)
∂(u,v,w) e´ o deter-
minante jacobiano de x, y, z em relac¸a˜o a u, v e w.
Ca´lculo de uma Integral Tripla em coordenadas cil´ındricas: As coor-
denadas cil´ındricas de um ponto P no espac¸o, de coordenadas cartesianas
(x, y, z), sa˜o determinadas pelos nu´meros r, θ e z, onde r e θ sa˜o as co-
ordenadas polares da projec¸a˜o de P sobre o plano x ◦ y. A relac¸a˜o entre
as coordenadas cil´ındricas e cartesianas e´ dada
pelas equac¸o˜es

x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
z = z
.
O jacobiano de x, y, z em relac¸a˜o a`s novas varia´veis r, θ e z e´:
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
=
∣∣∣∣∣∣∣
cos(θ) −r sin(θ) 0
sin(θ) r cos(θ) 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = r.
Assim,∫ ∫ ∫
T
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
T ′
f(r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdθdz
onde T ′ e´ a regia˜o T descrita em coordenadas cil´ındricas. Se a regia˜o T se
enquadra no 1o caso enta˜o
∫ ∫
R′
[∫ g2(r,θ)
g1(r,θ)
f(r cos(θ), r sin(θ), z)rdz
]
drdθ.
a) g1 e g2 sa˜o as superf´ıcies que delimitam T inferior e superiormente.
b) R′ e´ a projec¸a˜o de T sobre o plano x ◦ y descrita em coordenadas
polares.
Exemplo 30: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
(x2 + y2)dV , onde T e´ a reiga˜o de-
limitada pelo plano x ◦ y, pelo parabolo´ıde z = x2 + y2 e pelo cilindro
x2 + y2 = a2.
Exemplo 31: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
dV , sendo T a porc¸a˜o da esfera x2 +
y2 + z2 = a2 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = ay.
Exemplo 32: Escrever, na forma de uma soma de integrais iteradas
duplas, a integral I =
∫ ∫ ∫
T
dV , onde T e´ a regia˜o inferior a` esfera
x2 + y2 + z2 = 1 e exterior ao cone z2 = x2 + y2.
Ca´lculo de uma Integral Tripla em coordenadas esfe´ricas: As coor-
denadas esfe´ricas (ρ, θ, φ) de um ponto P (x, y, z) no espac¸o sa˜o ilustradas
na Figura abaixo.
A coordenada ρ e´ a distaˆncia do ponto P ate´ a origem;
A coordenada θ e´ a mesma que em coordenadas cil´ındricas;
A coordenada φ e´ o aˆngulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento
que une o ponto P a` origem;
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ) e z = ρ cos(φ).
O jacobiano de
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, φ)
e´:
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, φ)
=
∣∣∣∣∣∣∣
sin(φ) cos(θ) −ρ sin(φ) sin(θ) ρ cos(θ) cos(θ)
sin(φ) sin(θ) ρ sin(φ) cos(θ) ρ cos(φ) sin(θ)
cos(φ) 0 −ρ sin(φ)
∣∣∣∣∣∣∣ = ρ2 sin(φ).
Assim,∫ ∫ ∫
T
f(x, y, z)dxdydz =
∫ ∫ ∫
T ′
f(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ))ρ2 sin(φ)dρdφdθ
onde T ′ e´ a regia˜o de integrac¸a˜o T descrita em coordenadas esfe´ricas.
Exemplo33: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
xdV , onde T e´ a esfera so´lida x2 +y2 +
z2 ≤ a2.
Exemplo 34: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
zdV , onde T e´ a regia˜o limitada su-
periormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente pelo cone
z =
√
x2 + y2.
Exemplo 35: Calcular I =
∫ ∫ ∫
T
√
x2 + y2 + z2dV , onde T e´ a coroa
esfe´rica limitada por x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4.
