A4 GPI Métodos Quantitativos Prof. Jéderson

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Métodos Quantitativos
Prof. Jéderson da Silva
Aula 4
Organização da Aula
 Tema 1: Aspectos conceituais de 
ANOVA
 Tema 2: ANOVA com um fator
 Tema 3: Procedimento ANOVA 
com um fator
 Tema 4: ANOVA com dois 
fatores – sem interação entre os 
grupos
 Tema 5: Procedimento ANOVA 
com dois fatores
Tema 1: Aspectos Conceituais 
de ANOVA
Aspectos Conceituais
de ANOVA
 Origem: experimentação agrícola
Ronald A. 
Fisher
George W. 
Snedecor
 Conceito:
Tratamento – o que está em 
comparação
Definição de ANOVA
(MARTINS, 2010)
“Trata-se de um método estatístico 
que, por meio de teste de 
igualdade de médias, verifica se 
fatores (variáveis independentes) 
produzem mudanças sistemáticas 
em alguma variável de interesse 
(variável dependente).”
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Exemplos de Aplicação da 
ANOVA
a) Variáveis que afetam o consumo
de combustível em automóveis: 
marca, idade, peso, ou uma
combinação destes
b) Variáveis que afetam a 
resistência à tração de um 
material (temperatura, 
microestrutura)
Pressupostos de ANOVA
(MARTINS, 2010)
1) Amostras independentes
2) Distribuição normal
3) Homogeneidade das variâncias 
entre os grupos
Tipos de ANOVA
1) ANOVA com um fator
2) Anova com dois fatores
sem repetição
com repetição
3) ANOVA multifatorial
Tema 2: ANOVA com
Um Fator
ANOVA com Um Fator
 O objetivo da ANOVA com um fator 
é determinar se os diferentes 
níveis de um determinado fator A 
afetam as observações 
diferentemente
(Portal Action, 2014)
Apresentação dos dados para um fator
ANOVA com Um Fator
Hipóteses testadas:
(Portal Action, 2014)
Ex.:
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Variância Total
Variância quadrática total:
(Portal Action, 2014)
i = 1, 2, ..., k são os níveis de 
tratamentos
j = 1, 2, ..., n são elementos 
amostrais de cada i-ésimo tratamento
= média geral
Soma dos quadrados totais:
Variância Entre os Grupos
Considerando os desvios de 
cada nível k de tratamento, e 
fazendo uma soma quadrática desses 
desvios, teremos uma amostra de 
variância entre os grupos conforme:
(Portal Action, 2014) 
Soma dos quadrados entre os 
grupos:
Variância Dentro dos Grupos
Variância dentro dos grupos:
(MARTINS, 2010; Portal Action, 2014)
Soma dos quadrados dentro dos 
grupos:
, em que:
Variância Dentro X
Variância Entre
Tabela 
ANOVA
Compara-se o valor calculado com o 
valor tabelado, tal que o número de 
graus de liberdade do numerador 
será (k-1) e do denominador (n-k), 
considerando um nível de 
significância (MARTINS, 2010)
Tema 3: Procedimento 
ANOVA com Um Fator
Procedimento da ANOVA
1) Estabelecer o teste de hipótese
(MARTINS, 2010)
As médias de todos os níveis 
de tratamento são iguais
Ao menos uma é diferente
2) Calculam-se os valores
3) Calculam-se as variâncias entre os 
grupos e dentro dos grupos, 
avaliando
4) Constrói-se a tabela de análise de 
variância
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5) Determinam-se RA e RC de 
acordo com a tabela de 
distribuição F
(MARTINS, 2010)
6) Conclusão:
é aceita
é rejeitada
Exemplo
(Portal Action, 
2014)
Objetivo: conhecer a influência da 
porcentagem de algodão na 
resistência da fibra sintética.
Tem-se 5 níveis para a 
porcentagem de algodão e 5 
replicações. Admitir
Solução
1) Estabelecer o teste de hipótese
Ao nível de significância de 5% a 
porcentagem de algodão não altera 
resistência da fibra
A porcentagem de algodão altera 
a resistência da fibra
2) Calculam-se os valores
Solução
2)
Solução
3)
4)
5)
Solução
6) Conclusão:
Com 95% de confiança, concluímos 
que a hipótese nula deve ser
rejeitada, ou seja, a porcentagem de 
algodão altera a resistência da fibra
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Tema 4: ANOVA com Dois
Fatores – Sem Interação
Entre os Grupos
ANOVA com Dois Fatores
O objetivo da ANOVA com dois 
fatores sem interação entre os 
grupos permite saber se a 
influência de dois fatores, 
separadamente, altera ou não a 
variável em estudo
(MARTINS, 2010)
Apresentação dos dados para dois fatores
ANOVA com Dois Fatores
Hipóteses nulas testadas:
(Portal Action, 2014)
 Fontes de variação:
Variação entre os grupos do 
fator A
Variação entre os grupos do 
fator B
Variação dentro dos grupos
Variações
Variação total:
= média geral
Variação devido ao fator A:
Variação devido ao fator B:
Variação dentro dos grupos:
(Portal Action, 2014)
Tabela ANOVA com
Dois Fatores
Tema 5: Procedimento 
ANOVA com Dois Fatores –
Sem Interação Entre Grupos
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Procedimento da ANOVA
1) Estabelecer o teste de hipótese
(MARTINS, 2010)
2) Calculam-se os valores
3) Calculam-se as variâncias entre 
os grupos A e B e dentro dos 
grupos avaliando
Procedimento da ANOVA
4) Constrói-se a tabela de análise 
de variância
(MARTINS, 2010) 
5) Determinam-se RA e RC de acordo 
com a tabela de distribuição F
Procedimento da ANOVA
(MARTINS, 2010) 
6) Conclusão:
é aceita
é rejeitada
é aceita
é rejeitada
Exemplo
(MARTINS, 2010)
Objetivo: Um produtor agrícola de 
trigo deseja saber se há diferença 
na sua produtividade devido ao 
fertilizante e à variedade do trigo. 
Admitir
Solução
1) Estabelecer o teste de hipótese
Solução
2)
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Solução
3) Cálculo das variâncias
4) Tabela ANOVA
Solução
5) Determinar RA e RC
Fator A
Fator B
Procedimento da ANOVA
6) Conclusão:
é aceita
é rejeitada
Variedade do trigo: não altera a 
produção
Fertilizante: altera a produção
Referências de Apoio
 Martins, G. A. Estatística Geral e 
Aplicada. 3. ed. Atlas, 2010. 421 p.
 Portal Action. Acesso em: 
dezembro de 2014. Disponível em: 
<http://www.portalaction.com.br/>