Notas de Aulas - Mecânica dos Fluidos

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Universidade Metodista de Piracicaba Faculdade de
Engenharia, Arquitetura e Urbanismo
Santa Ba´rbara D’Oeste
Notas de Aulas - Brave Revisa˜o da Mecaˆnica dos Fluidos
Classe Extra - Janeiro/2014
Prof. Ariathemis Moreno Bizuti
2014− 1E vs α
Suma´rio
1 Um pouco de Histo´ria 1
2 Introduc¸a˜o 4
2.1 A´reas de Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Conceituac¸a˜o de Fluidos 7
3.1 Condic¸a˜o de Na˜o-Escorregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Fluido como um Cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Classificac¸a˜o de Escoamento de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3.1 Escoamento Viscoso versus na˜o Viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Escoamento Interno versus Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.3 Escoamento Compress´ıvel versus Incompress´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.4 Escoamento Laminar versus Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3.5 Escoamento Natural versus Forc¸ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.6 Escoamento em Regime Permanente versus Regime Na˜o Permanente . . . . . . 11
3.3.7 Escoamento Unidimensional, Bidimensional e Tridimensional . . . . . . . . . . 11
3.3.8 Descric¸a˜o do Movimento dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Te´cnica de Resoluc¸a˜o de Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Propriedades dos Fluidos 16
4.1 Massa Espec´ıfica (ρ), Peso Espec´ıfico (γ) e Densidade Relativa . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.1 Viscosidade Absoluta ou Dinaˆmica (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.2 Nu´mero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.3 Compressibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.4 Tipos de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.5 Escoamento entre Placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ii
4.1.6 Estudo de Cilindros - Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Esta´tica dos Fluidos 25
5.1 Pressa˜o em um ponto e Gradiente de pressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Fluidos em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Manometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Princ´ıpio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.5 Lei de Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6 Pressa˜o Hidrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7 Princ´ıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.8 Medidas de Pressa˜o e Manometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.8.1 Tubo U (pequenas presso˜es) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.8.2 Tubo U (Altas presso˜es) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.8.3 Piezoˆmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.8.4 Manoˆmetro Meta´lico ou de Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.8.5 Baroˆmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Movimento do Fluido 41
6.1 Descric¸a˜o do Movimento dos Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1.1 Linhas de Trajeto´ria, Linhas de Emissa˜o e Linha de Corrente . . . . . . . . . . 42
6.1.2 Classificac¸a˜o do Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Vaza˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2.1 Vaza˜o Volume´trica (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2.2 Vaza˜o em Massa (Qm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Equac¸a˜o da Continuidade para Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Estudo da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 Linhas Piezome´tricas e de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 Estudo da Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.6 Ma´quinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.1 Equac¸a˜o de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6.2 Poteˆncia e Noc¸a˜o de Rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.7 Perda de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
6.7.1 Perda de Carga - Fator de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.7.2 Diaˆmetro Hidra´ulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.7.3 Perda de Carga – SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.8 Perda de Carga – BOMBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Propriedades dos Fluidos 63
B Fluido em Movimento 66
iv
1
Um pouco de Histo´ria
O grande problema que deveria ser resolvido pela humanidade para que as cidades se desenvolves-
sem, estava correlacionado ao suprimento de a´gua, seja esta para o uso dome´stico ou para a irrigac¸a˜o.
Certamente, foi um dos primeiros problemas que a engenharia enfrentou. Se a histo´ria for observada,
as grandes civilizac¸o˜es alcanc¸aram o seu exito devido a construc¸a˜o e a manutenc¸a˜o de sistemas de
a´gua. Ainda ha´ aquedutos romanos que esta˜o em uso, sendo um grande exemplo da importaˆncia que
a a´gua e os sistemas tiveram para o desenvolvimento das cidades e civilizac¸o˜es. Entre 283 e 133a.C.,
uma se´rie de tubulac¸o˜es de chumbo e argila pressurizadas, com 45km de comprimento e operando a
uma pressa˜o superior que 1, 7MPa (180m de altura de carga) foi constru´ıda na atual Turquia (conhe-
cida antigamente como Pergamon). Entretanto, como na˜o houve a possibilidade de atribuir qualquer
nome ao achado na Turquia, a contribuic¸a˜o mais antiga e conhecida para a teoria da mecaˆnica dos
fluidos foi realizada por Arquimedes (285− 212a.C.), o qual formulou e aplicou o princ´ıpio de empuxo
no primeiro ensaio na˜o destrutivo da histo´ria, visando a determinac¸a˜o do teor de ouro do Rei Hiero I.
Logo apo´s, os romanos constru´ıram grandes aquedutos e educaram muitos povos sobre a importaˆncia
da a´gua limpa, pore´m, detinham pouca compreensa˜o da teoria da mecaˆnica dos fluidos.
Durante a Idade Me´dia (se´culo V a XV ) o desenvolvimento de ma´quinas hidra´ulicas ocorreu
lentamente. Bombas a pista˜o foram desenvolvidas para remover a´gua de minas e moinhos movidos a`
a´gua e a vento foram melhorados para moer gra˜os, forjar metais e realizar outras tarefas. Note que
foi a primeira vez na histo´ria da humanidade, a forc¸a muscular e animal, foram substitu´ıda por tais
invenc¸o˜es, possibilitando a posterior Revoluc¸a˜o Industrial.
O per´ıodo entre o final do se´culo XIV ate´ meados do se´culo XV , apresentou um desenvolvimento
cont´ınuo dos sistemas, das ma´quinas de fluido e, o mais importante,adotou o me´todo cient´ıfico. Os
primeiros cientistas a aplicar o me´todo cient´ıfico aos fluidos, quando investigavam as distribuic¸o˜es de
presso˜es e o va´cuo, foram: Simon Stevin (1548− 1617), Galileo Galilei (1564− 1642), Edme Mariotte
1
(1620− 1684) e Evangelista Torricelli (1608− 1647). Este trabalho foi aperfeic¸oado por Blaise Pascal
(1623 − 1662).O primeiro enunciado sobre a continuidade para fluidos foi publicado por Benedetto
Castelli (1577 − 1644). Sir Isaac Newton (1643 − 1727) aplicou suas leis para o fluido e explorou
a ine´rcia e a resisteˆncia dos fluidos, jatos livres e viscosidades. Daniel Bernoulli (1700 − 1782) e
Leonard Euler (1707− 1783) ampliaram os trabalhos iniciado por Newton e definiram as equac¸o˜es de
energia e momento. O primeiro texto sobre a mecaˆnica dos fluidos, Hydrodynamic, foi formulado por
Bernoulli em 1738. Jean d’Alembert (1717− 1789) desenvolveu a ideia de componentes da velocidade
e acelerac¸a˜o, uma expressa˜o diferencial para a continuidade e seu “paradoxo” de resisteˆncia nula para
o movimento em regime permanente uniforme.
Ate´ o fim do se´culo XV III, o desenvolvimento da teoria da mecaˆnica dos fluidos teve pouco
impacto para a engenharia, afinal as propriedades e paraˆmetros dos fluidos eram poucos quantificados
e as teorias eram muitas vezes abstrac¸o˜es. O desenvolvimento da escola de engenharia francesa (Ecole
Polytechnique), liderada por Riche de Prony (1755−1839), alterou drasticamente este cena´rio, atrave´s
da inclusa˜o do ca´lculo e a teoria cient´ıfica no curr´ıculo da engenharia, o que se tornou modelo para
o restante do mundo. Antonie Chezy (1718 − 1798), Louis Navier (1785 − 1836), Gaspard Coriolis
(1792− 1843), Henry Darcy (1803− 1858) e muitos outros que contribu´ıram para o desenvolvimento
da mecaˆnica dos fluidos estavam ligados a` Ecole Polytechnique.
Alguns avanc¸os fundamentais ocorreram em meados do se´culo XIX. Jean Poiseuille (1799−1869)
mediu com precisa˜o o escoamento em tubos capilares de diversos fluidos, enquanto Gotthilf Hagen
(1797−1884) definiu a diferenc¸a entre escoamento laminar e turbulento em tubulac¸o˜es. A continuac¸a˜o
deste trabalho foi realizada por Lord Osborne Reynolds (1842−1912), bem como o desenvolvimento de
um nu´mero adimensional que caracteriza o escoamento. Em paralelo ao trabalho de Navier, George
Stokes (1819 − 1903) completou as equac¸o˜es gerais do movimento dos fluidos com atrito. William
Froude (1810− 1879) desenvolveu, praticamente sozinho, os procedimentos e provou o valor de testar
com modelos f´ısicos. No Estados Unidos, James Francis (1815− 1892) e Lester Pelton (1829− 1908)
apresentaram trabalhos pioneiros em turbinas, enquanto Clemens Herschel (1842 − 1930) inventou o
medidor de Venturi.
No final do se´culo XIX, um grande nu´mero de problemas relacionados com ana´lise dimensional,
escoamento irrotacional, movimento de vo´rtices, cavitac¸a˜o e ondas, foram investigados por William
Thomson (Lord Kelvin, 1824−1907), William Strutt (Lord Rayleigh, 1842−1919) e Sir Horace Lamb
(1849 − 1907). Os trabalhos desenvolvidos por tais cientistas explorou a influeˆncia entre a mecaˆnica
dos fluidos, a termodinaˆmica e a transfereˆncia de calor.
No se´culo XX, mais precisamente em 1904, Ludwig Prandtl (1875 − 1953) demosntrou que os
2
escoamentos dos fluidos podem ser divididos em uma camada pro´xima das paredes (a camada limite),
onde os efeitos do atrito sa˜o significativos e uma camada externa, onde tais efeitos sa˜o desprez´ıveis,
podendo-se aplicar as equac¸o˜es simplificadas de Euler e Bernoulli.
Em meados do se´culo XX, a mecaˆnica dos fluidos se tornou altamente aplica´vel aos modelos de
engenharia e o advento do computador expandiu a aplicac¸a˜o da mecaˆnica dos fluidos em a´reas desde
a aerona´utica ate´ a engenharia de petro´leo.
3
2
Introduc¸a˜o
Lembre-se que nos primeiros cursos de f´ısica uma substaˆncia existe em treˆs estados fundamentais:
so´lido, l´ıquido e gasoso. Substaˆncias que se encontram no estado l´ıquido e gasoso sa˜o denominadas
fluido. Note que os estados fundamentais podem ser reclassificados como so´lido e fluido1. A distinc¸a˜o
entre so´lidos e fluidos se da´ pela capacidade de resisteˆncia enquanto uma forc¸a e´ aplicada, tambe´m
denominada tensa˜o de cisalhamento (τ). Um so´lido pode resistir a uma tensa˜o de cisalhamento,
resultando apenas em uma deformac¸a˜o esta´tica. Um fluido entretanto, na˜o pode resistir; qualquer
tensa˜o de cisalhamento aplicado ao fluido, resultara´ em movimento (ou escoamento, quando poss´ıvel).
Assim, o fluido estara´ em repouso quando a τ = 0 (conhecido como condic¸a˜o de estado hidrosta´tico
de tensa˜o, para ana´lise estrutural) e em movimento quando τ 6= 0.
Para definir a tensa˜o de cisalhamento, considere uma forc¸a ~F agindo sobre uma a´rea A, conforme
a figura 2.1. Decompondo esta forc¸a em sua componentes, ou forc¸a normal (~Fn) e forc¸a tangencial
(~Fn), teremos:
Figura 2.1: Representac¸a˜o esquema´tica de uma forc¸a aplicado em um fluido.
Observe que a forc¸a dividida pela a´rea resulta em tensa˜o:
~F
A
. A componente vertical (ou forc¸a
normal, FN ) dividida pela a´rea representa a tensa˜o normal, a qual sera´ aplicado aos estudos de pressa˜o.