Exemplo 36: Descrever, em coordenadas esfe´ricas, o so´lido T limitado
inferiormente pelo plano x ◦ y, superiormente pelo cone φ = pi6 e lateral-
mente pelo cilindro x2 + y2 = a2. Escrever na forma de uma integral
iterada tripla
I =
∫ ∫ ∫
T
x2 + y2 + z2dV.
2.5 Aplicac¸o˜es: (1) Volume:
O ca´lculo de volume de um corpo T ou so´lido delimitado por uma regia˜o
fechada e limitada no espac¸o e´ dado pela integral
V (T ) =
∫ ∫ ∫
T
dV.
Exemplo 37: Calcular o volume do so´lido T delimitado por y = 0, z = 0,
y + z = 5 e z = 4− x2.
Exemplo 38: Calcular o volume do so´lido delimitado inferiormente por
z = 3 − y2, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical
que contorna a regia˜o R delimitada por y = x2 e y = 4.
Exemplo 39: Encontrar o volume do so´lido limitado acima pela esfera
x2 + y2 + z2 = 16 e abaixo pelo cone 3z2 = x2 + y2.
(2) Aplicac¸o˜es f´ısicas: Seja T um corpo ou so´lido delimitado por uma
regia˜o fechada e limitada do espac¸a˜o. Vamos supor que a densidade de
massa em um ponto (x, y, z) e´ dada pela func¸a˜o δ = δ(x, y, z), cont´ınua
em T .
(i) A massa total do corpo e´: M =
∫ ∫ ∫
T
δ(x, y, z)dV
(ii) O momento de massa em relac¸a˜o ao plano x ◦ z e´: Mxz =
∫ ∫ ∫
T
yδ(x, y, z)dV
(iii) O momento de massa em relac¸a˜o ao plano y ◦ z e´: Myz =
∫ ∫ ∫
T
xδ(x, y, z)dV
(iv) O momento de massa em relac¸a˜o ao plano x ◦ y e´: Mxy =
∫ ∫ ∫
T
zδ(x, y, z)dV
(v) O centro de massa, (x, y, z) , e´ definido por x = Myz
M
, y = Mxz
M
e z = Mxy
M
.
Outro conceito, ja´ discutido para integrais duplas e´ o de momento de
ine´rcia em relac¸a˜o a um eixo L. De forma ana´loga temos os momentos
de ine´rcia correspondentes dados por:
(i) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x: Ix =
∫ ∫ ∫
T
(y2+z2)δ(x, y, z))dV
(ii) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo y: Iy =
∫ ∫ ∫
T
(x2+z2)δ(x, y, z))dV
(iii) Momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z: Iz =
∫ ∫ ∫
T
(x2+y2)δ(x, y, z))dV
Exemplo 40: Calcular a massa e o centro de massa do so´lido T , delimi-
tado por 2x+y+z = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade
de massa em P (x, y, z) e´ proporcional a` distaˆncia ate´ o plano x ◦ y.
Exemplo 41: Um so´lido tem a forma da regia˜o delimitada pelo para-
bolo´ide z = 1 − x2 − y2 e o plano x ◦ y. A densidade em P (x, y, z) e´
proporcional a` distaˆncia de P ate´ a origem. Escrever as integrais usadas
para calcular as coordenadas do centro de massa.
Exemplo 42: Encontrar o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z do
so´lido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 9 e pelos planos z = 2 e z = 4,
sabendo que a densidade de massa e´ igual a (x2 + y2)kg/m3.
Cap´ıtulo 3: Func¸o˜es Vetoriais e Curvas
3.1 Definic¸a˜o: Chamamos de func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real t,
definida em um intervalo I, a func¸a˜o que a cada t ∈ I associa um vetor
~f do espac¸o. Denotamos ~f = ~f(t). Por exemplo, em IR3 o vetor ~f pode
ser escrito como ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k.
Exemplo 43: Encontrar a func¸a˜o vetorial ~f(t) que expressa o movimento
de uma part´ıcula na posic¸a˜o P (f1(t), f2(t)) no tempo t.
