Aula4

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Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 6 
(montgomery)
Gráficos de Controle para Atributos
� Introdução
– Muitas características da qualidade não podem ser 
representadas numericamente.representadas numericamente.
– Nestes casos, classificamos cada item 
inspecionado como conforme ou não-conforme
– Tais características são chamadas de atributos.
� Exemplos: Haste empenada, Chips que não funcionam, 
Embalagens com defeitos.
– Os gráficos de atributos não são tão informativos 
quanto o de variáveis.
� Uma medida numérica retém mais informação do que uma 
classificação: conforme ou não-conforme
Gráficos de Controle para Atributos
� Introdução
– Por outro lado, esses gráficos tem aplicações 
importantes:importantes:
� Na indústria de serviços ou na melhoria da qualidade fora 
da indústria muitas características não são mensuradas 
em escala numérica. Por exemplo: Satisfação com um 
serviço.
– Iremos estudas 3 gráficos para atributos
� Gráfico p: analisa a fração de itens não-conformes
� Gráfico c: analisa o número de defeitos ou não-conformes
� Gráfico u: analisa o número de defeitos por unidade 
produzida
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Introdução
– Fração não conforme: definida como a razão entre 
o número de itens não-conformes em uma o número de itens não-conformes em uma 
população e o total de itens naquela população;
– Um item pode ter várias características da 
qualidade que são examinadas. Se ao menos uma 
não satisfaz o padrão, ele é classificado como não-
conforme;
– Os princípios estatísticos para construção do 
Gráfico p se baseiam na distribuição Binomial.
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Suposições
– p = probabilidade de que uma unidade (item) não 
esteja dentro dos padrões de especificaçãoesteja dentro dos padrões de especificação
– As sucessivas unidades produzidas são 
independentes
– Logo, cada unidade produzida segue uma 
distribuição de Bernoulli (p)
– Se uma amostra aleatória de n unidades é 
selecionada e se D é o número de unidades não 
conformes, então
D ~ Binomial (n, p)
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
– Logo
– onde E(D) = np e Var(D) = np(1-p)
.,,1,0,)1()( nxpp
x
n
xDP xnx K=−





==
−
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Suposições
– Fração amostral não-conforme: razão entre o 
número de unidades não-conformes na amostra (D) número de unidades não-conformes na amostra (D) 
e o tamanho da amostra (n)
– Da aproximação da Binomial para Normal, temos 
que
n
Dp =ˆ





