Métodos Quantitativos Tema 4 Aula 3

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Tema 4: Teste de hipótese para a igualdade entre duas médias populacionais 
Diferentemente dos testes anteriores, esse leva em consideração duas amostras distintas, sendo 
a hipótese nula expressa por 
H ou d onde d > 0, a diferença admitida entre as médias     0 1 2 1 2:
, ou seja, 
testar a hipótese em que, dado duas amostras, suas médias sejam iguais ou não maiores que uma 
distância específica, considerando para isso um nível de significância fixo (

). Segundo Martins (2010), 
existem dois casos possíveis para esse tipo de teste: 
Primeiro caso: são selecionadas amostras aleatórias independentes, de duas populações com 
distribuições normais e variâncias conhecidas. 
1. H ou d onde d > 0, a diferença admitida entre as médias     0 1 2 1 2: 
H ou d     1 1 2 1 2: Obs.: Os testes unicaudais também são permitidos. 
2. Fixar 

 e escolher a variável normal padrão. 
3. Com auxílio da tabela da distribuição normal padrão, determinam-se RA e RC. 
4. Cálculo do valor da variável: 
 
cal
x x d
Z
n n
 

 

1 2
2 2
1 2
1 2
 
5. Conclusão: 
Se 
calZ Z Z   /2 /2
, não se pode rejeitar 
H0
. / Se 
calZ Z /2
 ou 
calZ Z  /2
, rejeita-se 
H0
. 
Note que a conclusão corrente se refere ao teste bilateral. Ou seja, caso sejam utilizados testes 
unilaterais, é sempre necessário a correta especificação das regiões críticas e de aceitação. 
Exemplo: Dois tipos de pneus são fabricados. O tipo A tem  = 2500 km, e o tipo B tem  = 
3000 km. Uma amostra testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24000 km e 26000 km de 
duração média dos respectivos tipos. Com risco  = 4%, testar a hipótese de que a duração média é a 
mesma. 
Solução: 
1. A BH   0 : 
2. A BH   1 : 
3. 

 = 0,04 
4. Da tabela de distribuição normal (para 

 = 0,04) temos: Z e Z    /2 /22,05 2,05 
Figura 1 – Distribuição normal padrão. 
 
Fonte: Portal Action (2014). 
Figura 2 – Região crítica de teste bilateral para a igualdade entre duas médias populacionais – 
primeiro caso. 
 
Fonte: Portal Action (2014). 
5. Cálculo do valor da variável 
   
cal
x x d
Z
n n
   
   
 
 
1 2
2 2 2 2
1 2
1 2
24000 26000 0
3,38
2500 3000
50 40 
6. Como
calZ Z  /2
, rejeita-se 
H0
, ou seja, os pneus A e B têm, com risco de 4%, durações 
diferentes. 
Clique no link a seguir e tenha acesso a um vídeo explicativo sobre o teste de hipótese para a 
igualdade entre as médias populacionais: 
https://www.youtube.com/watch?v=1RMp_bvcW1Q 
Segundo caso: São selecionadas amostras aleatórias independentes, de duas populações com 
distribuições normais, com variâncias desconhecidas e admitidas iguais. 
1. H ou d onde d > 0, a diferença admitida entre as médias     0 1 2 1 2: 
H ou d     1 1 2 1 2:
 Obs.: Os testes unicaudais também são permitidos. 
2. Fixar 

. Escolher a variável t com: 
 n n   1 2 2
. 
3. Com auxílio da tabela de distribuição t, determinam-se RA e RC. 
4. Cálculo do valor da variável: 
 
cal
c
x x d
t
n n
S
n n
 


1 2
1 2
1 2
 
Onde 
cS
 representa o desvio padrão comum, dado por 
   
c
n S n S
S
n n
  

 
2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2
 
5. Conclusão: 
 Se 
calt t t   /2 /2
, não se pode rejeitar 
H0
. 
Se 
calt t /2
 ou 
calt t  /2
, rejeita-se 
H0
. 
Note que a conclusão corrente se refere ao teste bilateral. Ou seja, caso sejam utilizados testes 
unilaterais, é sempre necessário a correta especificação das regiões críticas e de aceitação. 
Exemplo: Duas amostras de tinta foram testadas sob as mesmas condições. O tipo A registrou 
média de 80 m² com um desvio padrão de 5 m² em 5 partes pintadas. O tipo B registrou média de 83 
m² com um desvio padrão de 4 m² em 6 partes pintadas. Com risco 

 = 5%, testar a hipótese de 
igualdade de médias. 
Solução: 
1. A BH   0 : / 
A BH   1 :
 
2.  = 0,05 
3. Da tabela de distribuição t (para 
   n n       1 2 2 5 6 2 9
 e  = 0,05) temos: 
t/2
 = 2,26 
Figura 3 – Região crítica de teste bilateral para a igualdade entre duas médias populacionais – 
segundo caso. 
Fonte: Portal Action (2014). 
Figura 4 – Distribuilção T de Student. 
 
 
4. Cálculo do valor da variável 
       
c
n S n S
S
n n
     
  
   
2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 5 1 5 6 1 4
4,47
2 5 6 2
 
   
cal
c
x x d
t
n n
S
n n
   
   
 
1 2
1 2
1 2
80 83 0
1,11
5 6
4,47
5.6
 
5. Como
calt t t   /2 /2
, não se pode rejeitar 
H0
, ou seja, as tintas A e B têm, com risco de 5%, 
médias iguais.