Operac¸o˜es com func¸o˜es vetoriais: Dadas as func¸o˜es vetoriais ~f(t) =
f1(t)~i + f2(t)~j + f3(t)~k e ~g(t) = g1(t)~i + g2(t)~j + g3(t)~k, definidas para
t ∈ I, podemos definir novas func¸o˜es vetoriais como segue:
a) ~h(t) = ~f(t)±~g(t) = (f1(t)± g1(t))~i+ (f2(t)± g2(t))~j + (f3(t)± g3(t))~k.
b) ~w(t) = ~f(t)× ~g(t) =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
f1(t) f2(t) f3(t)
g1(t) g2(t) g3(t)
∣∣∣∣∣∣∣ .
c) ~v(t) = p(t). ~f(t) = p(t)f1(t)~i+ p(t)f2(t)~j + p(t)f3(t)~k, onde p(t) e´ uma
func¸a˜o real definida em I.
Tambe´m podemos definir uma func¸a˜o real por meio do produto interno:
h(t) = ~f(t) · ~g(t) = f1(t)g1(t) + f2(t)g2(t) + f3(t)g3(t).
Exemplo 44: Dadas as func¸o˜es vetoriais ~f(t) = t~i+t2~j+5~k e ~g(t) = t3~i+~j
e a func¸a˜o h(t) = t2 − 1, determinar:
a) ~f(t) + ~g(t)
b)2~f(t)− ~g(t)
c) ~f(t)× ~g(t)
d) [h(t)~f(t)] · ~g(t)
e) ~f(1a) + ~g(
1
a) para a 6= 0.
Limite e Continuidade: Definic¸a˜o ~f = ~f(t) uma func¸a˜o vetorial definida
em um intervalo aberto I, contendo t0, exceto possivelmente no pro´prio
t0. Dizemos que o limite de ~f(t) quando t aproxima-se de t0 e´ ~a e
escrevemos
lim
t→t0
~f(t) = ~a,
se para todo � > 0, existe δ > 0, tal que |~f(t) − ~a| < � sempre que
0 < |t− t0| < δ.
Proposic¸a˜o: Sejam ~f(t) = f1(t)~i+ f2(t)~j + f3(t)~k e ~a = a1~i+ a2~j + a3~k.
O lim
t→t0
~f(t) = ~a se, e somente se, lim
t→t0
fi(t) = ai i = 1,2,3.
Propriedades: Sejam ~f(t) e ~g(t) duas func¸o˜es vetoriais e h(t) uma
func¸a˜o real, definidas em um mesmo intervalo. Se lim
t→t0
~f(t) = ~a, lim
t→t0
~g(t) =
~b e lim
t→t0
h(t) = m, enta˜o:
a) lim
t→t0
[~f(t)± ~g(t)] = ~a±~b; b) lim
t→t0
~f(t) · ~g(t) = ~a ·~b
c) lim
t→t0
~f(t)× ~g(t) = ~a×~b; d) lim
t→t0
h(t)~f(t) = m~a
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o vetorial ~f = ~f(t), definida em um intervalo I,
e´ cont´ınua em t0 ∈ I, se lim
t→t0
~f(t) = ~f(t0). Segue que ~f(t) e´ cont´ınua em
t0 se, e somente se, suas componentes sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em t0.
Exemplo 45: Calcule:
a) lim
t→√2
[t2~i+ (t2 − 1)~j + 2~k];
b) lim
t→0[
sin(t)
t
~i+ t~j];
c) lim
t→0
~f(t) e lim
t→2(t
2 − 4t+ 4)~f(t), onde ~f(t) = ~a+2~bt−2 , ~a =~i e ~b = 2~j − ~k.
Exemplo 46: Sejam ~f(t) = t~i+ 2t2~j + 3t3~k e ~g(t) = 3t~i− 2~j + 4t2~k.
a) lim
t→1[
~f(t) + ~g(t)];
b) lim
t→1[
~f(t) · ~g(t)];
c) lim
t→1[
~f(t)× ~g(t)];
Exemplo 47: Verificar se a func¸a˜o ~f(t) = sin(t)~i+ cos(t)~j+~k e´ cont´ınua
em t0 = pi.
