EP 6- Cônicas

Prévia do material em texto

1 de 3 
EP 06 – 2010-2 Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
EP 06 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Caro aluno 
A primeira Avaliação Presencial acaba de acontecer e nós precisamos continuar nossa caminhada. 
Estamos apenas na metade do caminho e ainda temos muito tempo para nos recuperar de qualquer 
tropeço. Vamos lá, mãos à obra!!! 
Como você sabe, os exercícios dos EPs são focados nos principais conceitos da matéria. Quero lembrar 
que é importante escrever bem um exercício, por isso ao estudar caprichem! A Matemática tem sua 
linguagem própria. Devemos nos acostumar com os seus símbolos e trabalhar com a lógica que nos 
permitirá chegar às conclusões desejadas, partindo de determinadas hipóteses e fazendo uso de resultados 
já provados. 
Continuaremos a trabalhar com as cônicas. Ainda não falamos dos círculos, elipses e hipérboles! 
Estamos interessados agora, nas cônicas definidas por equações de grau 2 a duas variáveis onde os termos 
quadrados aparecem nas duas variáveis. Equações do tipo: 
022 =++++ EyDxCyBxA , com 0≠A e 0≠B . 
Não é a equação do segundo grau mais geral a duas variáveis, pois o termo misto yx não aparece. 
Vale lembrar que a equação dada acima pode definir o conjunto vazio, por exemplo, 0222 =++ yx , ou 
seja, 222 −=+ yx , o que não é possível no conjunto dos números reais, já que em ℜ , 022 ≥+ yx . 
Tirando essa possibilidade, temos que: 
• Se A e B têm o mesmo sinal )0( >BA , a equação acima define uma elipse, uma circunferência 
(quando BA= ) ou ainda um ponto. 
• Se A e B têm sinais contrários )0( <BA , a equação acima define uma hipérbole. 
Para que possamos identificar as características dessas curvas, devemos completar os quadrados 
necessários na equação dada e reescrevê-la numa das seguintes formas: 
 
• 1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
b
yy
a
xx
. Se ba≠ , uma elipse de centro ),( 00 yx e se ba> , o eixo maior da 
elipse tem comprimento a2 e tem direção paralela ao eixo xO e o 
eixo menor da elipse tem comprimento b2 e tem direção paralela ao 
eixo .yO Os vértices dessas elipses são os pontos: 
EP 06 – 2010-2 Pré-Cálculo 
2 de 3 
),( 001 yaxA − , ),( 002 yaxA + , 
),( 001 byxB − , ),( 002 byxB + 
Se ba= , um círculo de centro ),( 00 yx e raio a . 
 
 
• 1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
−
−
−
b
yy
a
xx
. Uma hipérbole de centro ),( 00 yx , assíntotas )( 00 xx
a
b
yy −±=− . A 
hipérbole cortará a reta 0yy = (chamada de eixo real ou transverso), 
paralela ao eixo xO , nos pontos ),( 001 yaxA − e ),( 002 yaxA + , que 
são os vértices dessa hipérbole. 
 
• 1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
−
b
yy
a
xx
. Uma hipérbole de centro ),( 00 yx , assíntotas )( 00 xx
a
b
yy −±=− . 
A hipérbole cortará a reta 0xx= (chamada de eixo real ou 
transverso), paralela ao eixo yO , nos pontos ),( 001 byxB − e 
),( 002 byxB + , que são os vértices dessa hipérbole. 
É importante que saibamos reconhecer essas curvas, pois elas são fontes importantes de funções, 
que estarão presentes no Pré-Cálculo e nos Cálculos. 
 
E agora, aos exercícios: 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 1: Diga o que cada uma das equações abaixo define. Indique conforme o caso: centro, eixos de 
simetria, pontos de interseção com os eixos de simetria, assíntotas. Esboce as curvas que você identificou. 
 
a) 04422 22 =−++ yxyx b) 04844 22 =++−+ yxyx 
c) 022222 =++++ yxyx d) 0312464 22 =−++− yxyx 
e) 0261022 =+++ yyx f) 29181694 22 =++− xyxy 
g) 0433689 22 =+−++ xyxy h) 0114222 =−−−+ yxyx . 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 2: Determine a equação da hipérbole que tem centro no ponto )2,3( − , assíntotas com 
coeficiente angular 1 e 1− e contém o ponto )2,1( − . 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 3: Ache uma expressão em x ou uma expressão em y , conforme o caso, para: 
EP 06 – 2010-2 Pré-Cálculo 
3 de 3 
a) a metade superior e a metade a esquerda da curva 0169 22 =−+ yx . Esboce esses gráficos. 
b) a metade superior e a metade a esquerda da curva 014 22 =−− xy . Esboce esses gráficos. 
 
c) a metade acima e a metade abaixo do eixo de simetria da curva 032244 2 =−−+− yxy . 
Esboce esses gráficos. 
d) a metade superior da curva 0222 =+− xyx . Esboce esse gráfico. 
e) a metade inferior da curva 0422 =−+ xyx . Esboce esse gráfico. 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 4: Esboce a região: 
a) limitada pelas curvas 099 22 =−+ yx e 033 =+− yx e que não contém a origem. 
b) limitada pelas curvas 42 −= yx e 012 =+− yx . 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 5: 
a) Resolva: i) 0562 2 >++ xx ii) 0122 ≤+− xx iii) 0700552 ≤−+− xx . 
b) Uma galeria de arte precisa alugar um salão para uma grande exposição de arte popular brasileira. O 
espaço que será alugado consiste de uma área retangular limitada por duas paredes e dois painéis 
móveis. Veja desenho. 
A galeria precisa de 22 m por obra que será exposta e deseja 
expor de 300 a 350 obras de arte. O salão dispõe de 55 metros de 
painéis móveis e o espaço é bastante grande para que os 55 metros 
possam ser usados totalmente e arrumados em qualquer forma 
retangular pré-determinada. A galeria quer garantir espaço 
suficiente para a exposição. 
Represente por L a largura do espaço a ser alugado. 
 
(a) Como podemos expressar a área do espaço a ser alugado? Lembre que o espaço tem a forma de 
um retângulo cuja largura é representada por L . 
(b) Explique porque é necessário resolver a desigualdade 255700 LL −≤ , para calcular a 
largura do espaço a ser alugado de modo a satisfazer as necessidades da galeria. 
(c) Determine os possíveis arranjos dos painéis de modo a satisfazer as necessidades da galeria. 
Bom trabalho! 
Um escritório precisa alugar Uma escola de dança resolveu promover um baile e para isso, necessita 
alugar um salão de um clube da comunidade. O espaço a ser alugado consiste de uma área retangular 
limitada por duas paredes revestidas de espelho e dois painés móveis. Veja o esquema ao lado.