 −
n
pppNormalp )1(,~ˆ
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Desenvolvimento e Operação
– Suponha que a verdadeira fração não-conforme (p) 
é conhecida ou especificada. Logo, a linha central e é conhecida ou especificada. Logo, a linha central e 
os limites de controle do Gráfico p são definidos 
por
– O desvio padrão do processo é dado por
n
pppLIC
pLM
n
pppLSC
)1(3
)1(3
−
−=
=
−
+=
n
pp
p
)1( −
=σ
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Desenvolvimento e Operação
– No entanto, normalmente a fração não-conforme
(p) não é conhecida e precisa ser estimada a partir (p) não é conhecida e precisa ser estimada a partir 
dos dados observados.
– A operação deste gráfico consiste em:
� Tomada de amostras subsequentes de tamanho n;
� Calculo da fração amostral não conforme ;
� Marcação de no gráfico;
� Verificar se o processo se encontra sob controle (idêntico 
ao gráfico para variáveis).
pˆ
pˆ
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Estimando a fração não conforme (p)
– Seleção de m amostras preliminares (20 a 25), 
cada uma de tamanho n.cada uma de tamanho n.
– Se há Di unidades não conformes na amostra i, 
calculamos a fração não conforme na i-ésima
amostra como
– e a média dessas frações como
.,,1,ˆ mi
n
Dp ii K==
m
p
nm
D
p
m
i
i
m
i
i ∑∑
==
==
11
ˆ
.
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Estimando a fração não conforme (p)
– A estatística estima a fração não conforme 
desconhecida p
p
desconhecida p
– Lembre que esses limites são, inicialmente, os 
limites tentativos de controle e devem ser validados
(idêntico ao gráfico para variáveis).
n
pppLIC
pLM
n
pppLSC
)1(3
)1(3
−
−=
=
−
+=
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Abordagem 1: Escolher n tal que a probabilidade 
de encontrar ao menos 1 unidade defeituosa seja de encontrar ao menos 1 unidade defeituosa seja 
pelo menos γγγγ
– Exemplo: suponha p = 0,01 e que P(D ≥ 1) ≥ 0,95. 
Usando a aproximação da Poisson para Binomial 
(λλλλ=np), ou seja, D agora será 
γ≥≥ )1(DP
!
)(
k
ekDP
kλλ−
==
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Temos que
95,01)0(1)1( ≥−==−=≥ −λeDPDP
– Lembrando que pela aproximação da Poisson para 
Binomial, λλλλ=np, então
95,01)0(1)1( ≥−==−=≥ −λeDPDP
λλλ −≥⇒≥⇒≥− −− )05,0ln(05,095,01 ee
300
01,0
3
=⇒=⇒= nnnp λ
00,399,2)05,0ln( ≅≥⇒−≥ λλ
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Abordagem 2 (Duncan – 1986): Escolher n de 
modo que uma mudança de tamanho δ na fração modo que uma mudança de tamanho δ na fração 
não conforme indique que o processo está fora de 
controle.
� Logo, basta escolher n de modo que a mudança δδδδ na 
fração não conforme coincida com o limite de controle
� Assim,
n
ppL )1( −=δ
)1(
2
ppLn −





= δ
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Abordagem 2 (Duncan – 1986)
Exemplo:– Exemplo:
� p = 0,01
� L = 3
� δδδδ = 0,04 (mudança de p0 = 0,01 p1 = 0,05)
56)01,01(01,0
04,0
3)1(
22
≅−