Exemplo 48: Verificar se a func¸a˜o ~g(t) =
{
sin(t)
t
~i+~j t 6= 0
2~i+~j t = 0
e´ cont´ınua
em t0 = 0.
Exemplo 49: Indicar os intervalos de continuidades das seguintes func¸o˜es:
a) ~g(t) = 1t
~i+ t2~j;
b) ~h(t) = ln(t)~j + 2~k.
Curvas: Definic¸a˜o: Dada uma func¸a˜o vetorial cont´ınua ~f(t) = f1(t)~i+
f2(t)~j + f3(t)~k, t ∈ I, chamamos curva o lugar geome´trico dos pontos P
do espac¸o que teˆm vetor posic¸a˜o ~f(t), t ∈ I.
Se ~f(t) e´ o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula em movimento, a curva C
coincide com a traje´toria da part´ıcula.
Representac¸a˜o Parame´trica de Curvas: Sejam
(1)

x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
func¸o˜es cont´ınuas de uma varia´vel t, definidas para t ∈ [a, b].
As equac¸o˜e (1) sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas de uma curva e t e´
chamado paraˆmetro.
Dadas as equac¸o˜es parame´tricas de uma curva, podemos obter uma
equac¸a˜o vetorial para ela. Basta considerar o vetor posic¸a˜o ~r(t) de cada
ponto da curva. As componentes de ~r(t) sa˜o precisamente as coordena-
das do ponto. Escrevemos ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, a ≤ t ≤ b.
Definic¸o˜es: a) Uma curva plana e´ uma curva que esta´ contida em um plano no
espac¸o. Uma curva que na˜o e´ plana chama-se curva reversa.
b) Uma curva parametrizada ~r(t), t ∈ [a, b], e´ dita fechada se ~r(a) = ~r(b).
c) Se a cada ponto da curva corresponde um u´nico valor do paraˆmetro t (exceto quando
t = a e t = b), dizemos que a curva e´ simples.
Parametrizac¸a˜o de uma reta: A equac¸a˜o vetorial de uma reta qualquer pode ser
dada por ~r(t) = ~a+ t
~b,
sendo ~a e ~b vetores canstantes e t um paraˆmetro real.
Na figura podemos visualizar os vetores ~a e ~b. A reta passapelo ponto A, que tem vetor
posic¸a˜o ~a e a direc¸a˜o do vetor ~b. ~r(t) = (a1 + tb1))~i+(a2 + tb2)~j+(a3 + tb3)~k as equac¸o˜es
parame´tricas da reta que passa pelo panto (a1, a2, a3) e tem direc¸a˜o b1~i+ b2~j + b3~k sa˜o
x(t) = a1 + tb1 ; y(t) = a2 + tb2 e z(t) = a3 + tb3.
Exemplo 50: Determinar uma representac¸a˜o parame´trica da reta que para pelo ponto
A(2,1,−1) na direc¸a˜o do vetor ~b = 2~i− 3~j + ~k.
Exemplo 51: Determinar uma representac¸a˜o parame´trica da reta que para por A(2,0,1)
e B(−1, 1
2
,0).
Parametrizac¸a˜o de uma circunfereˆncia: Uma equac¸a˜o vetorial da circunfereˆncia de
raio a, com centro na origem, no plano x ◦ y, e´
~r(t) = a cos(t)~i+ a sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Quando a circunfereˆncia na˜o esta´ centrada na origem, a equac¸a˜o vetorial e´ dada por
~r(t) = ~r0 + ~r1(t), onde ~r0 = x0~i+ y0~j e ~r1(t) = a cos(t)~i+ a sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Portanto, nesse caso, a equac¸a˜o vetorial e´ dada por
(*) ~r(t) = [x0 + a cos(t)]~i+ [y0 + a sin(t)]~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exemplo 52: Obter as equac¸o˜es parame´trica da circunfereˆncia x2 +y2−6x−4y+4 = 0
no plano z = 3.