1Fluidos sa˜o substaˆncias que em condic¸o˜es normais de temperatura e pressa˜o (CNTP), na˜o suportam esforc¸os sem
que haja deformac¸a˜o (cont´ınua) durante o tempo de aplicac¸a˜o da forc¸a; como exemplo, temos os l´ıquidos - fluido que
mante´m superf´ıcie de contato e um volume relativamente fixo, e gases - fluido que tende a preencher o recipiente no qual
esta´ contido, na˜o apresentando uma forma ou volume definido.
4
A tensa˜o de cisalhamento (τ) e´ definida como a forc¸a tangencial (componente horizontal) dividida pela
a´rea:
τ =
Ft
A
(2.1)
Pore´m, se os l´ıquidos e os gases sa˜o fluidos, o que os diferencia? A distinc¸a˜o entre os dois tipos
de fluido esta´ ligado aos efeitos das forc¸as de coesa˜o. Um l´ıquido, como e´ composto por mole´culas
relativamente agrupadas com forc¸as coesivas fortes, tende a manter o seu volume e formar uma su-
perf´ıcie livre em um campo gravitacional, conforme a figura 2.2. Mole´culas de gases sa˜o amplamente
espac¸adas, com forc¸as coesivas desprez´ıveis, sendo um ga´s livre para se expandir ate´ os limites das
paredes que o confinam, conforme a figura 2.3.
Figura 2.2: Arranjo atoˆmico de um l´ıquido com grupos de mole´culas que se movem em torno uns
dos outros. Um l´ıquido assume a forma do recipiente que o conte´m, e quando exposto ao campo
gravitacional, forma uma superf´ıcie livre.
Figura 2.3: Arranjo atoˆmico de um ga´s com as mole´culas movendo livre e aleatoriamente. Um ga´s se
expande ate´ preencher todo o espac¸o dispon´ıvel.
5
2.1 A´reas de Aplicac¸a˜o
A mecaˆnica dos fluidos e´ amplamente utilizada no cotidiano, abordando desde atividades dia´rias,
como aspirar uma resideˆncia, ate´ projetos complexos de engenharia, como o desenvolvimento de aero-
naves militares. Ale´m disso, a mecaˆnica dos fluidos explica o bom funcionamento do corpo humano,
por exemplo, o corac¸a˜o nada mais e´ que uma bomba que envia sangue para todas as partes do corpo,
nos pulmo˜es, ha´ escoamento de ar; assim, ma´quinas artificiais desenvolvidas pela engenharia para
auxiliar o trabalho de me´dicos nas diversas enfermidades, se baseia nos princ´ıpios ba´sicos da mecaˆnica
dos fluidos.
Na resideˆncias, muitos conceitos da mecaˆnica dos fluidos sa˜o utilizados para canalizar a a´gua,
excluir o esgoto, enviar ga´s natural e resfriar com sistema de ar condicionado. Eletrodome´sticos, como
a geladeira, utiliza-se de conceitos importantes da mecaˆnica do fluido, visto que fluidos fluem por
tubulac¸o˜es visando a transfereˆncia de calor da mesma.
Note que muitos projetos utilizados atualmente sa˜o reflexos do desenvolvimentodas teorias da
mecaˆnica dos fluidos. Um automo´vel e´ mais eficiente devido a melhora dos componentes que carregam
o combust´ıvel para o motor ate´ a aerodinaˆmica dos modelos visando diminuir o arrasto, tornando-
se mais eficientes. Ana´lises de aeronaves, submarinos, turbinas eo´licas, refrigerac¸a˜o, extrac¸a˜o de
o´leo/ga´s sa˜o importantes exemplos da aplicac¸a˜o desta teoria. Muitos fenoˆmenos naturais, desde chuva
ate´ furaco˜es podem ser estudados e previstos com conceitos ba´sicos (e avanc¸ados) da mecaˆnica dos
fluidos.
6
3
Conceituac¸a˜o de Fluidos
[3], [1]
3.1 Condic¸a˜o de Na˜o-Escorregamento
Considere o escoamento de um fluido num cano estaciona´rio ou sobre uma superf´ıcie so´lida na˜o
porosa, ou impermea´vel ao fluido. Observac¸o˜es experimentais indicam que o fluido assume velocidade
nula (zero) pro´ximo a` superf´ıcies, ou seja, um fluido em contato direto com um so´lido, adere na
superf´ıcie devido aos efeitos viscosos, na˜o ocorrendo o escorregamento. Esta condic¸a˜o e´ conhecida
como de na˜o-escorregamento.
A camada que adere a` superf´ıcie desacelera a camada de fluido adjacente devido aos efeitos das
forc¸as viscosas entre as camadas de fluido, o qual por sua vez, desacelera a pro´xima camada de fluido
adjacente, e assim sucessivamente. Note que a condic¸a˜o de na˜o-escorregamento resulta em um perfil
de velocidade. A regia˜o de escoamento adjacente a` parede na qual os efeitos viscosos (ou gradiente de
velocidade) sa˜o significativos e´ denominado camada limite. A viscosidade e´ a propriedade do fluido
responsa´vel pela condic¸a˜o de na˜o-escorregamento e o desenvolvimento da camada limite.
Uma consequeˆncia da condic¸a˜o de na˜o-escorregamento e´ que todos os perfis de velocidade devem
ter valor nulo, em relac¸a˜o a` superf´ıcie, no ponto de contato fluido e superf´ıcie so´lida (conforme figura
3.1); a outra consequeˆncia, e´ o arrasto de superf´ıcie, ou seja, a forc¸a que o fluido exerce sobre a
superf´ıcie na direc¸a˜o do escoamento.
3.2 Fluido como um Cont´ınuo
[3]
7
Figura 3.1: Fluido movendo-se sobre uma superf´ıcie estaciona´ria. Devido a condic¸a˜o de na˜o-
escorregamento, o fluido atinge o repouso n superf´ıcie da placa. [1]
Ate´ o momento, os fluidos sa˜o agregac¸o˜es de mole´culas, muito espac¸adas para um ga´s e pouco
espac¸adas para um l´ıquido. Essa distaˆncia molecular e´ muito grande se comparado com o diaˆmetro
da mole´cula. Como as mole´culas no fluido na˜o esta˜o fixas em uma estrutura, a determinac¸a˜o de
sua massa espec´ıfica (massa por unidade de volume) torna-se imprecisa, pois o nu´mero de mole´culas
esta´ variando ao longo do volume. Tal efeito torna-se desprez´ıvel a medida que o volume analisado
aumenta, de maneira que o nu´mero de mole´culas torna-se praticamente constante (isto ocorre, por
exemplo, quando o volume e´ comparado com o cubo do espac¸amento molecular). A massa espec´ıfica
(ρ) de um fluido e´ melhor definida como: ρ = lim
∂V→∂V ∗
∂m
∂V
, onde ∂V representa um volume limite, o
qual e´ aproximadamente 10−9mm3 para todos os l´ıquidos e para os gases a` atmosfe´rica 1.
A maioria dos problemas de engenharia trabalha com dimenso˜es f´ısicas muito maiores do que esse
volume limite, tornando a massa espec´ıfica uma func¸a˜o pontual e as variac¸o˜es das propriedades dos
fluidos cont´ınuas no espac¸o. Assim, o fluido e´ chamado de meio cont´ınuo, que simplesmente significa
que as variac¸o˜es das propriedades dos fluidos ocorrem de forma ta˜o suave que o ca´lculo diferencial
pode ser utilizado para analisar a substaˆncia.
3.3 Classificac¸a˜o de Escoamento de Fluidos
Dois aspectos dif´ıceis de tratar na mecaˆnica dos fluidos sa˜o a natureza viscosa dos fluidos e a sua
compressibilidade. Ha´ aproximadamente 260 anos, o escoamento incompress´ıvel e sem atrito foi a
primeira a´rea da mecaˆnica dos fluidos a se tornar altamente desenvolvida. Um paradoxo deixado com
o desenvolvimento desta teoria e´ conhecido como paradoxo d’Alembert o qual menciona que “nenhum
1O valor de 3 × 10−7 mole´culas e´ suficiente para definir que a massa espec´ıfica do ar nas condic¸o˜es padra˜o seja
praticamente constante.
8
corpo experimenta arrasto quando se movimenta em um fluido sem atrito”, o que foge completamente
do comportamento real.
Uma poss´ıvel classificac¸a˜o para a mecaˆnica dos fluidos cont´ınuos e´ a determinac¸a˜o da viscosidade
de uma fluidos. A determinac¸a˜o da viscosidade ou na˜o-viscosidade de um fluido pode ser feita atrave´s
dos conceitos da forc¸a viscosa do sistema e do nu´mero de Reynolds. Um breve resumo sobre tal
classificac¸a˜o pode ser encontrado na figura 3.2.
Figura 3.2: Resumo da classificac¸a˜o do escoamento de fluidos.
3.3.1 Escoamento Viscoso versus na˜o Viscoso
Quando duas camadas de fluido se movimentam, uma forc¸a de atrito se desenvolve, de modo que
uma camada de fluido tende a diminuir alterar a velocidade da outra camada de fluido. Esta resisteˆncia
interna ao escoamento e´ quantificada pela propriedade do fluido denominada viscosidade. Viscosidade
e´ a medida da adereˆncia interna dos fluidos, sendo causadas por forc¸as coesivas em l´ıquidos e coliso˜es
moleculares em gases. Define-se escoamento viscoso todo escoamento no qual os efeitos do atrito na˜o
sa˜o desprez´ıveis. Entretanto, ha´ regio˜es nas quais as forc¸as viscosas sa˜o praticamente desprez´ıveis (isto
ocorre em regio˜es afastadas da superf´ıcie), o que simplifica bastante a ana´lise e a caracteriza como
uma regia˜o de escoamento na˜o viscoso.
9
3.3.2 Escoamento Interno versus Externo
Escoamento externo e´ um escoamento sem limitac¸a˜o de um fluido sobre uma superf´ıcie, por exem-
plo, o escoamento de ar sobre uma bola ou sobre um tubo exposto durante uma ventania.
Escoamento interno ocorre quando o fluido esta´ completamente envolto, ou limitado, por uma
superf´ıcie so´lida (exemplo, tubos e dutos).
3.3.3 Escoamento Compress´ıvel versus Incompress´ıvel
A classificac¸a˜o do escoamento como compress´ıvel ou incompress´ıvel depende do n´ıvel da variac¸a˜o
da densidade durante o escoamento. Note que as propriedades do fluido (massa espec´ıfica) sa˜o des-
prez´ıveis, ou seja, a massa espec´ıfica do sistema permanece constante. Basicamente todos os fluidos em
condic¸o˜es normais de temperatura e pressa˜o sa˜o considerados incompress´ıveis. Para muitos l´ıquidos,
a temperatura apresenta pouca influeˆncia sobre a massa espec´ıfica e dessa forma, sob pressa˜o mode-
rada, os l´ıquidos sa˜o considerados incompress´ıveis. Em escoamentos compress´ıveis, as propriedades do
fluido (massa espec´ıfica) na˜o sa˜o desprez´ıveis. Gases em geral, sa˜o tratados como fluidos compress´ıveis,
entretanto, para escoamentos de gases com transfereˆncia de calor desprez´ıvel pode-se assumir o tra-
tamento incompress´ıvel, desde que a velocidade de escoamento seja pequena em relac¸a˜o a velocidade
do som (c = 346m/s).