=−





= ppLn δ
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Abordagem 3: Escolher n grande o bastante para 
que LIC seja positivo (maior que zero)que LIC seja positivo (maior que zero)
� Isso garante que iremos investigar um número mínimo de 
itens não conformes
� Logo
0)1( >−−=
n
ppLpLIC
2)1( L
p
p
n
−
>
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Gráfico p: Cálculo do tamanho de amostra
– Abordagem 3
– Exemplo:
� p = 0,05
� L = 3
171)3(
05,0
)05,01()1( 22 ≅−=−> L
p
p
n
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Considerações
– O Gráfico p não é um modelo universal para 
monitorar dados sobre fração de não conformes;monitorar dados sobre fração de não conformes;
– Lembre-se que o Gráfico p baseia-se no modelo 
Binomial
� Probabilidade de ocorrência de uma unidade não 
conforme é constante
� As unidades de produção sucessivas são independentes
– O Gráfico p não é válido quando, por exemplo,
� Probabilidade de uma unidade não conforme depende da 
unidade anterior ter sido não conforme (ou não)
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Considerações
– Deve-se ter cautela ao analisar pontos que se 
localizam abaixo do limite inferior de controle. Tais 
pontos podem não representar melhoria real na 
qualidade do processo. Segundo Montgomery, isso 
pode ocorrer devido
� Erros no processo de inspeção
� Inspetores inadequadamente treinados ou inexperientes
� Equipamentos de inspeção inadequadamente calibrados� Omissão de unidades não conformes por inspetores
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Exemplo
– Suco de Laranja é embalado em caixas de papelão. 
O vazamento do suco devido a uma falha de 
vedação na caixa caracteriza-se como uma 
característica da qualidade.
– Deseja-se estabelecer um gráfico de controle para 
melhorar a fração de embalagens não-conforme 
produzidas por uma máquina.
– Considere que foram selecionadas 30 amostras, 
com n=50 embalagens cada.
Gráficos de Controle para Fração 
de Não Conformes (Gráfico p)
� Exemplo
347∑D
m
i
2313,0)50)(30(
3471
===
∑
=
mn
D
p i
i
0524,0
50
)2313,01(2313,032313,0)1(3
2313,0
4102,0
50
)2313,01(2313,032313,0)1(3
=
−
−=
−
−=
==
=
−
+=
−
+=
n
pppLIC
pLM
n
pppLSC
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
0.5
0.4 UCL=0.4102
1
1
P Chart
Novo Material
Novo Operador
Revisão dos Limites Tentativos Retirando os Pontos Fora de Controle 
28252219161310741
0.3
0.2
0.1
0.0
Sample
P
r
o
p
o
r
t
i
o
n
_
P=0.2313
LCL=0.0524
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
0.5
0.4 UCL=0.3893
1
1
1
P Chart
Novo Material
Novo Operador
Na amostra 21 não foi identificada causa atribuível. Assim, o ponto será 
conservado e esses limites serão usados para monitorar o processo.
28252219161310741
0.3
0.2
0.1
0.0
Sample
P
r
o
p
o
r
t
i
o
n
_
P=0.215
LCL=0.0407
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Tamanho de Amostra Variável
– Existem três abordagens para construção de um 
gráfico de controle com tamanho de amostra variável.gráfico de controle com tamanho de amostra variável.
– Abordagem 1
• Essa abordagem leva um consideração o tamanho da amostra 
em cada subgrupo (ni).
i
i
n
pppLIC
pLM
n
pppLSC
)1(3
)1(3
−
−=
=
−
+=
∑
∑
=
=
=
m
i
i
m
i
i
n
D
p
1
1
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Tamanho de Amostra Variável
– Abordagem 2 – Tamanho Médio de Amostra
� Essa abordagem leva um consideração o tamanho médio � Essa abordagem leva um consideração o tamanho médio 
das amostras ni
� Pode ser interessante caso os futuros tamanhos de 
amostras não sejam muito diferentes
n
pppLIC
n
pppLSC
)1(3
)1(3
−
−=
−
+=
m
n
n
m
i
i∑
=
=
1
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Tamanho de Amostra Variável
– Abordagem 3 – Gráfico de Controle Padronizado
� Neste gráfico, teremos� Neste gráfico, teremos
– LSC = 3
– LM = 0
– LIC = -3
� A variável plotada no gráfico será
� (ou p, caso seja dado um valor padrão) é a fração não-
conforme do processo sob controle.
i
i
i
n
pp
ppZ )1(
ˆ
−
−
=
p
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Tamanho de 
Amostra Amostra 
Variável
– Exemplo 
Abordagem 1
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Exemplo Abordagem 1
∑
m
D
ii
ii
nn
pppLIC
pLM
nn
pppLSC
)904,0(096,03096,0)1(3
096,0
)904,0(096,03096,0)1(3
−=
−
−=
==
+=
−
+=
096,0
2450
234
1
1
===
∑
∑
=
=
m
i
i
i
i
n
D
p
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
0.2
P Chart
3.0SL=0.1885
Amostra 11 encontra-se acima do LSC
Revisar os Limites Tentativos
2520151050
0.1
0.0
Sample Number
P
r
o
p
o
r
t
i
o
n
P=0.09551
-3.0SL=0.002565
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Exemplo 
Abordagem 3
i
i
i
i
i
i
n
pZ
n
pp
ppZ
)904,0(096,0
096,0ˆ
)1(
ˆ
−
=
=
−
−
=
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
Gráfico de Controle Padronizado
2
3
4
Amostra 11 encontra-se acima do LSC
-4
-3
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Subgrupo
E
s
c
o
r
e
 
