Gradadores Eletrônicos de Potência

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Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
109
CAPÍTULO - 7 - GRADADORES
7.1 - INTRODUÇÃO
Objetivo: Variar o valor eficaz de uma tensão alternada.
Colocam a carga em contato direto com a fonte, sem tratamento
intermediário de energia.
Os principais empregos dos gradadores são os seguintes:
⇒ Controle de intensidade luminosa.
⇒ Controle de temperatura.
⇒ Controle de velocidade de motores de indução.
⇒ Limitação da corrente de partida de motores de indução.
7.2 - ESTRUTURA DO GRADADOR MONOFÁSICO
Cargas de pequena potência ⇒ Triac (Fig. 7.1)
Potências maiores ⇒ Dois tiristores em antiparalelo (Fig. 7.2)
Triac Zv t( )ω
T1
T2 Zv t( )ω
Fig. 7.1 - Gradador a Triac. Fig. 7.2 - Gradador a Tiristor.
7.3 - ANÁLISE DO GRADADOR MONOFÁSICO PARA CARGA RESISTIVA PURA
T1
+
T2 RvT -
+
-
vRv t( )ω
iR
Fig. 7.3 - Gradador alimentando carga resistiva pura.
π
tω
2π+α2π 3πα0
tω
2 V o
π+α
v R
i R
i T 1
i T 2
v T
Fig. 7.4 - Tensões e correntes para o gradador monofásico.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
110
As grandezas são representadas pelas expressões (7.1) e (7.2).
v t V to( ) sen( )ω ω= 2 (7.1)
v t V tR o( ) sen( ) ,ω ω
π
α
π
π α=



 +



2
2
(7.2)
i t
V
R
tR
o( ) sen( ) ,ω ω πα
π
π α=



 +




2 2
(7.3)
A corrente média na carga é nula. A corrente eficaz é calculada do seguinte
modo:
I
V
R
t d tLef
o= 







∫
1 2
2
2
1 2
π ω ωα
π
sen ( ) ( ) (7.4)
Logo: I
V
RLef
o= − +

π π α
α
( )
sen 2
2
1 2
(7.5)
Corrente eficaz parametrizada é representada pela expressão (7.6).
I R
V
Lef
o2
1
2
2
2
1 2
= − +

π π α
α
( )
sen
(7.6)
A expressão (7.6), para maior comodidade, é representada graficamente na
figura 7.5.
oV
I Lef R
2
0,707
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
α( )ο
Fig. 7.5 - Corrente eficaz na carga.
Corrente média num tiristor é dada pela expressão (7.7).
I
V
R
t d tTmed
o= ∫22π ω ωα
π
sen( ) ( ) (7.7)
Assim: I
V
RTmed
o= +2
2
1π α(cos ) (7.8)
Ou, parametrizada:
I R
V
Tmed
o2
1
2
1= +π α(cos ) (7.9)
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
111
Corrente eficaz em um tiristor é dada pela expressão (7.10).
I I IT ef T ef Tef1 2= = (7.10)
I I I IT ef T ef Tef Lef1
2
2
2 2 22+ = = ⇒ I ITef Lef= 2
Portanto: I
V
RTef
o= − +

2
2
2
1 2
π π α
α
( )
sen
(7.11)
Ou, parametrizada:
I R
V
Tef
o2
1
2
2
2
1 2
= − +