Exemplo 53: A equac¸a˜o vetorial ~r(t) = 2~i + 3 cos(t)~j + 3 sin(t)~k representa uma cir-
cunfereˆncia. Determinar a correspondente equac¸a˜o cartesiana.
Parametrizac¸a˜o de uma elipse: Uma equac¸a˜o vetorial de uma elipse, no plano x ◦ y,
com centro na origem e eixos nas direc¸o˜es x e y e´
~r(t) = a cos(t)~i+ b sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Se a elipse estiver centrada em (x0, y0) e seus eixos forem paralelos aos eixos co-
ordenados, sua equac¸a˜o vetorial e´ ~r(t) = ~r0 + ~r1(t), onde ~r0 = x0~i + y0~j e ~r1(t) =
a cos(t)~i+ b sin(t)~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Portanto, nesse caso, a equac¸a˜o vetorial e´ dada por
(*) ~r(t) = [x0 + a cos(t)]~i+ [y0 + b sin(t)]~j, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exemplo 54: Escrever uma equac¸a˜o vetorial da elipse 9x2 + 4y2 = 36, no plano x ◦ y.
Exemplo 55: Escrever uma equac¸a˜o vetorial para a elipse da figura abaixo.
Parametrizac¸a˜o de uma he´lice circular: A he´lice circular e´ uma curva reversa. Ela
se desenvolve sobre a superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 = a2. Consideremos parte da superf´ı
cil{indrica x2 + y2 = a2, como na figura abaixo
Dessa forma, escrevemos
x(t) = a cos(t)
y(t) = a sin(t)
z(t) = P¯Q = A¯N tan(θ) = at tan(θ)
, onde θ e´ o aˆngulo agudo
BAˆC. Podemos fazer tan(θ) = m e escrever a equac¸a˜o vetorial da he´lice circular como:
~r(t) = a cos(t)~i+ a sin(t)~j + amt~k
Parametrizac¸a˜o de outras curvas
Como vimos uma curva pode ser representada por equac¸o˜es parame´tricas ou por uma
equac¸a˜o vetorial. Existem outras formas de representac¸a˜o de uma curva:
(*) gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua y = f(x) representa uma curva no plano x ◦ y.
(**) A intersecc¸a˜o de duas superf´ıcies representa, em geral, uma curva no plano ou no
espac¸o.
Exemplo 56: Escrever uma equac¸a˜o vetorial para y = 5x+ 3 no plano z = 2.
Exemplo 57: A intersecc¸a˜o entre superf´ıcies z = x2 + y2 e z = 2 + y determina uma
curva. Escrever uma equac¸a˜o vetorial dessa curva.
Exemplo 58: Representar parametricamente a curva dada pela intersecc¸a˜o das su-
perf´ıcies x+ y = 2 e x2 + y2 + z2 = 2(x+ y).
Exemplo 59: Representar graficamente as curvas C, dadas por:
(a) ~f(t) = t~i+ t~j − (t2 − 4)~k (b) ~g(t) = t2~i+ t2~j + 3~k
(c) ~h(t) = 2 cos(t)~i+ 2 sin(t)~j + 5~k
Derivada de uma func¸a˜o vetorial: Seja ~f(t) uma func¸a˜o vetorial. Sua derivada e´ uma
func¸a˜o vetorial ~f ′(t), definida por
~f ′(t) = lim
∆t→0
~f(t+ ∆t)− ~f(t)
∆t
,
para todo t, tal que o limite existe. Se a deivada ~f ′(t) existe em todos os pontos de um
intervalo I, dizemos que ~f e´ deriva´vel em I.
~f ′(t) = f
′
1
~i+ f
′
2
~j + f
′
3
~k
Geometricamente nos referimos a ~f ′(t) como sendo vetor tangente a` curva C em P .
Interpretac¸a˜o f´ısica da derivada: Portanto, quando ~r(t) e´ deriva´vel, a velocidade ins-
tantaˆnea da part´ıcula e´ dada por ~v(t) = ~r′(t).