Z
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Considerações
– Aplicações não-industriais
� O gráfico p pode ser aplicado em várias características da 
qualidade em ambientes não industriais
– Ex: Número de entregas feitas fora do prazo.
Gráficos de Controle para Fração 
de Não Conformes (Gráfico p)
� Função Característica de Operação
– Será uma visualização gráfica da probabilidade de erro tipo II
versus a fração não conforme do processo.versus a fração não conforme do processo.
– A probabilidade de erro tipo II é dada por
– Como D ~ Binomial (n,p), β pode ser calculado a partir da 
distribuição binomial acumulada.
)|()|(
)|ˆ()|ˆ(
)|ˆ(
pnLICDPpnLSCDP
pLICpPpLSCpP
pLSCpLICP
≤−<=
=≤−<=
=<<=
β
β
β
Gráficos de Controle para Fração 
de Não Conformes (Gráfico p)
� Função Característica de Operação
– Exemplo
� Considere um gráfico de controle para fração não � Considere um gráfico de controle para fração não 
conforme com LIC = 0.0303, LSC = 0.3697, e 
n=50
)|1()|18(
)|52.1()|49.18(
)|)0303.0)(50(()|)3697.0)(50((
pDPpDP
pDPpDP
pDPpDP
≤−≤=
=≤−<=
=≤−<=
β
β
β
20.0=p
Gráficos de Controle para Fração 
de Não-Conformes (Gráfico p)
� Função Característica de Operação
p P(D<=18) P(D<=1) Beta
0.01 1.0000 0.9106 0.08940.01 1.0000 0.9106 0.0894
0.03 1.0000 0.5553 0.4447
0.05 1.0000 0.2794 0.7206
0.10 1.0000 0.0338 0.9662
0.15 0.9999 0.0029 0.9970
0.20 0.9975 0.0002 0.9973
0.25 0.9713 0.0000 0.9713
0.30 0.8594 0.0000 0.8594
0.35 0.6216 0.0000 0.6216
0.40 0.3356 0.0000 0.3356
0.45 0.1273 0.0000 0.1273
0.50 0.0325 0.0000 0.0325
0.55 0.0053 0.0000 0.0053
Curva CO
 (p_barra=0.2; LIC=0.0303 e LSC=0.3697)
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.01 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55
p
B
e
t
a
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Introdução
– Dependendo de sua natureza e gravidade, é 
possível que um item contenha vários defeitos de 
fabricação (não conformidades)
– Há várias situações práticas onde é preferível
trabalhar com o número de defeitos ao invés da 
fração não conforme
� Exemplo: nº de soldas com defeitos em 100m de oleoduto, 
nº de defeitos em um equipamento eletrônico, etc.
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Introdução
– É possível construir gráficos de controle tanto para 
o número total de defeitos em uma unidade, 
quanto para o número médio de defeitos por 
unidade.
– Uma unidade de inspeção pode ser um subgrupo
(de tamanho constante) de itens
� 5 rádios
� 1 TV
� Uma área de 4m2
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Suposições
– Esses gráficos supõem que o número de defeitos 
por unidade de inspeção é bem modelado pela por unidade de inspeção é bem modelado pela 
distribuição de Poisson
– Além disso,
� O número de locais potenciais para defeitos deve ser 
grande
� Probabilidade de ocorrência de um defeito em qualquer 
local é a mesma (constante)
� A unidade de inspeção deve ser a mesma para cada 
amostra
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Suposições
– Considere que X = número de defeitosdefeitos em uma uma – Considere que X = número de defeitosdefeitos em uma uma 
unidade de inspeçãounidade de inspeção, segue a distribuição Poisson 
com parâmetro “c”
– Sabe-se que, E(X) = c e Var(X) = c
K,2,1,0,!
)( ===
−
x
x
ce
xXP
xc
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Desenvolvimento e Operação
– Suponha conhecido ou especificado o verdadeiro 
número de defeitos. Logo, a linha central e os número de defeitos. Logo, a linha central e os 
limites(*) de controle do Gráfico c são definidos por
– (*) O risco α não é igualmente alocado para LIC/LSC já que a distribuição de Poisson é 
assimétrica. Alguns autores sugerem o uso de limites probabilísticos.
ccLIC
cLM
ccLSC
3
3
−=
=
+=
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Desenvolvimento e Operação
– O desvio padrão do processo é dado por
=σ
– Entretanto, normalmente o verdadeiro número de defeitos (c)
não é conhecido e precisa ser estimado. Seja o número 
médio de defeitos observado em uma amostra preliminar de 
unidades de inspeção, temos que
cc =σ
c
ccLIC
cLM
ccLSC
3
3
−=
=
+=
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Desenvolvimento e Operação
– Tais limites são considerados como limites 
tentativos de controle.
– Deve-se examinar as amostras preliminares para 
verificar se o processo estava sob controle, ou seja, 
validar os limites tentativos.
Gráfico c
� Exemplo
– Considere o número de 
defeitos observados em defeitos observados em 
26 amostras sucessivas 
de 100 placas de 
circuito impresso. (1 
amostra = 1 unidade de 
inspeção)
85,19
26
516
==c
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Exemplo
– Assim, os limites de controles tentativos são dados 
porpor
– O desvio padrão do processo pode ser estimado 
por
46,485,19ˆ === ccσ
48,685,19385,193
85,19
22,3385,19385,193
=−=−=
==
=+=+=
ccLIC
cLM
ccLSC
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
40
30
UCL=33.22
1
Temperatura
Controle de
C Chart
252219161310741
20
10
0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
C
o
u
n
t
_
C=19.85
LCL=6.48
1 Erro de inspeção
Amostra 6 e 20 encontram-se fora dos limites de controle
Revisar os Limites Tentativos
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
35
30
25
t
UCL=32.97
C Chart (without samples 6 and 20)
Novos Limites Tentativos
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
2321191715131197531
25
20
15
10
5
Sample
S
a
m
p
l
e
 