π π α
α
( )
sen
(7.12)
As expressões (7.9) e (7.12) estão representadas na figura 7.6.
I
V
Tef R
o2
(a)
(a)
I R
V
Tmed
o2
(b)
(b)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
α( )ο
Fig. 7.6 - Valor médio e eficaz da corrente em um tiristor em P.U.
É interessante que se conheça as harmônicas de corrente de carga,
sobretudo porque essas harmônicas são introduzidas na rede. Além disso, as
harmônicas de alta freqüência podem produzir perturbações radioelétricas
inaceitáveis (EMI).
A Série de Fourier, na sua forma geral é representada pela expressão (7.13).
[ ]i t a a n t b n to n n
n
( ) cos( ) sen( )ω ω ω= + +
=
∞∑
1
(7.13)
A corrente média é nula; portanto ao = 0.
Os coeficientes an e bn são dados pelas expressões (7.14) e (7.15).
a i t n t d tn R= ∫1
0
2
π ω ω ω
π
( ) cos( ) ( ) (7.14)
b i t n t d tn R= ∫1
0
2
π ω ω ω
π
( ) sen( ) ( ) (7.15)
Cap. 7 - Gradadores
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112
Realizando-se as integrações obtém-se as expressões (7.16) e (7.17).
a
V
R
n
n
n
nn
o= − −− +
+ −
+




2 1
1
1
1π
α α α αcos( )
( )
cos( )
( ) (7.16)
b
V
R
n
n
n
nn
o= ++ −
−
−




2
1 1π
α α α αsen( )
( )
sen( )
( ) (7.17)
Para n = 1 as expressões (7.16) e (7.17) são indeterminadas. Levantando as
indeterminações obtém-se as expressões (7.18) e (7.19).
a
V
R
o
1
2
2
2 1= −π α(cos ) (7.18)
b
V
R
o
1
2
2
2 2 2= + −π α π α(sen ) (7.19)
As harmônicas de ordem par são nulas.
Dessa forma a corrente de carga é representada pela expressão (7.20).
i t a t a t a t
b t b t b t
( ) cos( ) cos( ) cos( )
sen( ) sen( ) sen( )
ω ω ω ω
ω ω ω
= + + + +
+ + + +
1 3 5
1 3 5
3 5
3 5
K
K (7.20)
A amplitude da harmônica de ordem n é dada então pela expressão (7.21).
I a bn n n= +2 2 (7.21)
Obs: I
V
Rm
o= 2 representa o valor de pico da corrente de carga para α = 0.
I
V
R
n
o2



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
α( )ο
Fig. 7.7 - Amplitude In da harmônica da corrente de carga n em relação a Im.
Na figura 7.7 estão representadas as correntes harmônicas na carga, em
relação à corrente de pico para α = 0, em função do ângulo de disparo α.
As correntes harmônicas são elevadas para α ≠ 0. Esta é uma das principais
desvantagens dos gradadores.
Cap. 7 - Gradadores
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113
7.4 - ANÁLISE DO GRADADOR MONOFÁSICO PARA CARGA RL
a) Estrutura (Fig. 7.8)
T1
+
T2
vT -
L
+
vRL
-
R
iRL
v t( )ω
Fig. 7.8 - Gradador Monofásico.
b) Expressão da Corrente de Carga (Formas de onda na Fig. 7.9)
φ α−φ
α
β
Ref1Ref2
tω
i'
i
v
Fig. 7.9 - Corrente e tensão para o gradador monofásico alimentando carga RL.
Onde: v(ωt) - tensão de alimentação; i(ωt) - corrente de carga
i'(ωt) - corrente de carga para α = φ
cos
( )
φ ω= +
R
R L2 2
(7.22)
cos φ - é definido como o fator de potência da carga
α - ângulo de disparo dos tiristores
A tensão de alimentação é representada pela expressão (7.23).
v t V to( ) sen( )ω ω α= +2 (7.23)
Durante a condução, após o disparo do tiristor T1, a corrente do circuito
obedece à expressão (7.24).
R i t L
di t
dt
V to( )
( )
sen( )ω ω ω α+ = +2 (7.24)
Assim:
[ ]R i t L di td t V t to( ) ( )( ) sen( ) cos cos( ) senω ωω ω α ω α+ = ⋅ + ⋅2 (7.25)
Seja: I
V
R Lm
o= +
2
2 2( )ω (7.26)
Cap. 7 - Gradadores
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114
Assim a solução da equação é dada pela expressão (7.27).
[ ]t.m e)(sen)t(senI)t(i τ−⋅φ−α−φ−α+ω=ω (7.27)
Onde: 
L
R=τ (7.28)
O primeiro termo da expressão (7.27) representa a componente senoidal da
corrente de carga; o segundo termo representa a componente exponencial.
Para o caso particular em que α = φ, a corrente de carga torna-se senoidal.
Quando ωt = β, a corrente no tiristor T1 se anula e ele se bloqueia.
Seja o referencial 2 representado na figura 7.9.
Assim: v t V to( ) sen( )ω ω= 2 (7.29)
Para se obter o valor da corrente no nosso referencial basta então colocar ωt
onde existe ωt + α; ela é representada pela expressão (7.30).
i t I t em
R
L
t
( ) sen( ) sen( )
( )ω ω φ α φ ω ω α= − − − ⋅