Uma forma de equacionar e definir a velocidade de gases e´ utilizar o nu´mero de Mach: Ma =
v
c
,
onde v representa a velocidade do escoamento e c e´ a velocidade do som2. O escoamento e´ denominado
soˆnico quando Ma = 1, subsoˆnico quando Ma < 1, supersoˆnico quando Ma > 1 e hipersoˆnico quando
Ma >> 1. Em geral, gases sa˜o substaˆncias compress´ıveis, pore´m para Ma < 0, 3, a variac¸a˜o ma´xima
da massa espec´ıfica e´ de 5%, e assim, tais sistemas podem ser tratados como incompress´ıveis. Portanto,
para uma velocidade de aproximadamente 100m/s, o ar pode ser tratado como incompress´ıvel.
3.3.4 Escoamento Laminar versus Turbulento
Escoamento laminar e´ caracterizado pelo movimento altamente ordenado dos fluidos, com o movi-
mento de camadas suaves do fluido. Escoamento laminar e´ predominante em fluidos de alta viscosidade,
como por exemplo o´leo em baixas velocidades. Escoamentoturbulento e´ caracterizado pelo movimento
desordenado dos fluidos que ocorre em altas velocidades. Um escoamento que se alterna entre laminar
e turbulento e´ denominado transito´rio. A determinac¸a˜o do tipo de escoamento que ocorre em canos
pode ser definido pelo nu´mero adimensional de Reynolds.
2no caso de gases sera´ dado por: c =
√
k ·R · T (onde k representa a raza˜o entre as massas espec´ıfica a volume e a
pressa˜o constante, R representa a constante do ga´s e T a temperatura
10
3.3.5 Escoamento Natural versus Forc¸ado
Em escoamento natural, na˜o ha´ nenhum agente externo auxiliando o movimento, apenas meios
naturais movimentam o fluido, como o efeito da flutuac¸a˜o, onde o fluido mais quente tende a subir e
o mais frio a descer. Escoamentos forc¸ados necessitam do agente externo, como bombas e ventoinhas.
3.3.6 Escoamento em Regime Permanente versus Regime Na˜o Permanente
O termo regime permanente implica que as propriedades dos fluidos e sua velocidade na˜o variam
com o tempo. O termo regime na˜o-permanente3 implica que as propriedades dos fluidos e sua velo-
cidade variam com o tempo. O termo uniforme, frequentemente utilizado na mecaˆnica dos fluidos,
implica que na˜o existe alterac¸a˜o para um determinado ponto do escoamento.
Figura 3.3: Representac¸a˜o gra´fica do regime na˜o permanente e o regime permanente. Note como a
velocidade se desenvolve ao longo do tempo nos dois regimes. [3].
3.3.7 Escoamento Unidimensional, Bidimensional e Tridimensional
Um campo de escoamento e´ melhor caracterizado pela distribuic¸a˜o de velocidade e a sua va-
riac¸a˜o nas diferentes dimenso˜es. Um escoamento t´ıpico de fluido envolve geometria tridimensional
e a velocidade varia nas treˆs varia´veis espaciais, ou treˆs dimenso˜es. Caso alguma velocidade possa
ser desprez´ıvel, sem que ocorra alguma variac¸a˜o significativa na ana´lise do sistema, um escoamento
pode ser classificado como bidimensional, quando a velocidade depende de duas varia´veis espaciais ou
duas dimenso˜es, ou unidimensional, quando a velocidade depende apenas de uma varia´vel espacial ou
dimensa˜o.
A figura 3.4 apresenta o desenvolvimento de um perfil de velocidade num cano circular para um
escoamento bidimensional. Um perfil de velocidade desenvolve-se completamente e permanece sem
3Usualmente o termo transiente aparece como sinoˆnimo do regime na˜o permanente; pore´m, o regime transiente ocorre
quando o escoamento esta´ se desenvolvendo, enquanto o termo na˜o permanente se aplica para o oposto do regime
permanente.
11
alterac¸o˜es depois de uma certa distaˆncia da entrada, aproximadamente 10 vezes o diaˆmetro do tubo
em escoamentos turbulentos.
Pra simplificar ainda mais a ana´lise que deve ser feita na mecaˆnica dos fluidos, muitas vezes o
conceito de escoamento uniforme em uma dada sec¸a˜o reta e´ utilizado, resultando em um sistema com
velocidade constante. (O resultado apresenta boa precisa˜o)
Figura 3.4: Desenvolvimento do perfil de velocidade em tubo circular. [1].
3.3.8 Descric¸a˜o do Movimento dos Fluidos
O movimento de um fluido pode ser expresso por descric¸o˜es Lagrangianas e Eulerianas.
Na descric¸a˜o Lagrangiana, o movimento e´ descrito com relac¸a˜o a part´ıculas individuais, as quais
sa˜o observadas em func¸a˜o do tempo. A posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de cada part´ıcula sa˜o
relacionadas, respectivamente, por s(x0, y0, z0) , v(x0, y0, z0) e a(x0, y0, z0), lembrando que (x0, y0, z0)
e´ definido como ponto inicial da part´ıcula. Na descric¸a˜o lagrangiana, muitas part´ıculas podem ser
seguidas e a influeˆncia de uma sobre a outra notada pode ser observada. Se uma quantidade de
mate´ria ou uma regia˜o do espac¸o for escolhida para o estudo, um sistema estara´ definido. A massa ou
a regia˜o fora do sistema e´ denominado vizinhanc¸a e a superf´ıcie real ou imagina´ria que separa o sistema
de sua vizinhanc¸a e´ denominada fronteira (a qual pode ser fixa ou mo´vel). Quando uma quantidade
fixa de massa for estudada, teˆm-se um sistema fechado. Mas num escoamento de um fluido o nu´mero
de part´ıculas aumenta extremamente tornando-se dif´ıcil descrever o que ocorre com uma part´ıcula.
A alternativa para acompanhar cada part´ıcula do fluido separadamente e´ identificar pontos no
espac¸o, criando-se um volume de controle ou sistema aberto, e observar a velocidade das part´ıculas
passando em cada ponto; pode-se enta˜o observar a taxa de mudanc¸a da velocidade das part´ıculas que
passam neste ponto, ou
∂v
∂x
,
∂v
∂y
,
∂v
∂z
, e pode-se tambe´m observar a velocidade mudar com o tempo em
12
cada ponto, ou
∂v
∂t
. Esta e´ a descric¸a˜o Euleriana do movimento, onde as propriedades do escoamento,
como a velocidade, sa˜o func¸o˜es tanto do espac¸o como do tempo, e existe o interesse em se determinar
o campo de pressa˜o do escoamento, na˜o apenas as variac¸o˜es de pressa˜o que uma part´ıcula experimenta
(conforme o modelo Lagrangiano).
Um exemplo da diferenc¸a entre estas duas descric¸o˜es pode ser expresso se for analisado o fluxo
de tra´fego em uma rodovia. Pode-se selecionar um trecho da rodovia para o estudo e considerar o
fluxo de carros. Com o passar do tempo, muitos carros entrara˜o e saira˜o deste trecho (campo). Se for
utilizado a descric¸a˜o euleriana, por exemplo, e´ o que faz um engenheiro de tra´fego, o importante a se
observar pode ser a velocidade me´dia como func¸a˜o do tempo e da posic¸a˜o dentro do campo, mais a
taxa de fluxo (nu´mero de carros por hora) que passam nesta sec¸a˜o, ou seja, tal profissional ignora a
especificidade dos carros. Entretanto, um policial rodovia´rio aplica o modelo lagrangiano, pois para
este pode ser importante acompanhar um carro espec´ıfico ao longo do seu deslocamento pela rodovia.
A regia˜o do escoamento que esta´ sendo considerado e´ chamado de campo de escoamento.
A figura 3.5 apresenta um breve resumo sobre escoamento de fluidos.
13
Figura 3.5: Escoamento de Fluidos. [3].
3.4 Te´cnica de Resoluc¸a˜o de Problema
1. Definic¸a˜o do Problema 7→ defina resumidamente e com as pro´prias palavras, as informac¸o˜es
chaves do problema e as quantidades/varia´veis mencionadas.
2. Diagrama Esquema´tico 7→ sempre que poss´ıvel, desenhe um esboc¸o que represente o sistema
f´ısico descrito no enunciado do problema e acrescente as informac¸o˜es importantes para a sua
resoluc¸a˜o.
3. Hipo´teses e Aproximac¸o˜es 7→ informe quaisquer hipo´teses e aproximac¸o˜es apropriadas feita
para simplificar o problema e tornar poss´ıvel a soluc¸a˜o. Considere valores razoa´veis para as
quantidades necessa´rias cujos valores sa˜o desconhecidos.
4. Leis F´ısicas 7→ aplique todas as leis e princ´ıpios f´ısicos relevantes e reduza-os a sua forma mais
simples utilizando as hipo´teses feitas.
14
5. Propriedades 7→ determine as propriedades desconhecidas em estados conhecidos necessa´rios
para resolver o problema por meio de relac¸o˜es entre as propriedades e tabelas.
6. Ca´lculos 7→ substitua as quantidades conhecidas nas relac¸o˜es simplificadas e execute os ca´lculos
para determinar as inco´gnitas. Preste atenc¸a˜o especial nas unidades e ao cancelamento das
unidades. Arredonde os resultados obtidos na calculadora para uma quantidade apropriada de
algarismos significativos.
15
4
Propriedades dos Fluidos
Em um sistema, qualquer caracter´ıstica e´ denominado propriedade. Algumas propriedades sa˜o
familiares, como pressa˜o, temperatura, volume e massa. As propriedades sa˜o consideradas intensivas
ou extensivas. As propriedades intensivas sa˜o independentes da massa de um sistema, como tem-
peratura, pressa˜o e densidade. As propriedades extensivas sa˜o aquelas cujos valores dependem do
tamanho, ou extensa˜o, do sistema, como a massa total e o volume total. As propriedades extensi-
vas sa˜o apresentadascom letras maiu´sculas e as propriedades intensivas sa˜o apresentadas com letras
minu´sculas.
4.1 Massa Espec´ıfica (ρ), Peso Espec´ıfico (γ) e Densidade Relativa
A massa espec´ıfica1 ou densidade absoluta de um fluido e´ o valor de sua massa (m) pela unidade
de volume (∀):
ρ =
m
∀ ;
[
kg
m3
]
A massa espec´ıfica varia pouco para fluidos incompress´ıveis (basicamente fluidos que apresentam
volumes pro´prios: os l´ıquidos) e varia muito para fluidos compress´ıveis (ou fluidos que na˜o apresen-
tam volumes definidos, como gases). A massa espec´ıfica se uma substaˆncia depende, em geral, da
temperatura e da pressa˜o. Para os gases, a massa espec´ıfica e´ diretamente proporcional a` pressa˜o e
inversamente proporcional a` temperatura.
O peso espec´ıfico (γ) e´ o peso (P ) por unidade de volume (V ):
γ =
P
V
⇒ γ = m · g
V
⇒ γ = ρ · g;
[
N
m3
]
1E´ comum encontrarmos o termo densidade em lugar de massa espec´ıfica. Usa-se densidade para representar a raza˜o
entre a massa e o volume de objetos so´lidos (ocos ou macic¸os) e massa espec´ıfica para l´ıquidos e substaˆncias.
16
Tabela 4.1: Massas espec´ıficas de algumas substaˆncias.
Substaˆncias ρ(g/cm3) ρ(kg/m3)
A´gua 1,0 1000
Gelo 0,92 920
A´lcool 0,79 790
Ferro 7,8 7800
Chumbo 11,2 11200
Mercu´rio 13,6 13600
Uma outra forma de se encontrar o peso espec´ıfico ou a massa espec´ıfica e´ utilizar o conceito de
densidade relativa2 (S). Densidade relativa e´ definida como a raza˜o entre a massa espec´ıfica de uma
substaˆncia (o qual queremos determinar) e a massa espec´ıfica da a´gua (utilizada como padra˜o):
S =
ρ
ρH2O
A a´gua sempre sera´ utilizada como padra˜o, dessa forma, na˜o se esquec¸a que a mesma apresenta
densidade igual a 1.
