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Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? a) 0,05 b) 0,10 c) 0,13 d) 0,15 Resolução Devemos resolver utilizando a fórmula da distribuição binomial Sendo: x é a quantidade de sucessos em n tentativas p é a probabilidade de sucesso 1-p é a probabilidade de fracasso No problema temos: n = 6, X = 3, p = 1 4 e (1-p) = 3 4 . Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos P (x=3) = 6! 3! 6 −3 ! . 1 4 ³ . 3 4 = 6.5.4.3! 3!3! . 1 4 ³ . 3 4 ³ = P (3) = 120 3.2.1 . 1 64 . 27 64 = 120 6 . 1 64 . 27 64 = P (3) = 20. 27 4096 = 20. 27 4096 = 540 4096 =0,13 6-3 Um médico está interessado em obter informação sobre o número médio de vezes em que 15.000 especialistas prescreveram certa droga no ano anterior (N = 15.000). Deseja-se obter uma amostra n = 1.600. Que tipo de amostragem você sugeriria e por que? a) Amostragem A Sistemática b) Amostragem A Estratificada c) Amostragem A Intencional d) Amostragem A por Quota Verifiquem no material do EAD o conceito de Amostragem sistemática e estratificada, a resposta correta é alternativa a. Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? a) 0,0756 b) 0,0081 c) 0,0873 d) 0,0900 Pela resolução não há alternativa correta, pois a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes é 0,0837. Logo, a questão deve ser anulada. Resolução utilizando a mesma fórmula da 1ª questão. No problema temos: n = 4, X tem que ser maior ou igual a 3, para atingir no mínimo 3 disparos (x 3), p = 0,3 e (1 – p) = 0,7 (pois é 1 – 0,3 = 0,7) P(X 3) = P(3) + P(4) Vamos determinar P(3) P(3) = 4! 3! 4 −3 ! . (0,3)³.(0,7)4-3= 4.3.2.1 3.2.1.1 . (0,027).(0,7)= 4.(0,0189) = 0,0756 Vamos determinar P(3) P(4) = 4! 4! 4 −4 ! . (0,3) 4.(0,7)4-4= 4.3.2.1 4.3.2.1.1 . (0,0081).(0,7)0= 0,0081 Então, P(X 3) = P(3) + P(4) = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837 0! = 1 POR CONVEÇÃO TODO NÚMERO ELEVADO A ZERO É IGUAL A 1. Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis? a) 3,5% b) 4,5% c) 5,5% d) 6,5% Resolução utilizando a mesma fórmula da 1ª e 3ª questões. No problema temos: n = 15, x = 10 (itens aceitáveis correspondentes a 85%, logo p=0,85), então os itens não aceitáveis(defeituosos) é (1 – p) = 0,15(pois é 100% – 85% = 15% = 0,15). Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos P(5) = 15! 5! 15 −5 ! . (0,85) 10.(0,15)15-10= P(5) = 3003 .(0,00007594).(0,1968744) = 0,0449 ou em porcentagem 0,0449 . 100 = 4,5% aproximado. Então, a resposta é alternativa b. Se 4 moedas honestas forem lançadas simultaneamente (ou 1 moeda honesta for lançada 4 vezes), veja o cálculo da distribuição de probabilidade completa no gráfico(Figura ao lado) e responda: Este gráfico apresenta uma distribuição... a) Simétrica b) Assimétrica c) Desviada para a direita d) Desviada para a esquerda Figura – Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento de 4 Moedas Honestas. Note na figura que quando p = 0,5, a distribuição de probabilidade é ............ Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure menos de 170000 km? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Resolução O problema pede a probabilidade de que um carro tenha um motor que dure menos de 170000 km, ou seja P(x<170000). Neste caso, para uma variável aleatória em distribuição, utilizamos a fórmula: Sendo x o valor real μ a média provável σ o desvio padrão No problema temos: x<170000, logo consideramos x = 170000, μ = 150000 e σ = 5000. Substituindo na fórmula, temos: Z = 𝟏𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 −𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 4 Logo, a resposta é alternativa 4. Para as distribuições (gráficos a baixo) foram calculados: Marque a alternativa correta: a) a distribuição I é assimétrica negativa b) a distribuição II é assimétrica positiva c) a distribuição III é assimétrica negativa moderada d) a distribuição I é simétrica Classes Fi Classes Fi Classes Fi 02 |- 06 6 02 |- 06 6 02 |- 06 6 06 |- 10 12 06 |- 10 12 06 |- 10 30 10 |- 14 24 10 |- 14 24 10 |- 14 24 14 |- 18 12 14 |- 18 30 14 |- 18 12 18 |- 22 6 18 |- 22 6 18 |- 22 6 Distrib. A Distrib. B Distrib. C x = 12Kg Med = 12Kg Mo = 12Kg S = 4,42Kg x = 12,9Kg Med = 13,5Kg Mo = 16Kg S = 4,20Kg x = 11,1Kg Med = 10,5Kg Mo = 8Kg S = 4,20Kg Suponha que uma pesquisa de opinião pública deve ser realizada em um estado que tem duas grandes cidades e uma zona rural. Os elementos na população de interesse são todos os homens e mulheres do estado com idade acima de 21 anos. Que tipo de amostragem você sugeriria? a) Amostragem A Sistemática b) Amostragem A Estratificada c) Amostragem A Intencional d) Amostragem A por Quota Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta? Resolução A fórmula para resolução é de distribuição binomial n= 5 (número de tentativas) x= 3( deseja-se obter como resultado) P = ½ (possibilidade de ocorrência de cara quando for feito cada lançamento da moeda) (1-p) = ½ (possibilidade de não ocorrer cara em cada lançamento) Substituindo na fórmula, temos: P(3) = 5! 3! 5 −3 ! . 1 2 3 . 1 2 5-3 P(3) = 5.4.3.2.1 3.2.1.2.1 . 1 2 3 . 1 2 2 P(3) = 120 12 . 1 8 . 1 4 P(3) = 10 . 1 32 P (3) = 0,3125 Resposta: A probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta é de 0,3125 ou 31,25% Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? Resolução A fórmula para resolução é de distribuição binomial No problema temos: n = 10 e x tem que ser menor ou igual a 2 tubos não defeituosos (x≤2), p = 0,2 (20%) e (1 – p) = 0,8 (pois é 1 – 0,2 = 0,8) Cont. P(x≤2) = P(0) + P(1) + P(2) P(0) P(0) = 10! 0! 10 −0 ! . (0,2)0.(0,8)10= 0,1074 P(1) P(1) = 10! 1! 10 −1 ! . (0,2)1.(0,8)10-1= 10. (0,2).(0,1342)= 0,2684 P(2) P(2) = 10! 2! 10 −2 ! . (0,2)2.(0,8)10-2 = 10.9.8! 2.1. 8! . (0,04).(0,8)8 P(2) = 90 2 . (0,04).(0,1678) = 45 . (0,04).(0,1678) = 0,3020 Então, P(x≤2) = P(0) + P(1) + P(2) P(x≤2) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 P(x≤2) = 0,6778 ou 67,78% Resposta: A probabilidade de que não mais do que 2 dos tubosextraídos sejam defeituosos é de 67,78% Essas e outras questões você pode encontrar no site file:///C:/Users/acer/Desktop/ExerciciosResolvidosBinomial.pdf https://docs.ufpr.br/~jomarc/normalresolvido1.pdf www.ceap.br/material/MAT14052013141559.doc
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