− −
(7.30)
Como:
R
L
gω φ= cot (7.31)
Obtém-se:
[ ]i t I t em g t( ) sen( ) sen( ) cot ( )ω ω φ α φ φ ω α= − − − ⋅ − − (7.32)
c) Cálculo do Ângulo de Extinção β
No momento da extinção do tiristor, i = 0 e ωt = β. Substituindo na
expressão (7.32) obtém-se a expressão (7.33).
sen ( ) sen ( ) cot ( )β φ α φ φ β α− − − ⋅ =− −e g 0 (7.33)
Com a expressão (7.33) é obtido o ábaco representado na figura 7.10. Com
ele, conhecendo-se os ângulos φ e α pode-se determinaro ângulo de extinção β.
As formas de onda para um ciclo completo, considerando os dois tiristores,
estão representadas na figura 7.11.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
115
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
φ = 90 o
φ = 30 o
φ = 40 o
φ = 75 o
φ = 50 o
φ = 80 o
φ = 60 o
φ = 70 o
φ = 0,5 o
φ = 10 o
φ = 20 o
φ = 5 o
α( )ο
β( )ο
Fig. 7.10 - Ângulo de extinção β em função de α, tomando φ como parâmetro.
π π+α 2π 3πα0
tω
2 Vo
π+ββ−π β
v RL
v T
i
v
tω
tω
Fig. 7.11 - Formas de onda para o gradador monofásico com carga RL.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
116
d) Corrente Média em um Tiristor
A corrente média é calculada a partir da expressão (7.34).
[ ]I I t e d tTmed m g t= − − − ⋅ − −∫2π ω φ α φ ωφ ω αα
β
sen ( ) sen ( ) ( )cot ( ) (7.34)
Realizando-se a integração obtém-se a expressão:
[ ]I I g eTmed m g= − − − + − ⋅ −

−
2
1π α φ β φ
α φ
φ
φ α βcos( ) cos( )
sen( )
cot
cot ( ) (7.35)
A expressão (7.35) é do tipo:
I
I
FTmed
m
= 1( , , )α φ β (7.36)
Contudo, como β é função φ e α , então:
I
I
FTmed
m
= 3( , )α φ (7.37)
Assim, conhecendo-se α e φ pode-se determinar a corrente média em um
tiristor, em relação à Im , conforme Figura 7.12.
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,225
0,250
0,275
0,300
0,325
0,350
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
φ = 90 oφ = 30 oφ = 40
o
φ = 50 o
φ = 80 oφ = 60 oφ = 70 oφ = 10 o
φ = 20 o
I
I
Tmed
m
α( )ο
Fig. 7.12 - Corrente média em um tiristor em relação à Im em função de α.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
117
e) Corrente Eficaz em um Tiristor (Equação 7.38)
[ ]I I t e d tTef m g t= − − − ⋅