C
o
u
n
t
_
C=19.67
LCL=6.36
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
35
30
25
t
UCL=32.97
C Chart (20 new samples)
Processo continua sob controle. No entanto, o número de defeitos ainda 
é alto. Necessária ação da gerência para melhorar o processo.
43413937353331292725
25
20
15
10
5
Sample
S
a
m
p
l
e
 
C
o
u
n
t
_
C=19.67
LCL=6.36
Gráficos de Controle para o 
Número de Defeitos (Gráfico c)
� Análise Adicional
– Dados sobre defeitos são mais informativos que a 
fração não conforme.fração não conforme.
– É possível identificar os diferentes tipos de defeitos.
– Através de um Gráfico de Pareto ou Diagrama de 
Causa-Efeito pode-se identificar a causa mais 
frequente.
– Tal informação é de grande utilidade no 
desenvolvimento de planos de ação que devem 
acompanhar os gráficos de controle
Gráfico u
� Introdução
– Frequentemente o número de unidades que
compõem os subgrupos é variável. Nesses casos
estamos interessados em controlar a taxa de
defeitos por unidade e, o gráfico a ser utilizado será
o Gráfico u.
Gráfico u
– Redefinir o gráfico de controle, tomando como base 
o número médiomédio de defeitos por unidade de por unidade de o número médiomédio de defeitos por unidade de por unidade de 
inspeçãoinspeção
– Redefinindo
� x = total de defeitos em uma amostra de n unidades de 
inspeção
� Então, o número médio de defeitos por unidade de 
inspeção será
n
x
u =
Gráfico u
– Note que u segue a distribuição Poisson. 
� X ~ Poisson (c), onde E(X) = c e Var(X) = c.� X ~ Poisson (c), onde E(X) = c e Var(X) = c.
� Seja
n
uE
n
c
nn
c
n
xVar
uVar
n
c
n
xE
uE
n
x
u
)(1)()(
)()(
22 ====
==
=
Gráfico u
– O desvio padrão do processo é dado por
uE )(
=σ
– No entanto, normalmente o verdadeiro número médio de 
defeitos por unidade “E(u)” não é conhecido e precisa ser 
estimado. Seja o número médio amostral de defeitos 
por unidade, temos que
n
uE
u
)(
=σ
u
n
u
uLIC
uLM
n
u
uLSC
3
3
−=
=
+=
Gráfico u
� Exemplo
– Número de defeitos em 
20 amostras de 5 
Número da Tamanho da Não Conf.
Amostra Amostra (n) por unidade
1 5 10 2,0
2 5 12 2,4
3 5 8 1,6
4 5 14 2,8
5 5 10 2,0
6 5 16 3,2
u
20 amostras de 5 
computadores cada
– Temos que
93,1
20
6,381
===
∑
=
m
u
u
m
i
i
7 5 11 2,2
8 5 7 1,4
9 5 10 2,0
10 5 15 3,0
11 5 9 1,8
12 5 5 1,0
13 5 7 1,4
14 5 11 2,2
15 5 12 2,4
16 5 6 1,2
17 5 8 1,6
18 5 10 2,0
19 5 7 1,4
20 5 5 1,0
Gráfico u
� Exemplo
– Assim, os limites de controles tentativos são dados por
93,1u
– O desvio padrão do processo pode ser estimado por
62,0
5
93,1
ˆ ===
n
u
uσ
07,0
5
93,1393,13
93,1
79,3
5
93,1393,13
=−=+=
==
=+=+=
n
u
uLIC
uLM
n
u
uLSC
Gráfico u
e
r
 
