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Tema 4: Teste de hipótese para a igualdade entre duas médias populacionais Diferentemente dos testes anteriores, esse leva em consideração duas amostras distintas, sendo a hipótese nula expressa por H ou d onde d > 0, a diferença admitida entre as médias 0 1 2 1 2: , ou seja, testar a hipótese em que, dado duas amostras, suas médias sejam iguais ou não maiores que uma distância específica, considerando para isso um nível de significância fixo ( ). Segundo Martins (2010), existem dois casos possíveis para esse tipo de teste: Primeiro caso: são selecionadas amostras aleatórias independentes, de duas populações com distribuições normais e variâncias conhecidas. 1. H ou d onde d > 0, a diferença admitida entre as médias 0 1 2 1 2: H ou d 1 1 2 1 2: Obs.: Os testes unicaudais também são permitidos. 2. Fixar e escolher a variável normal padrão. 3. Com auxílio da tabela da distribuição normal padrão, determinam-se RA e RC. 4. Cálculo do valor da variável: cal x x d Z n n 1 2 2 2 1 2 1 2 5. Conclusão: Se calZ Z Z /2 /2 , não se pode rejeitar H0 . / Se calZ Z /2 ou calZ Z /2 , rejeita-se H0 . Note que a conclusão corrente se refere ao teste bilateral. Ou seja, caso sejam utilizados testes unilaterais, é sempre necessário a correta especificação das regiões críticas e de aceitação. Exemplo: Dois tipos de pneus são fabricados. O tipo A tem = 2500 km, e o tipo B tem = 3000 km. Uma amostra testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24000 km e 26000 km de duração média dos respectivos tipos. Com risco = 4%, testar a hipótese de que a duração média é a mesma. Solução: 1. A BH 0 : 2. A BH 1 : 3. = 0,04 4. Da tabela de distribuição normal (para = 0,04) temos: Z e Z /2 /22,05 2,05 Figura 1 – Distribuição normal padrão. Fonte: Portal Action (2014). Figura 2 – Região crítica de teste bilateral para a igualdade entre duas médias populacionais – primeiro caso. Fonte: Portal Action (2014). 5. Cálculo do valor da variável cal x x d Z n n 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 24000 26000 0 3,38 2500 3000 50 40 6. Como calZ Z /2 , rejeita-se H0 , ou seja, os pneus A e B têm, com risco de 4%, durações diferentes. Clique no link a seguir e tenha acesso a um vídeo explicativo sobre o teste de hipótese para a igualdade entre as médias populacionais: https://www.youtube.com/watch?v=1RMp_bvcW1Q Segundo caso: São selecionadas amostras aleatórias independentes, de duas populações com distribuições normais, com variâncias desconhecidas e admitidas iguais. 1. H ou d onde d > 0, a diferença admitida entre as médias 0 1 2 1 2: H ou d 1 1 2 1 2: Obs.: Os testes unicaudais também são permitidos. 2. Fixar . Escolher a variável t com: n n 1 2 2 . 3. Com auxílio da tabela de distribuição t, determinam-se RA e RC. 4. Cálculo do valor da variável: cal c x x d t n n S n n 1 2 1 2 1 2 Onde cS representa o desvio padrão comum, dado por c n S n S S n n 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 5. Conclusão: Se calt t t /2 /2 , não se pode rejeitar H0 . Se calt t /2 ou calt t /2 , rejeita-se H0 . Note que a conclusão corrente se refere ao teste bilateral. Ou seja, caso sejam utilizados testes unilaterais, é sempre necessário a correta especificação das regiões críticas e de aceitação. Exemplo: Duas amostras de tinta foram testadas sob as mesmas condições. O tipo A registrou média de 80 m² com um desvio padrão de 5 m² em 5 partes pintadas. O tipo B registrou média de 83 m² com um desvio padrão de 4 m² em 6 partes pintadas. Com risco = 5%, testar a hipótese de igualdade de médias. Solução: 1. A BH 0 : / A BH 1 : 2. = 0,05 3. Da tabela de distribuição t (para n n 1 2 2 5 6 2 9 e = 0,05) temos: t/2 = 2,26 Figura 3 – Região crítica de teste bilateral para a igualdade entre duas médias populacionais – segundo caso. Fonte: Portal Action (2014). Figura 4 – Distribuilção T de Student. 4. Cálculo do valor da variável c n S n S S n n 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 5 1 5 6 1 4 4,47 2 5 6 2 cal c x x d t n n S n n 1 2 1 2 1 2 80 83 0 1,11 5 6 4,47 5.6 5. Como calt t t /2 /2 , não se pode rejeitar H0 , ou seja, as tintas A e B têm, com risco de 5%, médias iguais.
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