− −∫12
2 2
1 2
π ω φ α φ ω
φ ω α
α
β
sen ( ) sen ( ) ( )cot ( ) (7.38)
Realizando-se a integração obtém-se a expressão (7.39).
[ ]
[
]
I
I
g
e g g
g
e g
g
g
e
Tef
m
g
g
= − + − − − + − ⋅+ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ + −
− − ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − + − −
−
−
2 2
2 2
4
2
1
2
1
2
1
2
2
2
π
β α α β β α α φ φ
φ
φ β β φ α α
α φ φ
φ φ β β
φ α α α φφ
φ α β
φ α β
sen ( ) sen ( ) sen( ) cos
(cot )
(cot sen cos ) (cot sen cos )
sen( ) sen
(cot )
(cot cos sen )
(cot cos sen )
sen ( )
cot
cot ( )
cot ( )
[ ]2 1 2cot ( )g α β− 
(7.39)
A corrente eficaz em um tiristor em relação à Im apenas em função de α e φ,
está representada na figura 7.13.
I
I
Tef
m
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
φ = 90 oφ = 30 o
φ = 40 o
φ = 50 o
φ = 80 oφ = 60 o
φ = 70 oφ = 10 o
φ = 20 o
α( )ο
Fig. 7.13 - Valor eficaz da corrente em um tiristor em relação à Im, em função de α,
tomando φ como parâmetro.
Cap. 7 - Gradadores
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118
f) Corrente Eficaz na Carga (Equação 7.40)
I ILef Tef= 2 (7.40)
Portanto, o ábaco da figura 7.13, que representa a corrente eficaz em um
tiristor, pode ser utilizado para o cálculo da corrente de carga.
g) Harmônicas da Corrente de Carga
A análise de simetria da corrente leva à conclusão de que estão presentes
apenas as harmônicas de ordem n, onde:
n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
A análise dos coeficientes leva às expressões (7.41), (7.42), (7.43) e (7.44).
{
[
a
I
g
e g g
m
g
1
2
2
2 2 2 2 2 2
4
1
= − − − + − +
+ −+ ⋅ − − ⋅ −



−
π φ α β φ β α β α
α φ
φ φ β β φ α α
φ α β
cos (cos cos ) sen ( sen sen )
sen( )
cot
(cot cos sen ) (cot cos sen )cot ( )
(7.41)
{
[
b
I
g
e g g
m
g
1
2
2
2 2 2 2 2 2
4
1
= − + − − − +
+ −+ ⋅ + − ⋅ +