Analogamente, se ~v(t) e´ deriva´vel, a acelerac¸a˜o da part´ıcula e´ dada por ~a(t) = ~v′(t).
Proposic¸a˜o: Sejam ~f(t) e ~g(t) func¸o˜es vetoriais e h(t) uma func¸a˜o real, deriva´veis em
um intervalo I. Enta˜o, para todo t ∈ I, temos:
a) [~f(t)± ~g(t)]′ = ~f ′(t)± ~g′(t);
b) [h(t)~f(t)]′ = h(t)~f ′(t) + h′(t)~f(t);
c) [~f(t) · ~g(t)]′ = ~f ′(t) · ~g(t) + ~f(t) · ~g′(t);
d) [~f(t)× ~g(t)]′ = ~f ′(t)× ~g(t) + ~f(t)× ~g′(t).
Derivadas sucessivas: Seja ~f(t) uma func¸a˜o vetorial deriva´vel em um intervalo I. Sua
derivada ~f ′(t) e´ uma func¸a˜o vetorial definida em I. Se ~f ′(t) e´ deriva´vel em um ponto
t ∈ I, a sua derivada e´ chamada derivada segunda de ~f no ponto t e e´ representada por
~f ′′(t). Analogamente, sa˜o definidas as derivadas de ordem mais alta.
Exemplo 60: Dada ~f(t) = t~i + t2~j, determinar ~f ′(t). Esborc¸ar a curva C descrita por
~f e os vetores tangentes ~f ′(1), ~f ′(−1) e ~f ′(0).
Exemplo 61: Determinar um vetor a` curva C, descrita pela equac¸a˜o vetorial ~g(t) =
cos(t)~i+ sin(t)~j + ~k, t ∈ [0,2pi], no ponto P (0,1,1).
Exemplo 62: O vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula em movimento no plano e´
~r(t) = t~i+
1
t+ 1
~j, t ≥ 0.
a) Determinar o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o em um instante qualquer t.
b) Esboc¸ar a trjeto´ria da part´ıcula, desenhando os vetores velocidade no tempo t = 0 e
t = 1.
Exemplo 63: Determinar o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o de uma part´ıcula que
se move segundo a lei
~r(t) = cos(2t)~i+ sin(2t)~j + ~k.
Mostre que o vetor velocidade e´ perpendicular ao vetor posic¸a˜o e que o vetor acelerac¸a˜o
p´erpendicular ao vetor velocidade.
Exemplo 64: Sejam h(t) = t e ~f(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j.
a) Determinar (h(t)~f(t))′.
b) Mostrar que ~f ′(t) e´ ortogonal a ~f(t).
Exemplo 65: Mostrar que ~f ′(t) e´ ortogonal a ~f(t) sempre que |~f(t)| e´ uma constante.
Curvas Suaves: Geometricamente, uma curva suave e´ caracterizada pela auseˆncia de
pontos angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tengente u´nica que
varia continuamente quando se move sobre a curva. Geometricamente, uma curva suave
e´ caracterizada pela auseˆncia de pontos angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva
tem uma tangente u´nica que varia continuamente quando se move sobre a curva.
Sempre que uma curva C admite uma parametrizac¸a˜o ~r(t), t ∈ I ⊂ IR, que tem derivada
cont´ınua ~r(t) e ~r′(t) 6= ~0, para todo t ∈ I, C e´ uma curva suave ou regular. Uma curva
e´ suave por partes se puder ser dividida em um nu´mero finito de curvas suaves.
Orientac¸a˜o de uma Curva: Se um ponto material desloca-se sobre uma curva suave C,
temos dois poss´ıveis sentidos de percurso. A escolha de um deles como sentido poditivo
define uma orientac¸a˜o na curva C. Vamos supor que a curva C seja representada por
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b].
Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C o sentido no qual a curva e´ trac¸da
quando o paraˆmetro t cresce de a ate´ b. O sentido oposto e´ chamado negativo sobre
C.
