Exercicio III 2014

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Universidade Federal do Piau´ı - UFPI
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Vitaliano Amaral.
Exerc´ıcios
0.1 Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de cada func¸a˜o no ponto indicado:
a) f(x) = x3, x0 = 1. b) f(x) =
1
x
, x0 = −1. c) f(x) = x+ 2
x
, x0 = 1.
d) f(x) =
x2
x2 + 1
, x0 = 1.
0.2 Verifique se a func¸a˜o f(x) = x
1
3 e´ deriva´vel em x0 = 0.
0.3 Seja f : R → R tal que f(x) =| x | +x. Verifique se f e´ deriva´vel em x0 = 0.f ′(x)
existe para valores de x 6= 0?
0.4 Encontrar as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 3x3 − 4x+ 5; b) f(x) = x2 + 2x+ 27; c) f(x) = x2 + x+ 21
d) f(x) = x
1
2 − 8x4 + x−1; e) f(x) = x 52 + x−52 ; f) f(x) = x7 + 15x−15 ;
g) f(x) = (x2 − 1)(x + 5); h) f(x) = (x5 + 1x)(x5 + 1); i) f(x) = (x
3
2 + x2)(x4 − 99); j)
f(x) = (x4 − x2)(x2 − 1); k) f(x) = 1
2x+ 3
; l) f(x) =
x3
1− x2 ;
m) f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
; n) f(x) =
x
1 + x2
; o) f(x) =
x5
x2 + 3
; p) f(x) =
1− x2
(1 + x2)2
.
0.5 Mostrar que a reta y = −x e´ tangente a curva dada pela equac¸a˜o
y = x3 − 6x2 + 8x. Achar o ponto de tangeˆncia.
0.6 Achar as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = (2x+ 1)2 b) f(x) = (2x+ 5)3 c) f(x) = (5x+ 3)7
d) f(x) = (3x+ 1)
1
2 e) f(x) = (2x3 − 3x)4
f) f(x) = (x+ 5)
−5
3 g) f(x) =
√
x2 + x+ 5
h) f(x) =
√
2x2 − x+ 1 i) f(x) = sen (x3 + 1) j) f(x) = cos(x2 + 1)
k) f(x) = ex
3+1 l) f(x) = sen(cosx) m) f(x) = log(x2 + 1)
n) f(x) = e−x2 o) f(x) = cos(e3x) p) f(x) =
√
ex + 1
q) f(x) = [sen(2x)]4 r) f(x) =
x4 + 4
cos(2x)
s) f(x) =
sen(2x)
cos(3x)
t) f(x) =
e−x
cos(2x)
.
Matema´tica -1- UFPI-CCN
0.7 Mostre que a equac¸a˜o da reta tangente pelo ponto (x1, y1) da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e´ da
forma
xx1
a2
+
yy1
b2
= 1.
0.8 Mostre que toda reta que passa pelo centro de um c´ırculo e´ ortogonal ao c´ırculo.
0.9 Seja f : R → R definida por f(x) =
{
x2sen
1
x
se x 6= 0
0 se x = 0
.Mostre que f e´ deriva´vel
em 0 e que f ′(0) = 0.
Calcule f ′(x) para x 6= 0. f ′ e´ cont´ınua em x0 = 0?
0.10 Calcule a derivada segunda das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x+
1
x
; b) f(x) = x+ sen x c) f(x) = e−x2 ; d) f(x) =
1
1 + x2
;
e) f(x) =
x
1 + x2
; f) f(x) =
x2
1 + x2
.
0.11 Um dos catetos de um triaˆngulo retaˆngulo decresce a 2, 5cm/s, enquanto que o outro
cresce a 5cm/s. Em certo instante, o comprimento do primeiro lado e´ de 20cm e do segundo
lado e´ 15cm.Apo´s 2s, a que taxa esta´ crescendo a a´rea?
0.12 Uma escada de 510cm de comprimento se apo´ia em um muro vertical. Se a ex-
tremidade inferior da escada se afasta do muro a` raza˜o de 90cm/s qua˜o rapidamente esta´
crescendo a extremidade superior no instante em que a inferior dista 240cm do muro?
0.13 Um reservato´rio de a´gua tem a forma de um cone com ve´rtice para baixo e 3cm de
altura.O raio da cobertura mede 1, 2m. Enche-se o reservato´rio a` raza˜o 0, 135m3/min.Qua˜o
rapidamente se eleva o n´ıvel da a´gua no instante em que sua profundidade mede 1, 5m?
0.14 Uma part´ıcula se move de modo que num instante t a distaˆncia percorrida e´ dada
por S(t) = 2t2 − t. Em que instante a velocidade e´ igual a Zero? Qual e´ a acelerac¸a˜o da
part´ıcula?
0.15 Determine a, b, c de modo que as curvas y = x2+ax+b e y = cx−x2 sejam tangentes
no ponto (1, 0).
a) Diferenciando implicitamente x2 − y2 = 1, mostre que dy
dx
=
x
y
, y 6= 0.
b) Agora, diferenciando
dy
dx
=
x
y
implicitamente mostre que
d2y
dx2
= − 1
y3
.
0.16 Uma part´ıcula de massa m move-se ao longo do eixo dos x. A velocidade v da
part´ıcula e´ dada por dxdt e a posic¸a˜o satisfaz a equac¸a˜o m(v
2 − v20)
= K(x20−x2) onde K, v0 e x0 sa˜o constantes. Mostre que diferenciando a equac¸a˜o impl´ıcitamente
em relac¸a˜o a t e se v 6= 0 enta˜o mdvdt = −Kx.
Matema´tica -2- UFPI-CCN
0.17 Sejam P1(x1, y1) e P2(x2, y2) pontos quaisquer da para´bola
y = ax2 + bx + c, a 6= 0.Se trac¸armos uma tangente a` curva em (x0, y0) paralela a corda
P1P2 mostre que x0 =
x1 + x2
2
.
0.18 Mostre que qualquer tangente a` hipe´rbole xy = a2 determina com as ass´ıntotas um
triaˆngulo de a´rea 2a2.
0.19 Mostre que a derivada de uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o ı´mpar e que a derivada de
uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma func¸a˜o par.
0.20 Seja f : R→ R satisfazendo as seguintes condic¸o˜es:
a)f(x+ y) = f(x).f(y), ∀ x, y ∈ R.
b)f(x) = 1+xg(x), onde lim
x→0
g(x) = 1. Prove que f e´ deriva´vel em x e f ′(x) = f(x) ∀x ∈ R.
0.21 Seja f : R → R tal que f(λx) = λf(x) para todoλ ∈ R. Mostre que f e´ deriva´vel
em x e que f ′(λ) = f(1) ∀λ ∈ R.
0.22 Seja y = x
p
q , p, q ∈ Z e q 6= 0. Mostre que y′ = p
q
x
p
q
−1
.
Matema´tica -3- UFPI-CCN