−
π φ β α β α φ α β
α φ
φ φ β β φ α α
φ α β
cos ( sen sen ) sen (cos cos )
sen( )
cot
(cot sen cos ) (cot sen cos )cot ( )
(7.42)
Para n > 1 os coeficientes são representados pelas expressões (7.43) e (7.44).
[ ] [ ]
[ ] [ ]
a
I
n
n n
n
n n
n
n n
n
n n
g n
e g n n n g n n
n
m
g
= − − − − + + + − +
 +
+ − − − − + + + − + +
+ −+ ⋅ ⋅ − − ⋅ −
−
π
φ α β φ α β
φ α β φ α β
α φ
φ φ β β φ α
φ α β
cos
( )
cos( ) cos( )
cos
( )
cos( ) cos( )
sen
( )
sen( ) sen( )
sen
( )
sen( ) sen( )
sen( )
cot
(cot cos sen ) (cot coscot ( )
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
2
2 2 [ ]sen )nα
(7.43)
[ ] [ ]
[ ] [ ]
b
I
n
n n
n
n n
n
n n
n
n n
g n
e g n n n g n n
n
m
g
= − − − − + + + − +
 +
+ − − − − + + + − + +
+ −+ ⋅ ⋅ + − ⋅ +
−
π
φ β α φ α β
φ β α φ β α
α φ
φ φ β β φ α
φ α β
cos
( )
sen( ) sen( )
cos
( )
sen( ) sen( )
sen
( )
cos( ) cos( )
sen
( )
cos( ) cos( )
sen( )
cot
(cot sen cos ) (cot sencot ( )
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
2
2 2 [ ]cos )nα
(7.44)
Seja In a amplitude da harmônica de ordem n. Assim:
I a bn n n= +2 2 (7.45)
Valores de In, tomados em relação à Im, estão nas figuras 7.14, 7.15 e 7.16.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
119
I
I m
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
φ = 90 oφ = 30 o
φ = 40 o
φ = 50 o
φ = 80 oφ = 60 o
φ = 70 oφ = 10 o
φ = 20 o
α( )ο
Fig. 7.14 - Amplitude da componente fundamental (n = 1) da corrente de carga em
relação à Im.
I
I m
3
α( )ο
0
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,225
0,250
0,275
0,300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
φ = 90 o
φ = 30 o
φ = 40 o
φ = 50 o
φ = 80 o
φ = 60 o
φ = 70 o
φ = 10 o
φ = 20 o
Fig. 7.15 - Amplitude da harmônica de ordem 3 em relação à Im.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
120
I
I m
5
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
φ = 90 o
φ = 30 o
φ = 40 o
φ = 50 o
φ = 80 o
φ = 60 o
φ = 70 o
φ = 10 o
φ = 20 o
α( )ο
Fig. 7.16 - Amplitude da harmônica de ordem 5 em relação à Im.
i) Verificação Experimental para Gradador monofásico (Figura 7.17)
vL
iL
( )
,
,
,
a R
L H
V V
f Hz
o
o
rede
=
=
=
=
=
=
61
0107
7776
3348
220
60
Ω
α
φ
vL
iL
( )
,
,
,
b R
L H
V V
f Hz
o
o
rede
=
=
=
=
=
=
61
0107
9936
3348
220
60
Ω
α
φ
vL
iL
( )
,
,
,
c R
L H
V V
f Hz
o
o
rede
=
=
=
=
=
=
61
0045
9936
1554
220
60
Ω
α
φ
Fig. 7.17 - Escalas das figuras : V = 100V/div., I = 2A/div., t = 2ms/div.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
121
7.5 - ESTRUTURAS DOS GRADADORES TRIFÁSICOS
Para cargas trifásicas as estruturas mais empregadas industrialmente estão
representadas nas figuras 7.18, 7.19 e 7.20.
T1
Z
T2
T3
1
T4
T5
2Z
N
T6
3Z
1v (ωt)
2v (ωt)
3v (ωt)
Fig. 7.18 - Carga ligada em estrela.
T1
Z
T2
T3
1
T4
T5
2ZN
T6
3Z
1v (ωt)
2v (ωt)
3v (ωt)
Fig. 7.19 - Carga ligada em delta.
T1
Z
T2 T3
1
T4
T5
2Z
N T6
3Z
1v (ωt)
2v (ωt)
3v (ωt)
Fig. 7.20 - Carga ligada em delta.Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
122
7.6 - CONTROLE POR CICLOS INTEIROS
Nas estruturas até aqui estudadas, a potência transferida à carga era
controlada através dos ângulos de disparo ou de fase α (Controle de fase).
Controle de fase apresenta dois inconvenientes:
a) introduz harmônicas importantes de corrente na rede de alimentação.
b) para valores de α elevados opera com fator de potência muito baixo.
Desta forma, particularmente em aquecimento resistivo, prefere-se o
controle por ciclos inteiros, explicado a seguir.
T1
T
I2 o
ωt
Fig. 7.21 - Formas de onda para o controle por ciclos inteiros.
Seja m o número de ciclos aplicados à carga, durante o tempo T1; seja M o
número de ciclos da rede durante o tempo T.
Valor eficaz da corrente de carga.
Durante o intervalo T1, a corrente eficaz é igual a Io. Durante o intervalo (T-
T1) a corrente eficaz é nula.
Seja I o valor eficaz da corrente na carga, calculada para o período T.
(I ) o
T1
T
Fig. 7.22 - Corrente na carga.
R I T Wo
2
1 1= (7.46)
R I T W2 2= (7.47)
Sendo W2 a energia calculada para o intervalo de tempo considerado.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
123
Balanço de energia: W W1 2= (7.48)
Ou seja: I
T
T
Io= 1 (7.49)
Com,
T
T
m
M
1 = (7.50)
Portanto, o valor eficaz da corrente na carga é dado pela expressão (7.51).
I
m
M
Io= (7.51)
Onde: I
I
o
m=
2
(7.52)
Im - valor de pico da corrente na carga.
A expressão (7.53) indica que se o número de ciclos M for mantido
constante, a potência transferida à carga pode ser controlada pelo número de pulsos
m.
P R I
m
M
R Io= =2 2 (7.53)
Seja: P R Io o= 2 (7.54)
Assim: 
P
P
m
Mo
= (7.55)
Com o controle por ciclos inteiros o fator de potência é sempre unitário e
nenhuma harmônica de corrente é introduzida na rede.
Quanto maior a relação M/m, mais fino é o controle que pode ser obtido da
potência transferida à carga.
O emprego ao qual o controle por ciclos inteiros melhor se adapta é o
aquecimento resistivo, sobretudo para fornos de grande potência. As constantes de
tempo térmicas são grandes e o fato da energia ser introduzida no forno
discretamente não provoca variação instantânea de temperatura.
Em geral é empregado um período T igual a 1 segundo.
Quando se trata de fornos trifásicos, em geral são empregados dois
gradadores. Uma das fases é ligada diretamente à carga, como está representado na
figura 7.23.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
124
T1
Rede
R
T2
R
T3
R
RS
T
T4
Fig. 7.23 - Gradador controlado por ciclos inteiros alimentando uma carga trifásica.
7.7 - COMPENSADOR ESTÁTICO DE POTÊNCIA REATIVA (FIG. 7.24)
T1
L
+
i
v
T2
-
Fig. 7.24 - Indutância controlada por gradador.
∆ γ−∆
β tω
γ
α
0
π 2π
v
 i
Fig. 7.25 - Formas de onda para a estrutura representada na figura 7.24.
Onde: ∆ = γ2 (7.56)
α - ângulo de disparo; β - ângulo de extinção
γ - ângulo de condução e ∆ - ângulo de meia condução
De acordo com a expressão (7.32), tomando-se R = 0 obtém-se a expressão
(7.57).
i t
V
L
to( ) sen senω ω ω
π α π= −