Uma proveta pode ser aproximada por um cone circular reto de 178mm de diaˆmetro e 229mm de
altura. Quando cheio de l´ıquido, apresenta massa de 1, 98kg . Quando vazio, sua massa e´ de 0, 4kg.
Calcule a massa espec´ıfica desse l´ıquido.
Varia´veis: φ = 178mm = 178 · 10−3m; h = 229mm = 229 · 10−3m; mcheio = 1, 98kg; mvazio =
0, 4kg; mliquido = 1, 50kg.
O volume de um cone e´ determinado por: V =
pi
3
· r2 · h⇒ V = pi
3
· (89 · 10−3)2 · 229 · 10−3 ⇒
V = 0, 0019m3
ρ =
1, 58
0, 0019
= 831, 6kg/m3
O peso espec´ıfico de um l´ıquido desconhecido e´ 12400N/m3. Qual e´ a massa do l´ıquido contida
em 500cm3?
Varia´veis: γ = 12400N/m3; m =?; ∀ = 500cm3 = 500 · 10−6m3; g = 9, 8m/s2.
ρ =
m
∀ ⇒ m = ρ · ∀
m = 1240 · 500 · 10−6 ⇒ m = 0, 62kg
2A densidade reativa tambe´m pode ser encontrada em livros textos como gravidade espec´ıfica
17
4.1.1 Viscosidade Absoluta ou Dinaˆmica (µ)
A viscosidade3 (µ) pode ser imaginada como a adereˆncia interna de um fluido, sendo responsa´vel
pelas perdas de energia associadas ao transporte do fluido em dutos, canais e tubulac¸o˜es.
A taxa de deformac¸a˜o de um fluido esta´ diretamente ligada a sua viscosidade. Por exemplo, a
taxa de deformac¸a˜o para um fluido altamente viscoso e´ menor em relac¸a˜o a um fluido com baixa
viscosidade.
Consideremos um escoamento com velocidades diferentes, onde a velocidade da part´ıcula u varia
em relac¸a˜o a coordenada y,
.
Figura 4.1: Representac¸a˜o esquema´tica das laˆminas de escoamento de fluido.
A velocidade de escoamento e´ diferente para cada laˆmina de fluido, pois quanto mais pro´ximo a
parede, a velocidade tende a zero. Na figura 4.1, as part´ıculas encostadas com a parede do tubo na˜o se
movem. Para qualquer ponto a uma distaˆncia y da superf´ıcie do fluido, a velocidade e´ u; mas, quando
houver uma pequena variac¸a˜o de y, havera´ tambe´m uma pequena variac¸a˜o de u e consequentemente
para medirmos a velocidade sera´ necessa´rio utilizar o conceito de gradiente:
du
dy
. Assim, a viscosidade
(µ) do fluido pode ser encontrada com o aux´ılio da tensa˜o de cisalhamento (τ),
τ = µ · du
dy
(4.1)
A unidade da viscosidade (µ) e´
N s
m2
. Antigamente a unidade utilizada para viscosidade era o
3Outro s´ımbolo poss´ıvel para viscosidade e´ a letra η. A viscosidade pode ser entendida como o atrito interno do fluido,
ou a forc¸a4 de atrito entre as diferentes camadas do fluido, as quais se movimentam a diferentes velocidades.
18
poise5, a qual no Sistema CGS de medidas se tornou 1 Poise = 1 g/cm ·s e no Sistema Internacional,
1Pa · s = 10 P . O poise e´ comumente usado com o prefixo centi-. Um centipoise (cP ) equivale a um
milipascal-segundo (mPa · s) ou 1cP = 10−2P = 10−3Pa · s no SI.
Quando a tensa˜o de cisalhamento for proporcional ao gradiente de velocidade (taxa de deformac¸a˜o)
teremos um fluido chamado de Newtoniano (ar, a´gua e o´leo, por exemplo). Pore´m se ao aplicarmos
tal tensa˜o o fluido se torna mais resistente ao movimento, teremos o fluido chamado de dilatante.
Muitas vezes torna-se interessante medirmos ou utilizarmos a viscosidade cinema´tica (ν), a qual e´
definida como a viscosidade absoluta (µ) dividida pela massa espec´ıfica (ρ),
ν =
µ
ρ
. (4.2)
Utilizando a ana´lise dimensional, ou simplesmente a base MLT , teremos para a viscosidade ci-
nema´tica L2T−1 e para a viscosidade absoluta (µ) ML−1T−1 ou, utilizando a base FLT , FL−2T .
O comportamento do fluido em relac¸a˜o a` temperatura e´ muito diferente. Para os l´ıquidos, a
viscosidade diminui com a temperatura, enquanto que para os gases, a viscosidade aumenta com a
temperatura.
4.1.2 Nu´mero de Reynolds
O nu´mero de Reynolds e´ um paraˆmetro que correlaciona o comportamento viscoso de todos os
fluidos Newtonianos. Matematicamente, este nu´mero e´ dado por:
Re =
ρ~vL
µ
=
~vL
ν
. (4.3)
onde, ~v representa a velocidade do escoamento e L o seu comprimento. Lembre-se que ao fazer a
ana´lise dimensional do nu´mero de Reynolds devemos chegar em uma grandeza adimensional.
O nu´mero de Reynolds pode ser utilizado para indicar o tipo de escoamento que o sistema fluidos
tera´. Assim:
• 0 < Re < 1 (Re muito baixo) ⇒ teremos a indicac¸a˜o de um movimento viscoso muito lento.
• 1 < Re < 104 (Re moderado) ⇒ indica um escoamento laminar com uma pequena variac¸a˜o do
fluxo (quanto mais pro´ximo do final da escala, mais pro´ximo ao sistema turbulento estamos).
5Em homenagem ao f´ısico e me´dico franceˆs Jean Louis Marie Poiseuille, o qual publicou va´rios artigos sobre o corac¸a˜o
e a circulac¸a˜o sangu´ınea, proporcionando posteriormente o estabelecimento da lei de fluxo laminar de fluidos viscosos
em tubos cil´ındricos; assim, como forma de homenagem, a unidade da viscosidade no sistema CGS ficou sendo o Poise.
19
Para o que estudaremos neste curso, um valor definido para escoamento laminar e´ um nu´mero
de Reynolds por volta de 2300.
• Re > 104 (Re alto) ⇒ indica um escoamento turbulento.
4.1.3 Compressibilidade
Lembre-se que a tensa˜o de cisalhamento causa uma deformac¸a˜o no fluido que resulta em movimento.
Agora, com os conceitos de compressibilidade vamos estudar deformac¸o˜es que resultam das al-
terac¸o˜es de presso˜es.
Todos os fluidos se comprimem se a pressa˜o aumentar, resultando em um aumento da massa
espec´ıfica. Para descrever esta compressibilidade utilizamos o conceito do mo´dulo da elasticidade
volume´trica (B):
B = lim
∆v→0
=
[
− ∆p
∆∀/∀
]
T
= ρ
dp
dρ
. (4.4)
O mo´dulo de elasticidade volume´trica B tambe´m e´ chamado de coeficiente de compressibilidade,
sendo definido como a variac¸a˜o de pressa˜o (∆p) pela mudanc¸a relativa da massa espec´ıfica (∆ρ/ρ).
L´ıquidos em geral sera˜o tratados como sistemas incompress´ıveis. Por exemplo, o mo´dulo de elas-
ticidade da a´gua e´ 2100 MPa, ou seja, 21.000 vezes a pressa˜o atmosfe´rica (patm = 1 atm); para se
alterar em 1% a massa espec´ıfica da a´gua (ρH2O) e´ preciso uma pressa˜o de 21 MPa (210 atm). Esta
e´ uma pressa˜o muito alta parauma mudanc¸a extremamente pequena. Devido a este fato, l´ıquidos sa˜o
considerados incompress´ıveis.
Assim nos resta pensar que gases sa˜o tratados como sistema compress´ıveis. De fato, gases sa˜o
compress´ıveis, mas para pequenas mudanc¸as ou, por exemplo, para velocidade do ar abaixo de 100m/s,
consideraremos o ga´s como incompress´ıvel. Portanto, sistemas como escoamento do ar em volta de
automo´veis, aterrissagem e decolagem de avio˜es, escoamento do ar dentro e em volta de pre´dios sera˜o
tratados como incompress´ıveis.
Com o mo´dulo de elasticidade volume´trica tambe´m e´ poss´ıvel calcular a velocidade do som em
l´ıquidos. Isto se da´ por:
c =
√
∆p
∆ρ
=
√
B
ρ
. (4.5)
A velocidade do som na a´gua e´ de cH2O = 1450m/s.
20
4.1.4 Tipos de Fluidos
Vimos que quando um fluido obedece a lei τ ∝ du
dy
, este e´ chamado de fluido Newtoniano (ar, a´gua
e o´leo).
Existe uma gama de outros l´ıquidos e semi-l´ıquidos que na˜o obedecem a lei mencionada anterior-
mente. Todos os fluidos ditos na˜o-Newtonianos apresenta uma lei que relaciona a tensa˜o de cisalha-
mento com a taxa de esforc¸o, conforme a figura 4.2.
Figura 4.2: Comportamento reolo´gico de va´rios materiais viscoso: tensa˜o versus taxa de deformac¸a˜o.
Atrave´s do gra´fico podemos identificar quatro tipos de fluidos na˜o-Newtonianos:
• Pla´sticos Ideais → tambe´m conhecidos como fluido de Bingham, este tipo de fluido requer uma
tensa˜o de cisalhamento mı´nimo para que ocorra o movimento. Como exemplo temos: pasta de
dente, manteiga, maionese, chocolate.
• Dilatantes → fluido que fica mais resistente ao movimento com o aumento da tensa˜o. Como
exemplo temos: areia movedic¸a, polpas.
• Pseudo-pla´sticos → fluido que fica menos resistente ao movimento com o aumento da tensa˜o.
21
Como exemplo temos: natas, clara de ovo crua, pureˆ de vegetais.
4.1.5 Escoamento entre Placas
Um problema cla´ssico da mecaˆnica dos fluidos e´ o escoamento de placas paralelas. Para isso,
considere uma placa inferior fixa e uma placa superior movendo-se com uma velocidade, conforme a
figura 4.1.
O espac¸amento entre as placas e´ h e o fluido considerado e´ o Newtoniano. Como na˜o ha´ escor-
regamento entre as placas, na˜o havera´ pressa˜o na direc¸a˜o do escoamento e, assim, a acelerac¸a˜o sera´
nula. Como a distaˆncia entre as placas e´ extremamente pequena (em casos reais), pode-se aproximar
o gradiente de velocidade(du/dy) para um perfil linear de velocidade (ou distribuic¸a˜o de velocidade
linear). Assim,
u(y) =
du
dy
=
v
h
(4.6)
Retornando a equac¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento e reescrevendo a equac¸a˜o com o novo perfil linear
de velocidade, a viscosidade pode ser expressa por:
τ = µ · du
dy
= µ · v
h
. (4.7)
Suponha que o fluido que esta´ sendo cisalhado e´ um o´leo SAE30 a 20◦C. Calcule a tensa˜o de
cisalhamento no o´leo se a v = 3m/s e h = 2cm.
Varia´veis: µSAE30 = 0, 29kg/ms; τ =?; v = 3m/s; h = 2cm = 2 · 10−2m.