Se uma curva simples C e´ suave por partes, podemos orienta´-la, orientando cada parte
suave de C.
Definic¸a˜o: Dada uma curva orientada C, representada por
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b];
a curva −C e´ definida como a curva C com orientac¸a˜o oposta. A curva −C e´ dada por
~r−(t) = ~r(a+ b− t) = x(a+ b− t)~i+ y(a+ b− t)~j + z(a+ b− t)~k, t ∈ [a, b].
Exemplo 66: Apresentar duas parametrizac¸o˜es da circunfereˆncia de centro na origem
e raio a onde uma e´ no sentido hora´rio e outra no sentido ant´ı-hora´rio.
Exemplo 67: Parametrizar o seguimento de reta que une o ponto A(0,0,1) ao ponto
B(1,2,3), no sentido de A para B.
Exemplo 68: Paramerizar o segmento de reta que une o ponto (1,2,3) ao ponto
(0,0,1).
Comprimentode Arco: Seja C uma curva dada pela equac¸a˜o vetorial
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b].
Teorema: Seja C uma curva suave parametrizada por ~r(t), a ≤ t ≤ b. Enta˜o,
` =
∫ b
a
|~r′(t)|dt =
∫ b
a
√
x′2(t) + x′2(t) + z′2(t)dt.
Se a curva e´ suave por partes, seu comprimento e´ dado pela soma das integrais definidas
nos subintervalos de [a, b] nos quais a curva C e´ suave.
Exemplo 69: Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equac¸a˜o vetorial e´
~r(t) = t~i+ t
2
3~j, t ∈ [1,4].
Exemplo 70: Encontrar o comprimento da he´lice circular ~r(t) = (cos(t), sin(t), t) do
ponto A(1,0,0) a B(−1,0, pi).
Func¸a˜o Comprimento de Arco:
Na integral ` =
∫ b
a
|~r′(t)|dt, se substitu´ımos o limite superior b por um limite varia´vel t,
t ∈ [a, b], a integral se transforma em uma func¸a˜o de t,
s(t) =
∫ t
a
|~r′(t¯)|dt¯.
A func¸a˜o s = s(t) e´ chamada func¸a˜o comprimento de arco e mede o comprimento de
arco de C no intervalo [a, t].
Exemplo 71: Escreva a func¸a˜o comprimento de arco da circunfereˆncia de raio R.
Exemplo 72: Encontrar a func¸a˜o comprimento de arco da he´lice circular ~r(t) =
(2 cos(t),2 sin(t), t).
Reparametrizac¸a˜o de curvas por Comprimento de Arco:
E´ conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como paraˆmetro o comprimento
de arco s. Para reparametrizarmos uma curva suave C, dada por
~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [a, b]
procedemos como segue:
a) calculamos s = s(t);
b) encontramos a sua inversa t = t(s), 0 ≤ s ≤ `;
c) reescrevemos como ~h(s) = ~r(t(s)) = x(t(s))~i+ y(t(s))~j + z(t(s))~k, s ∈ [0, `].
Temos, enta˜o, que ~h(s) descreve a mesma curva C que era dada por ~r(t), mas com
uma nova parametrizac¸a˜o, em que a varia´vel s, 0 ≤ s ≤ `, representa o comprimento de
arco de C.
Exemplo 73: Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva
C : ~r(t) = (R cos(t), R sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exemplo 74: Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por
~r(t) = (et cos(t), et sin(t)), t ≥ 0.
Exemplo 75: Dada uma curva C representada por ~r(t), mostrar que, se |~r′(t)| = 1,
enta˜o o paraˆmetro t e´ o paraˆmetro comprimento de arco de C.
Exemplo 76: Verificar que a curva C : ~h(s) = ( s√
5
, 2s√
5
), s ≥ 0, esta´ parametrizada pelo
comprimento de arco.
Exemplo 77: Seja C uma curva suave reparametrizada pelo comprimento de arco.
Mostrar que se C e´ representada por ~h(s), enta˜o |~h′(s)| = 1.