 − −








2
2 2 (7.57)
Logo:
[ ]i t VL to( ) cos cos( )ω ω α ω= −2 (7.58)
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
125
Amplitude da componente fundamental (Expressão (7.59)).
I
V
L
o
1
2
2 2= −πω ( sen )∆ ∆ (7.59)
Portanto:
[ ]i t VL to1 2 2 2( ) ( sen )cos( )ω πω ω= −∆ ∆ (7.60)
Por outro lado:
[ ]v t L di td t L VL teq eq o( ) ( )( ) ( sen )sen( )ω ωω ω πω ω= = −1 2 2 2∆ ∆
Com, v t V to( ) sen( )ω ω= 2
Logo: L
L
eq = −
π
( sen )2 2∆ ∆ (7.61)
Com, ∆ + =α π
Assim:
L
L
eq = − − −
π
π α π α2 2( ) sen ( ) (7.62)
Conclui-se que o indutor alimentado por gradadores como está
representado na figura 7.24, comporta-se como uma indutor variável em função de
α (Eq. 7.62).
Observa-se que:
a) π α π
2
≤ ≤
b) Expressão (7.62) foi considerado apenas o efeito da componente
fundamental da corrente do indutor.
XXX
L
C CL eq Ceq
T2T1
Y Y Y
( )α ( )α⇒ ⇒
Fig. 7.26 - Capacitor controlado por gradador.
Variando-se o ângulo α, varia-se a indutância equivalente. Para um
capacitor ressonante com L, o circuito visto dos terminais XY comporta-se como
uma capacitância controlada pelo ângulo α.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
126
O ângulo α pode ser variado continuamente, com grande rapidez. Estas
propriedades são muito interessantes e são empregadas na compensação estática de
potência reativa (Figura 7.27).
L
C
L
R1
1T2T1
v t( )ω
Fig. 7.27 - Compensador estático de potência reativa.
Para valores adequados de L e C e para um comando adequado, é possível
controlar o fator de potência da carga (R1L1). O controle pode ser automatizado.
Desse modo, quando a indutância de carga varia, mesmo com rapidez, o fator de
potência pode ser mantido igual a 1 (logicamente, valores próximos da unidade).
7.8 - ESTABILIZADOR DE TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL BASEADO NO
COMPENSADOR ESTÁTICO DE ENERGIA REATIVA
Lo a
L1
C R
+
v2
-
T2T1
b
1v t( )ω
Fig. 7.28 - Estrutura de um estabilizador de tensão alternada senoidal.
Variando-se o ângulo de disparo (T1 e T2), varia-se o indutor equivalente (Lab).
Combinação Lab em paralelo com C (L1 e C devidamente escolhidos), resulta num
capacitor equivalente variável controlado pelo ângulo α.
Presença de Lo em combinação com C provoca um aumento da tensão V2 em
relação a V1 (como ocorre numa rede de transmissão de energia elétrica a vazio).
Mantendo-se V1 constante, pode-se variar V2 modificando-se o ângulo α. A
recíproca é verdadeira. Variando-se V1, V2 pode ser mantido constante (com modificação
conveniente no ângulo α).
Nesse modo de funcionamento a estrutura pode ser empregada para estabilizar
uma tensão alternada dentro de determinados limites (Possibilidade de se manter a tensão
de saída estabilizada, para uma variação de ±30% da tensão de entrada).
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
127
Para tensões e correntes senoidais e para tensões V1 e V2 tomadas em módulo, a
estrutura representada na figura 7.28 obedece à expressão (7.63).
V V
X
X
X
R
Lo
C
Lo
1 2
2 2
1= −