U
n
i
t
4
3
UCL=3,794
U Chart
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
Sample
S
a
m
p
l
e
 
C
o
u
n
t
 
P
e
2018161412108642
2
1
0
_
U=1,93
LCL=0,066
Tamanho de Amostra Variável
– O procedimento é usar um gráfico u que terá linha 
central constante, entretanto, os limites de 
controle irão variar inversamente proporcional a 
raiz quadrada do tamanho da amostra ni
∑
∑
=
=
=
m
i
i
m
i
i
n
x
u
1
1
i
i
i
n
x
u =
i
i
n
u
uLIC
uLM
n
u
uLSC
3
3
−=
=
+=
Gráfico u – Amostra variável
� Exemplo
– Número de 
defeitos a cada 
Número da Metros Não Conf. Nº unidades
Amostra por unidade p/ 50m (n)
1 500 14 10,0 1,40
2 400 12 8,0 1,50
u
defeitos a cada 
50 metros 3 650 20 13,0 1,544 500 11 10,0 1,10
5 475 7 9,5 0,74
6 500 10 10,0 1,00
7 600 21 12,0 1,75
8 525 16 10,5 1,52
9 600 19 12,0 1,58
10 625 23 12,5 1,84
153 107,5
42,1
5,107
153
1
1
===
∑
∑
=
=
m
i
i
m
i
i
n
x
u
Gráfico u – Amostra variável
� Exemplo
– Assim, os limites de controles tentativos são dados por
i
ii
nn
u
uLIC
uLM
nn
u
uLSC
42,1342,13
42,1
42,1342,13
−=+=
==
+=+=
Gráfico u – Amostra Variável
e
r
 
U
n
i
t
3,0
2,5
2,0
UCL=2,436
U Chart (unequal sample sizes)
Nenhum ponto fora dos limites de controle
Nenhum padrão não aleatório foi identificado
Sample
S
a
m
p
l
e
 