τ = µ · v
h
⇒ τ = 0, 29 · 3
2 · 10−2 ⇒
τ = 43
kg
m · s2 = 43
N
m2
= 43Pa
4.1.6 Estudo de Cilindros - Torque
Considere um fluido dentro de um pequeno intervalo entre dois cilindros conceˆntricos. Um torque
e´ necessa´rio para girar o cilindro interno com velocidade ω, enquanto o cilindro externo permanece
estaciona´rio. Essa resisteˆncia a rotac¸a˜o e´ devido a viscosidade do fluido. A u´nica tensa˜o que resiste
ao torque durante o escoamento e´ a tensa˜o de cisalhamento (τ = µ · du
dy
). Para um intervalo muito
pequeno (h � R), pode ser feita uma aproximac¸a˜o desse gradiente assumindo-se uma distribuic¸a˜o
22
linear de velocidade. Dessa forma, o gradiente de velocidade se tornara´:
du
dy
=
v
h
=
v
h
=
ωR
h
,
onde h e´ a espessura da pel´ıcula de fluido entre os cilindros. Relacionando, o torque aplicado (T ), a
viscosidade e aos outros paraˆmetros da equac¸a˜o, temos:
T = tensa˜o× a´rea× brac¸o do momento (4.8)
T = τ × 2pi ·R · L×R = µ · ωR
h
× 2pi ·R · L×R
T =
2pi · µ · ω ·R3 · L
h
(4.9)
Um viscos´ımetro e´ constru´ıdo com dois cilindros conceˆntricos de 30cm de comprimento, um com
20cm de diaˆmetro e outro com 20, 2cm de diaˆmetro. Um torque de 0, 13Nm e´ necessa´rio para girar o
cilindro interno a 400rpm. Calcule a viscosidade.
Varia´veis: R = 10cm; R = 10 · 10−2m; h = φ2 − φ1
2
; h = 0, 1cm = 0, 1 · 10−2m; ω = 400rpm =
400 · 2pi
60
= 41, 89rad/s; µ =?.
Utilizando a equac¸a˜o do torque, vamos isola a viscosidade:
T =
2pi · µ · ω ·R3 · L
h
⇒ T · h = 2pi · µ · ω ·R3 · L⇒ T · h
2pi · ω ·R3 · L = µ⇒
µ =
0, 13 · 0, 1 · 10−2
2pi · 41, 89 · (10 · 10−2)3 · 30 · 10−2 ⇒ µ = 0, 001646Ns/m
2
4.2 Exerc´ıcios
1. Se 6m3 de o´leo pesam 4800kg, calcular o peso espec´ıfico, a massa espec´ıfica e a sua densidade
(relativa).
2. Teˆm-se duas placas planas, sendo uma mo´vel com a´rea de 2m2 e outra fixa (extensa), distanciadas
em 1mm. Entre elas, ha´ fluido de viscosidade absoluta 0, 001kgf · s/m2. Sabendo-se que a placa
se movimenta com velocidade constante de 1m/s, calcule a forc¸a tangencial que propulsiona tal
movimento. Considere o perfil linear de velocidades.
3. Uma placa mo´vel esta´ a velocidade constante de 0, 5m/s e distante da placa fixa 0, 7cm. Entre
elas e´ colocado um o´leo que sofre tensa˜o de cisalhamento de 0, 07kgf/m2. Determine a vis-
cosidade absoluta do o´leo no Sistema Internacional de Unidades. Considere o perfil linear de
velocidades.
23
4. Um fluido apresenta massa espec´ıfica de 1000kg/m3 e viscosidade cinema´tica de 0, 01cm2/s.
Qual sera´ a viscosidade absoluta do fluido em ?
5. Quanto vale o peso em N de 120mL de um fluido cuja massa espec´ıfica e´ 2600kg/m3?
6. Considere um sistema com duas placas paralelas, sendo a inferior fixa, se o fluido entre as placas
e´ a glicerina a 20◦C e a largura entre as placas e´ 6mm. Determine a tensa˜o de cisalhamento
necessa´ria para mover a placa superior a 5, 5m/s? Qual e´ o nu´mero de Reynolds se a dimensa˜o
representativa e´ distaˆncia entre placas?
7. Um bloco de peso P desliza para baixo em um plano inclinado, com aˆngulo θ, enquanto e´
lubrificado por um filme fino de o´leo. A a´rea de contato do filme e´ A e sua espessura e´ h.
Considerando uma distribuic¸a˜o linear de velocidade no filme, deduza uma expressa˜o para a
velocidade “terminal” (com acelerac¸a˜o igual a zero) v do bloco.
8. Um sistema e´ composto por uma correia plana que se move a uma velocidade constante v e
desliza no topo de um tanque de o´leo de viscosidade (mu). Considerando uma distribuic¸a˜o
linear do perfil de velocidade no o´leo, desenvolva uma fo´rmula simples para a poteˆncia (P ) para
acionar a correia como uma func¸a˜o do comprimento L e da largura b da correia, a profundidade
h e a viscosidade mu do o´leo, e a velocidade linear v da correia. Qual a poteˆncia necessa´ria,
em watts, se a correia move-se a 2, 5m/s em o´leo SAE30W a 20◦C, com L = 2m, b = 60cm e
h = 3cm?
9. O´leo SAE30 a 20◦C preenche um disco de 40cm de diaˆmetro com espessura da pel´ıcula de
0, 16cm entre as superf´ıcies. Estime o torque necessa´rio para o disco quando a velocidade for de:
200rpm, 600rpm e 1200rpm.
10. A´gua a 20◦C flui em um tubo com diaˆmetro de 0, 8cm com distribuic¸a˜o de velocidade u(r) =
5 · (1− r
2)
16 · 106 (m/s). Calcule a tensa˜o de cisalhamento no tubo .
24
5
Esta´tica dos Fluidos
Um fluido pode ser definido atrave´s da aplicac¸a˜o de uma tensa˜o de cisalhamento (), onde a
substaˆncia escoara´ ou deformara´ continuamente enquanto tal forc¸a agir. Assim, para uma tensa˜o
de cisalhamento igual a zero, o fluido esta´ em repouso. Muitos problemas de mecaˆnica dos fluidos na˜o
envolvem movimento, apenas tratam da distribuic¸a˜o de pressa˜o em um fluido esta´tico e seus efeitos
sobre superf´ıciesso´lidas e sobre corpos flutuantes e submersos. Um fluido esta´tico aproxima-se de um
corpo r´ıgido, onde somente tenso˜es normais esta˜o presentes, ou seja, PRESSA˜O. Dessa forma, quando
a velocidade do fluido for nula, ou simplesmente quando o fluido estiver na condic¸a˜o hidrosta´tica, a
variac¸a˜o da pressa˜o depende apenas do peso do pro´prio fluido. Observa-se as aplicac¸o˜es deste conceito
em: distribuic¸a˜o de pressa˜o em oceanos e atmosfera; projeto de instrumentos de medida de pressa˜o
(manoˆmetros); forc¸as sobre superf´ıcies submersas, planas e curvas; empuxo em corpos submersos;
comportamento de corpos flutuantes.
A esta´tica, e´ o estudo onde na˜o ha´ o movimento e dessa forma, na˜o havera´ tensa˜o de cisalhamento.
A u´nica tensa˜o de interesse sera´ a tensa˜o normal (ou, pressa˜o). Quando um fluido esta´ em repouso
em relac¸a˜o ao recipiente, ou seja, quando a sua velocidade de escoamento for nula, o fluido encontra-se
em equil´ıbrio hidrosta´tico.
A parte pra´tica desse estudo e´ o estudo de barragens, sistemas hidra´ulicos e pneuma´ticos.
Pressa˜o ⇒ e´ a u´nica tensa˜o que existe onde na˜o ha´ movimento. Assim, as forc¸as de pressa˜o sa˜o
forc¸as perpendiculares a` superf´ıcie sobre a qual atuam. Se for considerado o equil´ıbrio hidrosta´tico, as
forc¸as de pressa˜o num ponto do seu interior: (1) exercem-se perpendicularmente em todas as direc¸o˜es
e sentidos e (2) aumentam com a profundidade.
25
5.1 Pressa˜o em um ponto e Gradiente de pressa˜o
A esta´tica, e´ o estudo onde na˜o ha´ o movimento e dessa forma, na˜o havera´ tensa˜o de cisalhamento.
A u´nica tensa˜o de interesse sera´ a tensa˜o normal (pressa˜o). Quando um fluido esta´ em repouso em
relac¸a˜o ao recipiente, ou seja, a sua velocidade de escoamento e´ nula, o fluido encontra-se em equil´ıbrio
hidrosta´tico.
Considere um fluido em repouso, o qual na˜o pode suportar tenso˜es de cisalhamento (figura 5.1). A
tensa˜o normal em qualquer plano por meio de um elemento de fluido em repouso e´ uma propriedade
do ponto chamada de pressa˜o (p) do fluido, considerada positiva para compressa˜o (convenc¸a˜o usual).
.
Figura 5.1: Um so´lido em repouso pode resistir a` tensa˜o de cisalhamento. (a) Deflexa˜o esta´tica do
so´lido. Um fluido na˜o pode resistir a` tensa˜o de cisalhamento. (c) Paredes de contenc¸a˜o sa˜o necessa´rias.
A figura 5.2 apresenta uma pequena cunha de um fluido em repouso de tamanho M x por M z por
M n e profundidade b normal ao papel. Por definic¸a˜o na˜o ha´ cisalhamento, mas postulamos que as
presso˜es px, py e pz podem ser diferentes em cada face. Considerando que o elemento seja pequeno,
consequentemente a pressa˜o sera´ constante em cada face. A resultante das forc¸as deve ser igual a zero
(sem acelerac¸a˜o) nas direc¸o˜es x e z
∑
Fx = 0 = px · b· M z − pn · b · M s · senθ
∑
Fz = 0 = pz · b· M x− pn · b · Ms · cos θ − 1
2
ρ · g · b · Mx · Mz,
pore´m a geometria da cunha define que M s · senθ =M z e M s · cosθ =M x.
Substituindo as equac¸o˜es acima nas anteriores, teremos
px = pz
pz = pn +
1
2
· ρ · g· M z
26
.
Figura 5.2: Equil´ıbrio de uma pequena cunha de fluido em repouso.
Tais relac¸o˜es apresentam dois princ´ıpios importantes da condic¸a˜o hidrosta´tica, ou livre de cisalha-
mento:
1. na˜o ha´ variac¸a˜o de pressa˜o na direc¸a˜o horizontal;
2. ha´ uma variac¸a˜o de pressa˜o na direc¸a˜o proporcional a` massa espec´ıfica, a` gravidade e a` variac¸a˜o
da profundidade.
Para o limite, quando a cunha de fluido tende a um ponto (M z → 0), as equac¸o˜es para a pressa˜o
se tornam iguais: px = pz = pn = p . Como o aˆngulo e´ arbitra´rio, conclui-se que a pressa˜o (p) em um
fluido esta´tico e´ uma propriedade do ponto, independente da orientac¸a˜o.
A pressa˜o causa uma forc¸a l´ıquida em um elemento de fluido quando ela varia espacialmente.
Considere a pressa˜o agindo sobre as duas faces x na figura 5.3. Admitindo que a pressa˜o varie
arbitrariamente,
p = p(x, y, z, t)
.
Figura 5.3: Forc¸a l´ıquida sobre um elemento em decorreˆncia da variac¸a˜o de pressa˜o.