 +



 (7.63)
Logo, se V1 varia, V2 pode ser mantido constante por meio de um ajuste adequado
de Xc que por sua vez depende do ângulo α.
Características importantes: (a)Robustez , devido indutor L1 em série com
tiristores, torna-os naturalmente protegidos contra sobrecorrentes.
(b)Qualidade da tensão V2 (demonstra-se que ela é
praticamente isenta de harmônicas, não necessitando de filtros).
7.9 - CIRCUITO ESTABILIZADOR DE MCVEY-WEBER
Em dezembro de 1967, McVey e Weber publicaram um trabalho propondo
um estabilizador de tensão alternada a tiristor (Figura 7.29).
+
T2
T3
T1
T4
+
R
-
v2
v1
+
-
v3
-
4v t( )ω
Fig. 7.29 - Estrutura de McVey-Weber.
As tensões v1(ωt) e v3(ωt) são representadas pelas expressões (7.64) e (7.65).
v t K V to1 2( ) sen( )ω ω= (7.64)
v t V to3 2( ) sen( )ω ω= (7.65)
Formas de onda mais importantes (Figura 7.30).
π π+α 2πα0
tω
T 1 T 3 T 2 T 4
v2
Fig. 7.30 - Formas de onda para a estrutura da figura 7.29, com carga resistiva.
Variando-se o ângulo α, varia-se o valor eficaz da tensão na carga.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
128
Limites:
a) α = 0; assim:
v t V to2 2( ) sen( )ω ω= (7.66)
V Vef o2 = (7.67)
b) α = π; assim:
v t K V to2 2( ) sen( )ω ω= (7.68)
V K Vef o2 = (7.69)
Paraum ângulo α genérico o valor eficaz da tensão de saída será:
[ ] [ ]V K V t dt V t dtef o o2 2 2
0
2
2 2= +∫ ∫ωπ ω
ω
π ω
α ω
α ω
π ω
sen( ) sen( ) (7.70)
Portanto,
( )[ ]V V Kef o2 2 1 222 1 1 2 2 2= − − + π α α π(sen ) (7.71)
Tensão V2ef pode ser variada ao se variar o ângulo α. A variação obtida será
tanto maior quanto maior for o valor de K. Um valor grande de K porém, introduz
muitas harmônicas na tensão de saída.
Seqüências de funcionamento (Figura 7.31).
T2
T3
-
+
v - v3 1
T1
T4
+
-
v2i
v1
-
+
R
 