C
o
u
n
t
 
P
e
10987654321
1,5
1,0
0,5
0,0
_
U=1,423
LCL=0,411
“Gráfico c” e “Gráfico u”
� Função Característica de Operação
– Tanto para o Gráfico c quanto para o Gráfico u, as 
curvas características de operação (CO) são curvas características de operação (CO) são 
obtidas da distribuição de Poisson.
– CO: Gráfico c
� Probabilidade β vs verdadeiro número médio de defeitos c
� onde X ~ Poisson (c)
)|()|(
)|(
cLICxPcLSCxP
cLSCxLICP
≤−<=
=<<=
β
β
“Gráfico c” e “Gráfico u”
� Função Característica de Operação
– Exemplo
� Considere o gráfico c com LIC = 6,48 e LSC = 33,22� Considere o gráficoc com LIC = 6,48 e LSC = 33,22
� Lembrando que esses limites de controle foram obtidos de 
um exemplo onde
)|6()|33(
)|48,6()|22,33(
cxPcxP
cxPcxP
≤−≤=
=≤−<=
β
β
85,19=c
“Gráfico c” e “Gráfico u”
� Função Característica de Operação
c P(X<=33) P(X<=6) Beta
1 1.0000 0.9999 0.00011 1.0000 0.9999 0.0001
3 1.0000 0.9665 0.0335
5 1.0000 0.7622 0.2378
7 1.0000 0.4497 0.5503
10 1.0000 0.1301 0.8699
15 1.0000 0.0076 0.9924
25 0.9502 0.0000 0.9502
33 0.5461 0.0000 0.5461
35 0.4102 0.0000 0.4102
40 0.1514 0.0000 0.1514
45 0.0383 0.0000 0.0383
Curva CO - Gráfico c
 (LIC=6.48 e LSC=33.22)
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 3 5 7 10 15 25 33 35 40
c
B
e
t
a
85,19=c
“Gráfico c” e “Gráfico u”
� Função Característica de Operação
– CO: Gráfico u
� Para o gráfico u podemos gerar uma curva CO a partir de� Para o gráfico u podemos gerar uma curva CO a partir de
� onde X ~ Poisson (nu), dado que u=x/n, e 〈nLIC〉 denota o 
menor inteiro maior ou igual que nLIC.
[ ]
∑
=
−
=≤<=
=<<=
nLSC
nLICx
xnu
x
nue
nunLSCxnLICP
uLSCxLICP
!
)()|(
)|(
β
β
Exercício
Um processo que produz aros de roda de titânio para automóveis
com motores turbinados deve ser controlado pelo uso do gráfico
para a fração não conforme. Inicialmente, uma amostra de
tamanho 150 é retirada a cada dia, durante 20 dias.tamanho 150 é retirada a cada dia, durante 20 dias.
a) Estabeleça um gráfico de controle para monitorar a produção
futura.
b) Qual o menor tamanho de amostra que pode ser usado para
esse processo e ainda fornecer um limite inferior de controle
positivo para o gráfico?
c) Trace a curva CO para esse gráfico de controle.
d) Qual a probabilidade a probabilidade de se detectar uma
mudança na fração não conforme para 0,03, na terceira amostra
após a mudança?
Exercício
Os dados a seguir representam o número de não conformidades
por 1000 metros em cabos de telefone.
a) Quais são a linha central e os limites de controle para monitorar aa) Quais são a linha central e os limites de controle para monitorar a
produção com base no número total de não conformidades? Pela
análise desses dados, você concluiria que o processo está sob
controle estatístico?
b) Quais são a linha central e os limites de controle para um gráfico
de controle para a média de não conformidades por unidade,
usado para monitorar a produção futura?
c) Trace a curva da função característica de operação (CO) para o
número total de não conformidades (Gráfico c).
Exercício
Exercício
Um gráfico de controle indica que a fração
corrente de não conformes do processo écorrente de não conformes do processo é
0,02. Se 50 itens são inspecionados a cada
dia, qual é a probabilidade de se detectar uma
mudança na fração não conforme para 0,04,
no primeiro dia após a mudança? E no terceiro
dia após a mudança?
Exercício
Encontre os limites de probabilidade de 0,999
e 0,001 para um gráfico c quando a média doe 0,001 para um gráfico c quando a média do
processo é igual a 16 não conformidades.
Compare com os limites utilizando a
distribuição normal.