A forc¸a l´ıquida na direc¸a˜o x sobre o elemento da figura 5.3 e´ dado por
27
dFx = p · dydz–
(
p+
∂p
∂x
dx
)
dydz = −∂p
∂x
dxdydz
De maneira semelhante, a forc¸a l´ıquida dFy envolve −∂p
∂y
, e a forc¸a l´ıquida dFz envolve −∂p
∂z
. O
vetor da forc¸a l´ıquida total sobre o elemento em decorreˆncia da pressa˜o e´
d~Fpressa˜o =
(
−iˆ ∂p
∂x
− jˆ ∂p
∂y
− kˆ ∂p
∂z
)
dxdydz
Note que o termo entre pareˆnteses representa o negativo do vetor gradiente de pressa˜o (−∇p).
Assim, podemos reescrever a expressa˜o como fpressa˜o = −nablap. Na˜o e´ pressa˜o, mas sim o gradiente
de pressa˜o que causa a forc¸a l´ıquida a ser equilibrada pela gravidade ou acelerac¸a˜o ou algum outro
efeito no fluido. Assim, se assumirmos uma pressa˜o, por exemplo, no centro de cada uma das faces, a
pressa˜o p(x, y, z) sera´ dada por:
dp =
∂p
∂x
dx+
∂p
∂y
dy +
∂p
∂z
dz
5.2 Fluidos em repouso
Como ja´ vimos, a pressa˜o e´ a u´nica tensa˜o que existe quando na˜o ha´ movimento. Assim, as forc¸as
de pressa˜o sa˜o forc¸as perpendiculares a` superf´ıcie sobre a qual atuam. Se for considerado o equil´ıbrio
hidrosta´tico, as forc¸as de pressa˜o num ponto do seu interior:
1. exercem-se perpendicularmente em todas as direc¸o˜es e sentidos e;
2. aumentam com a profundidade.
Matematicamente, podemos definir uma variac¸a˜o de pressa˜o como:
dp = −ρ · g · dz ⇒ dp
dz
= γ
Note que esta equac¸a˜o demonstra que na˜o ha´ variac¸a˜o de pressa˜o nas direc¸o˜es x e y, ou simples-
mente no plano horizontal. Note tambe´m que dp e´ negativo se dz e´ positivo, ou seja, a pressa˜o diminui
conforme nos movimentamos para cima e aumenta quando nos movimentamos para baixo 1.
Considerando um l´ıquido em repouso e uma massa espec´ıfica constante, a equac¸a˜o anterior pode
ser integrada, resultando em,
1DICA!!! Uma outra forma de apresentar a pressa˜o, e´ considerarmos para o sistema a parte abaixo do zero do eixo z
(vertical) como sendo crescente (positiva) e aparte posterior do eixo z como negativa. Lembre-se pore´m que a pressa˜o e´
crescente (aumenta) com a profundidade!!! Caso voceˆ lembre sempre desta dica, o sinal negativo da equac¸a˜o de pressa˜o
pode ser omitido. Note que a dica reflete exatamente o que a teoria apresenta.
28
∫
dp = −ρ · g
∫
dz ⇒M p = γ· M z.
Se o ponto de interesse para se determinar a pressa˜o estiver a uma distaˆncia h de uma superf´ıcie
livre (superf´ıcie que separa o ga´s de um l´ıquido), a equac¸a˜o se tornara´ p = γ · h. Esta equac¸a˜o sera´
bastante u´til para converter a pressa˜o de uma altura equivalente a coluna de l´ıquido.
5.3 Manometria
A relac¸a˜o hidrosta´tica ba´sica
(
dp
dz
= −γ
)
, e´ matematicamente correta, mas incoˆmoda para os
engenheiros, pois e´ necessa´rio combinar dois sinais negativos para fornecer um aumento de pressa˜o para
baixo. Ao calcularem as variac¸o˜es de pressa˜o hidrosta´tica, os engenheiros trabalham instintivamente,
considerando que a pressa˜o aumenta para baixo e diminui para cima.
5.4 Princ´ıpio de Pascal
A pressa˜o aplicada a um l´ıquido fechado num recipiente se transmite, sem qualquer diminuic¸a˜o a
todos os pontos do fluido e a`s paredes do recipiente.
A pressa˜o aplicada a` superf´ıcie livre de um fluido em repouso e´ transmitida igualmente a todos os
pontos de um fluido. Por definic¸a˜o,
p =
F
A
. (5.1)
Assim, pelo princ´ıpio de Pascal,
p1 = p2
F1
A1
=
F2
A2
F2 = F1
A2
A1
.
29
O pista˜o de uma prensa hidra´ulica tem o raio de 20cm. Qual e´ a forc¸a que deve ser aplicado ao
pequeno pista˜o, de raio 2cm, para que se possa levantar, no pista˜o maior, um carro com a massa de
150kg?
Varia´veis: r1 = 20cm = 20 · 10−2m; r2 = 2cm = 2· 10−2m; m = 150kg.
Vamos calcular a forc¸a:
F = m · g ⇒ F1 = 150 · 9, 81⇒
F1 = 1, 47 · 103N
Aplicando a Lei de Pascal:
F2 = F1
A2
A1
⇒ F2 = 1, 47 · 103 · pi(2 · 10
−2)2
pi(20 · 10−2)2 ⇒
F2 = 14, 7N
A prensa hidra´ulica esta´ em equil´ıbrio. No lado menor desta prensa, a forc¸a aplicada e´ de 28kgf
enquanto a sua a´rea e´ de 2a. Qual e´ a forc¸a do eˆmbolo no lado onde a a´rea e´ de 5a?
Varia´veis: F1 = 28kgf ; A1 = 2a; A2 = 5a.
Aplicando a Lei de Pascal:
F2 = F1
A2
A1
⇒ F2 = 28 · 5a
2a
⇒ F2 = 70kgf
As a´reas dos pisto˜es do dispositivo hidra´ulico mante´m a relac¸a˜o 50 : 2. Verifica-se que o peso
P , colocado sobre o pista˜o maior e´ equilibrado por uma forc¸a de 30N no pista˜o menor, sem ocorrer
alterac¸a˜o do n´ıvel do fluido. Quanto vale o peso?
Varia´veis: F2 = 30N ; A1 = 50; A2 = 2.
Aplicando a Lei de Pascal:
F1
A1
=
F2
A2
⇒ P
50
=
30
2
⇒
P =
50 · 30
2
⇒ P = 750N
Ja´ descobrimos como calcular a pressa˜o e aplicar a Lei de Pascal. Mas a primeira versa˜o da pressa˜o
30
a ser calculada seria a pressa˜o atmosfe´rica (patm), a qual representa o peso da camada de ar existente
sobre a superf´ıcie da Terra. Matematicamente,
1atm = 760mmHg = 1 · 105Pa
Pore´m, nos estudos de hidrosta´tica e´ comum relacionarmos pressa˜o a um l´ıquido ideal, incom-
press´ıvel e sem viscosidade (sem tensa˜o de cisalhamento).
Imagine a seguinte situac¸a˜o: um cilindro de a´rea contendo um l´ıquido de massa espec´ıfica (figura
5.4). Utilizando a equac¸a˜o da massa espec´ıfica podemos escrever as seguintes relac¸o˜es:
.
Figura 5.4: Cilindro de a´rea A, totalmente preenchido por um l´ıquido com massa espec´ıfica conhecida.
ρ =
m
∀ e ∀ = A · h
portanto
m = ρ ·A · h
A forc¸a que o l´ıquido exerce sobre a a´rea (A) e´ o seu peso: F = P = m · g ⇒ P = ρ ·A · h · g.
Retornando na equac¸a˜o da pressa˜o e substituindo o que aprendemos acima:
p =
F
A
⇒ p = ρ ·A · h · g
A
⇒ p = ρ · h · g
5.5 Lei de Stevin
Considere um recipiente contendo um l´ıquido homogeˆneo em equil´ıbrio esta´tico. Matematicamente,
essa condic¸a˜o de esta´tica e´ relacionada por:
∑
Fdx, dy, dz = 0, ou seja, ao longo do plano xz, temos
que a forc¸a e´ constante.
Assim a primeira conclusa˜o que podemos tirar e´ que a pressa˜o ao longo de um plano horizontal
e´ constante num fluido em repouso.
Entretanto, na direc¸a˜o y, o volume da part´ıcula na˜o e´ zero:
∂py
∂y
= ρ · g, o que indica que a pressa˜o
varia ao longo de y. Analisando a variac¸a˜o da pressa˜o ao longo de um comprimento finito, temos:
31
∫
∂py =
∫
ρ · y∂y ⇒ py = ρ · q · y + C
Resumo: o aumento da pressa˜o de um fluido, quando se passa de um ponto para outro (a maior
profundidade) no interior do fluido em equil´ıbrio hidrosta´tico, depende da massa volume´trica do fluido
e e´ proporcional ao desn´ıvel: pB − pA = ρ · g · h .
Retornando ao recipiente acima mencionado (conforme figura abaixo), podemos retratar a Lei de
Stevin de outra forma. Enta˜o, vamos tomar as presso˜es nos pontos indicados na figura:
.
pA = ρ · g · hA
e
pB = ρ · g · hB
A diferenc¸a entre as presso˜es sera´ o que conhecemos pela Lei de Stevin2:
pB − pA = ρ · g · 4h
A lei de Stevin pode ser subdividida em duas partes:
1. Pressa˜o Hidrosta´tica: so´ leva em considerac¸a˜o o l´ıquido (p = ρ · g · h)
2. Pressa˜o Absoluta: leva em considerac¸a˜o o l´ıquido e o ar (p = patm + ρ · g · h)
As consequeˆncias da Lei de Stevin sa˜o:
1. pontos no mesmo plano horizontal suportam a mesma pressa˜o;
2. a separac¸a˜o entre l´ıquido na˜o misc´ıveis (que na˜o se misturam) e´ um plano horizontal;
3. para vasos comunicantes com dois l´ıquidos na˜o misc´ıveis, temos que a altura de cada l´ıquido e´
inversamente proporcional a`s massas espec´ıficas.
.
px = py
patm + ρx · g · hx = patm + ρy · g · hy
ρx · hx = ρy · hy
2O aumento da pressa˜o de um fluido, num dado local, quando passa de um ponto a outro (em maior profundidade)
no interior do fluido (em equil´ıbrio hidrosta´tico) depende da massa volume´trica do fluido e e´ proporcional ao desn´ıvel
entre os pontos referidos.
32
Determine o desn´ıvel H, sendo o l´ıquido A de ρ = 0, 6g/cm3 e o l´ıquido B de ρ = 1, 0g/cm3,
separadas por uma altura de 20cm .
Varia´veis: H =?; ρA = 0, 6g/cm
3; ρB = 1, 0g/cm
3; hA = 20cm.
patm + ρA · g · hA = patm + ρB · g · hB ⇒ ρA · hA = ρB · hB ⇒
hB =
ρA
ρB
· hA ⇒ hB = 0, 6
1, 0
· 20⇒ hB = 12cm
Como queremos encontrar o desn´ıvel:
hA = H + hB ⇒ H = hA − hB ⇒ H = 8cm
A´gua e o´leo de densidades 1, 0g/cm3 e 0, 8g/cm3, respectivamente, sa˜o colocados em um sistema
de vaso comunicante. Sendo 16cm a altura do o´leo, determine a altura da coluna de a´gua medida
acima do n´ıvel de separac¸a˜o entre os l´ıquidos.
Varia´veis: ρagua = 1, 0g/cm
3; ρoleo = 0, 8g/cm
3; holeo = 16cm; hagua =?.
ρA · hA = ρO · hO ⇒ hA = ρOhO
ρA
⇒ hA = 0, 8 · 16
1, 0
⇒ hA = 12, 8cm
5.6 Pressa˜o Hidrosta´tica
Considerando um fluido em repouso a velocidade constante, a distribuic¸a˜o de pressa˜o se da´ por:
5p = ρ · g; essa e´ a distribuic¸a˜o hidrosta´tica e e´ correta para todos os fluidos em repouso, indepen-
dentemente da sua viscosidade.