-
+
+
-
-
+ T2
T3
v - v3 1
T1
T4
v2i
v1 R
Fig. 7.31.a - 0 < ωt < α. Fig. 7.31.b - α < ωt < π.
+
-
-
+
i
+
- T2
T3
v - v3 1
T1
T4
v2
v1 R
 
+
-
-
+
i
+
- T2
T3
v - v3 1
T1
T4
v2
v1 R
Fig. 7.31.c - π < ωt < π+α. Fig. 7.31.d - π+α < ωt < 2π.
Fig. 7.31 - Seqüências de funcionamento para a estrutura representada na figura 7.29.
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
129
Formas de onda para carga indutiva (Figura 7.32).
π π+α 2πα0
tω
T4 T3 T3 T4
Ig1
tω
T2T1
φ
Ig3 Ig2 Ig4
v2
i
Fig. 7.32 - Formas de onda para carga indutiva.
Nos casos em que α < φ, as ordens de comando são inadequadas (curto-
circuito da fonte em cima dos tiristores).
Nesses casos, as ordens de comando devem ser vinculadas à passagem por
zero da corrente i(ωt).
Da análise harmônica da tensão de saída conclui-se que:
a) As harmônicas de ordem par são nulas;
b) Os coeficientes das componentes fundamentais (Equações (7.72) e (7.73)):
a
V Ko
1
22 2 1
2
= − −( ) sen απ (7.72)
( )[ ]
b
V Ko
1
2 22 2 1
2
= − − ⋅ − − ⋅( ) sen cos sen cosα α α α απ (7.73)
c) As harmônicas de ordem n (Equações (7.74) e (7.75)):
( )
( )a
V K n n n
nn
o= − ⋅ + ⋅ −−
2 2 1 1
1 2
( ) cos cos sen senα α α α
π (7.74)
( )
( )b
V K n n n
nn
o= − ⋅ + ⋅−
2 2 1
1 2
( ) cos sen sen cosα α α α
π (7.75)
Cap. 7 - Gradadores
Eletrônica Industrial-Eletrônica de Potência
130
7.10 - RESISTOR VARIÁVEL ENTRE DOIS LIMITES FINITOS (FIG. 7.33)
XX
R 1
R eq
R 2T2T1
Y Y
( )α⇒
Fig. 7.33 - Resistor controlado por gradador.
Variando-se o ângulo α (dos tiristores) varia-se o resistor equivalente (Req):
a) α = 0o e Req = R1
b) α = 180o e Req = R1 + R2
7.11 - ASSOCIAÇÃO GRADADOR-TRANSFORMADOR-RETIFICADOR
Conversão tensão alternada em tensão contínua de valor variável (Emprega-se um
transformador e um retificador a tiristores (ou diodos)).
Transformador ⇒ Isolamento e a adaptação das tensões;
Retificador à tiristores ⇒ Variação da tensão média.
No caso em que: As correntes são elevadas e as tensões muito baixas ou vice-versa
⇒ Solução clássica não é satisfatória (Tiristores de alta corrente ou alta tensão
têm custo elevado).
Portanto, torna-se recomendável o emprego da estrutura da figura 7.34.
T1
pvT2
D1 D2
sv
TR
Carga 2v
+
-D4D3
1v t( )ω
Fig. 7.34 - Transformador alimentado por gradador.
Tiristores T1 e T2 ⇒ Variação da tensão do primário vp ⇒ Variação da
tensão secundária vs.
Retificação (diodos D1, D2, D3 e D4) da tensão já recortada (Gradador). Para
a carga ⇒ Como se ela fosse alimentada por um retificador controlado.
Solução de menor custo (Potência passa a ser controlada com níveis de
tensão ou correntes usuais) ⇒ Pode-se empregar tiristores (ou diodos) de baixo
custo.