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Cálculo II - Questões de AV2 e AV3 (Sem Gabarito)

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1. Descreva a curva definida pela função vetorial: .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Encontrando Primitivas: Seja , qual a resposta correta?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Calcule .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Verifique se a função é harmônica.
5. Esboce a região limitada pelas funções e expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área.
6. Determine o vetor posição de uma partícula que se move em função do tempo , sabendo-se que o vetor aceleração é dado pela equação vetorial e que primeiramente a partícula saiu de um ponto com uma velocidade .
7. Seja a posição de uma partícula no plano no instante . Encontre o vetor velocidade e aceleração da partícula no instante .
8. Calcule a integral tripla .
9. A integral fornece a área de uma região no plano . Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.
10. Resolva a equação diferencial para como função vetorial de : com a condição inicial: .
11. Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial , considerando .
a) 
b)
c) 
d) 
e) 
12. Se , então a integral definida: é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
13. Encontre e para a função .
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
14. Seja a função . Encontre .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
15. Calcule a integral tripla no espaço .
16. Sendo , qual é o resultado da soma: ?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
17. Se , então: é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
18. A integral fornece a área de uma região no plano . Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.
19. Encontre uma função potencial para o campo .
20. Seja a função , encontre .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
21. Encontre a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano de equação .
22. Encontre uma equação potencial para o campo .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
23. Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: no instante .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
24. Seja a função . Encontre .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
25. Calcule a integral mudando a ordem de integração de maneira apropriada.
26. Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição . Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo , encontre o módulo da velocidade da asa-delta em qualquer instante .
27. Calcule e para a função .
28. Verifique se a função é harmônica.
29. Esboce a região limitada pelas funções , , e expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área.
30. Calcule a integral .
31. Os conceitos e aplicações de derivada direcional e gradiente de uma função são ferramentas matemáticas de grande utilidade na Engenharia onde se buscam as respostas para uma série de perguntas. Determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
32. Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição . Indique a única resposta correta.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
33. Encontre a derivada direcional da função em na direção do vetor .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
34. Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor posição dado por . Indique a única resposta correta que determina a aceleração em um tempo qualquer. Observação: .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
35. Encontre a para usando derivação implícita.
36. Encontre e para a função .
37. Se resistores elétricos de , e ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de ohms, o valor de pode ser encontrado a partir da equação . Encontre o valor de quando , e ohms.
38. Encontre os valores de e no ponto se .
39. Encontre o volume da região limitada pelas superfícies e .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
40. Encontre o volume da região formada pelo cilindro e o plano que é limitado pelos planos , , e .
41. Uma partícula se move ao longo do topo de uma curva da esquerda para a direita a uma velocidade constante de unidades por segundo. Encontre a velocidade da partícula enquanto ela se move sobre o ponto .
42. Calcule a integral tripla iterada .
43. Não existe nada que prove ao se tomar, sucessivamente, derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias, que as funções derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio. Conforme a afirmativa, determine as derivadas de todas as ordens da função polinomial .
44. Calcule a integral tripla: .
45. Encontre um vetor tangente unitário da curva para pertencente ao intervalo .
46. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por . Determine a velocidade do objeto no instante .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
47. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
48. A posição de uma partícula é dada pela seguinte função vetorial: . Encontrar a função vetorial para a velocidade da partícula.
49. Calcule a integral de linha onde é o segmento de reta de a .
50. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
51. Considere as seguintes informações:
1 - O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes.
2 - O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes.
3 - O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas (ou três) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
4 - A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
5 - O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas (ou três) integrais simples, sempre da mesma forma.
As seguintes informações são verdadeiras:
a) 1, 2, 3
b) 2, 4, 5
c) 2, 3, 4
d) 1, 3, 5
e) 1, 3, 4
52. Calcule a integral e indique a única resposta correta.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
53. é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante para .
54. Quando uma curva , passa pelo domínio de uma função no espaço, os valores de ao longo da curva são dados pela função composta . Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de a , calcula-se a integral de linha de ao longo da curva. Portanto onde . Calcule a integral de linha onde é a hélice circular dada por , .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
55. Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa , é dada pela fórmula , encontre o comprimento da curva , .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
56. Calcule a integral onde é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas e .
57. O plano apresenta intersecção com a paraboloide em uma parábola. Encontre o coeficiente angular da tangente à parábola em .

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