Como o 5p alinha suas superf´ıcies de pressa˜o com a g, dp
dz
= ρ ·g = γ e´ conhecido como a condic¸a˜o
hidrosta´tica. Assim,
p2 − p1 =
∫ 2
1
γdz,
esta e´ a soluc¸a˜o do problema hidrosta´tico e como conclusa˜o temos:
• a pressa˜o em um fluido uniforme, distribu´ıdo continuamente, varia apenas com a distaˆncia
vertical e e´ independente da forma do recipiente;
• a pressa˜o e´ a mesma em todos os pontos sobre um dado plano horizontal no fluido;
• a pressa˜o aumenta com a profundidade
33
Observando a figura abaixo, podemos tambe´m concluir:
.
• A,B,C ⇒ tem a mesma profundidade, ou seja, um plano horizontal igual e por isso apresentam
mesma pressa˜o (mesmo fluido);
• a, b, c ⇒ tem a mesma profundidade e plano horizontal igual, entretanto a e b apresentam a
mesma pressa˜o (mesmo l´ıquido) enquanto c apresenta outra pressa˜o; a pressa˜o de todos e´ maior
que A, B e C.
Um lago de a´gua doce tem uma profundidade ma´xima de 60m, e a patm me´dia e´ de 91kPa. Calcule
a pressa˜o absoluta em kPa na profundidade ma´xima. Dado: γaguadoce = 9790N/m
3
p2 − p1 = γ
∫
dz ⇒ p2 − p1 = γ · (z2 − z1)⇒ p2 = γ(z2 − z1) + p1 ⇒
p2 = 9790 · (60− 0) + 91000⇒ p2 = 678kPa
5.7 Princ´ıpio de Arquimedes
Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma forc¸a de
baixo para cima, na vertical, denominada EMPUXO (E).
Arquimedes, ha´ mais de 200 anos a.C., estabeleceu a perda aparente do peso do corpo, devida ao
empuxo, quando mergulhado num l´ıquido. Segundo o seu Princ´ıpio: todo corpo mergulhado, total ou
parcialmente, num fluido em repouso, recebe um empuxo, de baixo para cima, de intensidade igual ao
peso do fluido deslocado.
Se um corpo esta´ mergulhado num l´ıquido de massa espec´ıfica ρL e desloca volume ∀D do l´ıquido,
num local onde a acelerac¸a˜o da gravidade e´ g, temos que: (1) peso do l´ıquido deslocado e´ PD = mD ·g;
lembrando-se que a massa espec´ıfica e´ dada por (ρ =
m
∀ ), a massa pode ser reescrita comomD = ρL·∀D.
34
Assim o peso do l´ıquido deslocado pode ser escrito como: PD = ρL · ∀D · g . Segundo Arquimedes,
como E = PD:
E = ρL · ∀D · g
Importante:
Flutuac¸a˜o: Ocorre quando temos um corpo na superf´ıcie de um fluido cujo peso deste corpo e´ igual
ao Empuxo sobre ele (P = E).
.
Figura 5.5: Forc¸as atuantes em um so´lido. So´lido solto em um fluido.
A um bloco de concreto pesa 445N no ar e 267 na a´gua doce (9802N/m3). Qual e´ o peso espec´ıfico
me´dio do bloco?
FR = P − E = 445− 267 = 178N
E = ρ · g · ∀ ⇒ E = γ · ∀ ⇒ ∀D = 178
9802
⇒ ∀D = 0, 018m3
γ =
P
∀ ⇒ γ =
445
0, 018
⇒γ = 24722N/m3
A esta´tica do fluido nos permite concluir que:
1. a pressa˜o no interior de um l´ıquido em equil´ıbrio hidrosta´tico aumenta com a profundidade;
2. a superf´ıcie livre de um l´ıquido em equil´ıbrio hidrosta´tico e´ plana e horizontal;
35
3. dois pontos que se encontram no mesmo n´ıvel, no interior de um l´ıquido, em equil´ıbrio hi-
drosta´tico esta˜o a mesma pressa˜o;
4. dois pontos que se encontrem ao mesmo n´ıvel, no interior de um l´ıquido, contido num sistema
de vasos comunicantes, em equil´ıbrio hidrosta´tico, esta˜o a` mesma pressa˜o;
5. num sistema de vasos comunicantes, com dois l´ıquidos na˜o misc´ıveis, em equil´ıbrio hidrosta´tico,
as alturas dos l´ıquidos, medidas a partir da superf´ıcie de separac¸a˜o, sa˜o inversamente proporci-
onais a`s massas volume´tricas dos dois l´ıquidos (
h1
h2
=
ρ2
ρ1
).
5.8 Medidas de Pressa˜o e Manometria
As medidas de pressa˜o sa˜o realizadas em relac¸a˜o a uma determinada pressa˜o de refereˆncia. Usual-
mente, adota-se como refereˆncia a pressa˜o nula existente no va´cuo absoluto ou a pressa˜o atmosfe´rica
local. Chama-se de pressa˜o absoluta aquela que e´ medida em relac¸a˜o a` pressa˜o nula do va´cuo absoluto.
Denomina-se pressa˜o relativa aquela que e´ medida em relac¸a˜o a` pressa˜o atmosfe´rica local.
Geralmente, os instrumentos medidores de pressa˜o (manoˆmetros3), indicam a diferenc¸a entre a
pressa˜o medida e a pressa˜o atmosfe´rica local, ou seja, medem a pressa˜o relativa, que pode ser positiva
ou negativa. As presso˜es relativas negativas, tambe´m chamadas de presso˜es de va´cuo, sa˜o aquelas
menores que a pressa˜o atmosfe´rica local. Assim, a equac¸a˜o utilizada para a pressa˜o absoluta e´ dada
por:
pabsoluta = patm + prelativa
A pressa˜o atmosfe´rica local pode ser medida atrave´s de um baroˆmetro. Assim, vejamos alguns
exemplos de manoˆmetros.
5.8.1 Tubo U (pequenas presso˜es)
Nesse caso, a pressa˜o no tubo pode ser determinada definindo-se por exemplo um ponto 1no centro
do recipiente e um ponto 2 na superf´ıcie da coluna.
Obs: a pressa˜o manome´trica e´ uma pressa˜o seleciona´vel; assim, podemos considerar quando esti-
vermos procurando a pressa˜o manome´trica e quando estivermos procurando a pressa˜o absoluta.
3Instrumentos que utilizam colunas de l´ıquidos para medir a pressa˜o.
36
.
p1 = p2
p1 + γ · z1 = p2 + γ · z2 p1 = γ4h
Qual e´ a pressa˜o manome´trica dentro de uma tubulac¸a˜o onde circula ar, se o desn´ıvel de mercu´rio
observado no manoˆmetro de coluna e´ de 4mm? Considere: ρHg = 13600kg/m
3 e g = 9, 81m/s2.
pMan = ρHg · g · h
pMan = 13600 · 9, 81 · 4 · 10−3
pMan = 533, 6Pa
5.8.2 Tubo U (Altas presso˜es)
Nesse caso, imagine o peso espec´ıfico γ2 muito maior que γ1; a pressa˜o e´ dada por:
p1 = p2
p1 + γ1 · h = p3 + γ2 ·H
p1 = γ2 ·H − γ1 · h
Uma dica para resolver tal exerc´ıcio e´ pensarmos na relac¸a˜o da pressa˜o com a profundidade e
lembrarmos de vetores. Assim, quando o vetor apontar para baixo, devemos somar a pressa˜o e
subtrair caso aponte para cima.
O medidor de pressa˜o B deve medir a pressa˜o no ponto A em um escoamento de a´gua. Se a
pressa˜o em B e´ de 87kPa, calcule a pressa˜o em A em kPa. Admita os fluidos a 20◦C. Considere:
γagua = 9790N/m
3, γHg = 133100N/m
3 e γoleo = 8720N/m
3.
37
.
pA + γH2O · hH2O − γHg · hHg − γoleo · holeo = pB
pA + 9720 · 0, 05− 133100 · (0, 11− 0, 04)− 8720 · 0, 06 = 87000
pA = 87000− 489, 5 + 9317− 523, 2
pA = 96350Pa = 96, 4kPa
5.8.3 Piezoˆmetro
Tubo de vidro onde e´ poss´ıvel medir o deslocamento do fluido. Conhecendo-se a altura e a massa
espec´ıfica do fluido, podemos aplicar a equac¸a˜o manome´trica:
. patm + ρ · g · h = ptubo
E´ utilizado para medir presso˜es acima da pressa˜o atmosfe´rica e abaixo de altas presso˜es.
5.8.4 Manoˆmetro Meta´lico ou de Bourdon
Encontrado em posto de gasolina, para calibragem de pneus, extintores de inceˆndios, compressores.
E´ constitu´ıdo por um tubo meta´lico flex´ıvel enrolado como caracol; a pressa˜o interna do tubo tende
a endireita´-lo enquanto a externa tenta curva´-lo. Dessa forma, este equipamento mede a diferenc¸a de
pressa˜o:
pman = pinterna − pexterna.
5.8.5 Baroˆmetro
Inventado por Torricelli serve para medir a pressa˜o atmosfe´rica:
38
patm = γh+ pvapor.
O baroˆmetro consiste em um tubo de vidro completamente cheio de mercu´rio, sendo emborcado
numa tina com mercu´rio. Parte do mercu´rio passa do tubo para a tina, deixando uma caˆmara de
va´cuo na parte superior.
5.9 Exerc´ıcios
1. A profundidade de um lago de a´gua doce, localizado em uma regia˜o montanhosa, apresenta uma
profundidade ma´xima de 40m. Se a pressa˜o barome´trica local e´ de 598mmHg, determine a
pressa˜o absoluta na regia˜o mais profunda do lago (γHg = 133kN/m
3).
2. A pressa˜o sobre a superf´ıcie de um lago e´ a atmosfera patm = 101kPa.
(a) A que profundidade a pressa˜o e´ igual ao dobro da pressa˜o atmosfe´rica?
(b) Se a pressa˜o no topo de um reservato´rio profundo de mercu´rio for patm, a que profundidade
a pressa˜o sera´ 2 · patm?
3. Determine a pressa˜o absoluta e a pressa˜o manome´trica no fundo de um poc¸o para mergulhado
que tem a profundidade de 5, 0m.
4. Um elevador hidra´ulico e´ usado para elevar um carro cuja massa e´ 1500kg. O raio do eixo do
elevador e´ 8cm e o do eixo do pista˜o, 1cm. Qual a forc¸a que deve ser aplicada ao pista˜o para
elevar o carro?
5. O plasma sangu´ıneo flui de um frasco, atrave´s de um tubo, para a veia de um paciente, que tem
a pressa˜o sangu´ınea em 12mmHg. A densidade relativa do plasma, a 37◦C, e´ 10, 3. Qual deve
ser a elevac¸a˜o mı´nima do frasco para que a pressa˜o do plasma, na entrada da veia, seja pelo
menos 12mmHg?
39
6. Um bloco de material desconhecido pesa 5N no ar e 4, 55N imerso na a´gua. Qual a densidade
do material?
7. Um bloco de ferro, com 5kg, esta´ pendurado num dinamoˆmetro e e´ imerso num l´ıquido de
densidade desconhecida. A escala do dinamoˆmetro indica o peso aparente de 6, 16N . Qual a
densidade do l´ıquido?
.
8. No piezoˆmetro inclinado da figura, temos γ1 =
800kgf/m2 e γ2 = 1700kgf/m
2, L1 = 20cm e
L2 = 15cm, α = 30
◦. Qual e´ a pressa˜o em p1?
.
9. O medidor de pressa˜o B deve medir a pressa˜o
no ponto A em um escoamento de a´gua. Se a
pressa˜o em B e´ de 87kPa, calcule a pressa˜o em
A em kPa. Admita os fluidos a 20◦C. Consi-
dere: γH2O = 9790N/m
3, γHg = 133100N/m
3 e
γoleo = 8720N/m
3.
.
10. Considerando que o peso espec´ıfico do o´leo e´
7000N/m3 e que o sistema de figura esta´ em
equil´ıbrio, determine a altura x na figura.
40
6
Movimento do Fluido
Para descrever matematicamente o movimento de um fluido, expressar a acelerac¸a˜o de uma
part´ıcula e descrever a deformac¸a˜o desta part´ıcula, alguns conceitos sobre a descric¸a˜o do fluido expres-
sos anteriormente devem ser recordados, para que a equac¸a˜o de Bernoulli, a utilizac¸a˜o de ma´quinas
nos escoamentos e as poss´ıveis perdas de cargas possam ser apresentadas.
6.1 Descric¸a˜o do Movimento dos Fluidos
O movimento de um fluido pode ser expresso por descric¸o˜es Lagrangianas e Eulerianas. Na des-
cric¸a˜o Lagrangiana, o movimento e´ descrito com relac¸a˜o a part´ıculas individuais, as quais sa˜o observa-
das em func¸a˜o do tempo. A posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de casa part´ıcula sa˜o relacionadas por
s(x0, y0, z0, t), v(x0, y0, z0, t) e a(x0, y0, z0, t), lembrando que (x0, y0, z0) e´ definido como ponto inicial
da part´ıcula. Na descric¸a˜o lagrangiana muitas part´ıculas podem ser seguidas e a influeˆncia de uma
sobre a outra e´ notada, mas num escoamento de um fluido o nu´mero de part´ıculas aumenta extrema-
mente tornando-se dif´ıcil descrever o que ocorre com uma part´ıcula. A alternativa para acompanhar
cada part´ıculado fluido separadamente e´ identificar pontos no espac¸o e observar a velocidade das
part´ıculas passando em cada ponto; podemos enta˜o observar a taxa de mudanc¸a da velocidade das
part´ıculas que passam neste ponto, ou
∂v
∂x
,
∂v
∂y
e
∂v
∂z
, e podemos observar a velocidade mudar com
o tempo em cada ponto, ou
∂v
∂t
. Esta e´ a descric¸a˜o euleriana do movimento, onde as propriedades
do escoamento, como a velocidade, sa˜o func¸o˜es tanto do espac¸o como do tempo. Em coordenadas
cartesianas retangulares, a velocidade e´ expressa como v = v(x, y, z, t)
A regia˜o do escoamento que esta´ sendo considerado e´ chamado de campo de escoamento. Para
o curso introduto´rio de fluidos, a descric¸a˜o euleriana e´ utilizada pois as leis f´ısicas utilizadas nesta
descric¸a˜o sa˜o mais fa´ceis de aplicar em situac¸o˜es reais.
41
Se as quantidades de interesse na˜o depende do tempo, ou v = v(x, y, z), o escoamento e´ chamado
de escoamento permanente e sera´ o escoamento mais utilizado nos exemplos e exerc´ıcios.
6.1.1 Linhas de Trajeto´ria, Linhas de Emissa˜o e Linha de Corrente
Linha de Trajeto´ria 7→ e´ o conjunto de pontos atravessados por uma determinada part´ıcula en-
quanto viaja no campo de escoamento; a linha de trajeto´ria nos fornece o histo´rico das localizac¸o˜es
das part´ıculas.
Linha de Emissa˜o 7→ e´ definida como linha instantaˆnea, cujos pontos sa˜o ocupados por todas as
part´ıculas originadas de algum ponto espec´ıfico no campo de escoamento; as linhas de emissa˜o nos
dizem onde as part´ıculas esta˜o agora.
Linha de Corrente 7→ e´ uma linha cont´ınua trac¸ada no l´ıquido, o lugar geome´trico dos pontos,
que, num mesmo instante t considerado, mante´m-se tangente em todos os pontos a` velocidade v. A
linha de corrente e´ basicamente a trajeto´ria da part´ıcula no fluido. O conjunto de todas as linhas de
corrente que passam por uma pequena curva fechada e´ definido como um tubo de corrente. A equac¸a˜o
que expressa o fato do vetor de velocidade ser tangente a linha de corrente e´ v × dr = 0; lembre-se
que como v e dr esta˜o na mesma direc¸a˜o, o produto vetorial e´ igual a zero.
Para um escoamento permanente, as linhas de trajeto´ria (figura 6.1), emissa˜o (figura 6.2) e corrente
(figura 6.3) sa˜o todas coincidentes, ou seja, todas as part´ıculas passando em um determinado ponto
continuara˜o trac¸ando as mesmas trajeto´rias, pois nada muda com o tempo.
Figura 6.1: Linha de Trajeto´ria.
Figura 6.2: Linha de Emissa˜o.
42
Figura 6.3: Linha de Corrente.
6.1.2 Classificac¸a˜o do Escoamento
Para analisar o escoamento deve-se observar diversas varia´veis e apo´s classifica´-lo. Para isso, o
escoamento pode ser,
1. observando a dimensa˜o:
• Tridimensional 7→ o vetor velocidade depende de treˆs varia´veis espaciais, ou o campo de
velocidade varia em treˆs dimenso˜es.
• Bidimensional 7→ o vetor velocidade depende de duas varia´veis espaciais, ou o campo de
velocidade varia em duas dimenso˜es.
• Unidimensional 7→ o vetor velocidade depende de apenas uma varia´vel espacial, ou o campo
de velocidade varia em uma dimensa˜o.
2. observando a variac¸a˜o do tempo:
• Permanente 7→ as propriedades dos fluidos e sua velocidade na˜o variam com o tempo para
um determinado ponto do escoamento, entretanto podem variar de um ponto de escoamento
para outro ponto.
• Na˜o-permanente (transiente) 7→ as propriedades dos fluidos e sua velocidade variam com o
tempo para um determinado ponto do escoamento, podendo tambe´m variar de um ponto
de escoamento para outro ponto.
43
3. observando a direc¸a˜o da trajeto´ria:
• Laminar 7→ as linhas de correntes formam laˆminas paralelas que escoam a baixa velocidade,
ou seja, o fluido escoa sem nenhuma mistura significativa entre part´ıculas vizinhas do fluido.
• Turbulento 7→ as linhas de correntes formam pequenos turbilho˜es (vo´rtices) que escoam a
alta velocidade, os movimentos do fluido variam irregularmente, de modo que as quantidades
como velocidade e pressa˜o, mostram variac¸a˜o aleato´ria com as coordenadas de tempo e
espac¸o. Assim essas quantidades ficam descritas por me´dias estat´ısticas.
Figura 6.4: A figura mostra o fluxo de ar passando por um cilindro a medida que a velocidade do ar
aumenta (o nu´mero de Reynolds aumenta). As figuras mostram o escoamento laminar em pequenas
velocidades e vo´rtices de turbuleˆncia em alta velocidade. [http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/dragsphere.html]
4. observando a trajeto´ria:
• Uniforme 7→ a velocidade e´ constante para todos os pontos de uma dada trajeto´ria, podendo
variar de uma trajeto´ria para outra.
• Variado 7→ a velocidade varia em relac¸a˜o aos pontos da trajeto´ria.
Figura 6.5: Trajeto´ria uniforme.
5. observando a compressibilidade:
• Compress´ıvel 7→ as propriedades do fluido variam conforme a posic¸a˜o da part´ıcula.
44
Figura 6.6: Trajeto´ria variada.
• Incompress´ıveis 7→ as propriedades do fluido na˜o variam conforme a posic¸a˜o da part´ıcula,
ou a massa espec´ıfica de cada part´ıcula do fluido permanece constante.
6.2 Vaza˜o
6.2.1 Vaza˜o Volume´trica (Q)
E´ definida como o volume de fluido que escoa por uma sec¸a˜o em um intervalo de tempo.
Q =
volume que passou pela sec¸a˜o
t
⇒ [Q] = L
3
T
Q =
∀
t
Note que podemos relacionar vaza˜o em volume com a velocidade do fluido. Para isso, devemos
considerar um intervalo t no qual o fluido se desloca da a´rea A para uma distaˆncia x. Como ∀ =
A · s⇒ Q = A · x
t
,
Q = A · v,
onde v e´ a velocidade me´dia do fluido e A e´ a a´rea da sec¸a˜o.
A equac¸a˜o anterior sera´ verdadeira para velocidade uniforme na sec¸a˜o. Entretanto, quando o
escoamento na˜o for unidimensional, teremos que calcular a velocidade me´dia em relac¸a˜o a sec¸a˜o
estudada. Assim vamos retornar ao ca´lculo de vaza˜o com esta nova proposta. Partindo da equac¸a˜o
Q = A · v e expandindo a vaza˜o volume´trica e a a´rea em um incremento, podemos reescrever tal
equac¸a˜o como:
45
dQ = v · dA.
Para acharmos a vaza˜o volume´trica (Q), devemos aplicar o conceito de integral e assim:∫
dQ =
∫
A
v · dA⇒ Q =
∫
A
v · dA⇒ Q = vm ·A
A definic¸a˜o de velocidade me´dia na sec¸a˜o e´ uma velocidade uniforme, a qual substitu´ıda no lugar
da velocidade real, reproduzira´ a mesma vaza˜o. Matematicamente podemos escrever:
vm =
1
A
·
∫
A
v · dA
6.2.2 Vaza˜o em Massa (Qm)
E´ definida como o massa de fluido que escoa por uma sec¸a˜o em um intervalo de tempo.
Q =
m
t
⇒ [Q] = M
T
como ρ =
m
∀ ⇒ m = ρ · V
Q =
ρ · ∀
t
⇒ Q = ρ · ∀
t
= ρ ·Q
Portanto, a vaza˜o em massa (Qm) sera´ dado por: Qm = ρ · v ·A
6.3 Equac¸a˜o da Continuidade para Regime Permanente
Para o regime permanente, a massa em cada sec¸a˜o e´ a mesma. Assim considerando a figura abaixo,
para quaisquer dois pontos, a vaza˜o em massa (vulgarmente, em fluido, chamado como quantidade de
massa) sera´ constante.
46
Q1m = Q
2
m = constante para qualquer sec¸a˜o
ρ1 · v1 ·A1 = ρ2 · v2 ·A2
Para o caso onde tratamos um fluido incompress´ıvel (massa espec´ıfica e´ constante), a equac¸a˜o da
continuidade podera´ ser reescrita por:
ρ1 · v1 ·A1 = ρ2 · v2 ·A2
mas como ρ1 = ρ2,
v1 ·A1 = v2 ·A2 ⇒ Q1 = Q2.
Assim, se o fluido for incompress´ıvel, a vaza˜o em volume sera´ a mesma para qualquer sec¸a˜o
do sistema. A partir desta equac¸a˜o pode-se obter a relac¸a˜o de velocidade para qualquer sec¸a˜o do
escoamento.
v1 ·A1 = v2 ·A2 ⇒ v2 = v1 · A1
A2
.
Essa equac¸a˜o nos mostra que quando ocorrer diminuic¸a˜o da a´rea, havera´ aumento da velocidade
me´dia da sec¸a˜o e vice-versa.
A equac¸a˜o da continuidade pode ser generalizada para casos onde existam va´rias entradas (e) e
sa´ıdas (s): ∑
e
Q =
∑
s
Q.
Lista de Exercı´cios - Vaz~ao
1. A velocidade de escoamento de sangue