Métodos Quantitativos Tema 2 Aula 4

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Tema 2: ANOVA com um fator 
Neste caso, é analisado se um determinado fator influencia ou não numa variável dependente. 
Para entender melhor essa teoria, consideremos um processo em que é necessário avaliar a influência 
de um determinado fator A, tal que A tenha k níveis, cada qual está fixo num determinado valor (Portal 
Action, 2014). Suponha-se que em cada nível de experimento k, tenha-se n variáveis sendo analisadas. 
Assim, escrevemos uma matriz de dados conforme sugere a tabela 1. 
Tabela 1 - Apresentação de dados para ANOVA de um fator. 
 
Para tornar menos abstrata a teoria apresentada, vamos apresentar um exemplo (PORTAL 
ACTION, 2014). 
Considere o processo de produção de uma fibra sintética, no qual o experimentador quer 
conhecer a influência da porcentagem de algodão na resistência da fibra. Para isto, foi realizado um 
experimento totalmente aleatorizado, no qual diversos níveis de porcentagem de algodão foram 
avaliados em relação à resistência da fibra. No experimento, tomamos cinco níveis para a porcentagem 
de algodão e cinco replicações. Veja, na Tabela 2, essas informações: 
Tabela 2 - Apresentação de dados experimentais. 
 
O objetivo central da ANOVA com um fator é determinar se os diferentes níveis de um 
determinado fator A afetam as observações diferentemente. Para tanto, deve-se realizar um teste de 
hipótese, que compara as médias de todos os níveis dos experimentos, ou seja, 
0 1 2 3 kH : y y y ... y  
 
1 iH : ao menos um valor y , com i 1, 2,...,k, é diferente.
 
Onde 
iy
 são as médias das populações para cada nível de tratamento i. 
Para realizarmos esse teste de hipóteses, fazemos uso da estatística F. Essa é uma razão, com 
um numerador que irá refletir a variação entre as médias das amostras e um denominador que 
refletirá a variação dentro das amostras. Dessa forma, os componentes-chave em nosso método de 
ANOVA são: variância total, variância entre os grupos e dentro dos grupos. 
Variância total 
A variância quadrática total dos dados é dada por (PORTAL ACTION, 2014): 
 
ink 2
i j
i 1 j 12
t
y y
S
n 1
 




 
Onde a soma de quadrados total no numerador 
é definida como medida de variabilidade total 
dos dados. 
 
 
ink 2
t i j
i 1 j 1
Q y y
 
  
 
Tal que i = 1, 2, ..., k são os níveis de 
tratamentos, j = 1, 2, ..., ni são elementos 
amostrais de cada i-ésimo tratamento e 
y
 é a 
média geral. 
 
Dessa forma, uma fórmula resumida para se calcular a variância total pode ser escrita como: 
2 t
t
Q
S ,
n 1


 
Onde n é o número total de amostras. 
 
Conforme Martins (2010), a soma dos quadrados totais 
t(Q )
 pode ser quebrada em componentes 
de soma dos quadrados entre os grupos 
 eQ
 e soma de quadrados dentro dos grupos 
 dQ
. Ou seja, 
t e dQ Q Q . 
 
Variância entre os grupos 
É a variação das médias das populações em torno da média global, onde a média global é dada 
pela média das 
in
 observações que compõem os k diferentes níveis de grupos. Considerando os 
desvios 
 iy y
 de cada nível k de tratamento. Fazendo uma soma quadrática média desses desvios, 
teremos uma amostra de variância entre os grupos, conforme a seguir: 
 


 
 

k
2
i i
2 ei 1
e
n y y
Q
S ,
k 1 k 1
 
 
 onde 
 
 
k
2
e i i
i 1
Q n y y

  
é definido como a soma dos quadrados entre os grupos. 
 Se as médias amostrais 
1 2 ky , y , ..., y
 tendem a estar próximas umas das outras e também próximas 
de 
y
, o resultado será um valor de 
eQ
 relativamente pequeno. Por outro lado, se ao menos uma das 
médias 
1 2 ky , y , ..., y
 tende a se localizar bem afastada das demais e também afastada de 
y
, o resultado 
será um valor de 
eQ
 relativamente grande. 
Variância dentro dos grupos 
Aqui se estuda a característica ponderada do quanto a variância, de cada grupo, está espalhada, 
independentemente da localização da média de cada grupo analisado. 
Para tanto, é feita uma soma ponderada de quadrados das k variâncias dentro dos grupos: 
2 2 2
2 1 1 2 2 k k
d
1 2 k
(n 1)S (n 1)S ... (n 1)S
S
(n 1) (n 1) ... (n 1)
     

     
 ou 2 2 22 1 1 2 2 k k
d
(n 1)S (n 1)S ... (n 1)S
S
(n k)
     


 
Onde 
1 2 kn n n ... n   
, ou seja, é o número total de amostras. 
O numerador 
2 2 2
1 1 2 2 k k(n 1)S (n 1)S ... (n 1)S     
 denomina-se variação dentro dos grupos e representa a 
soma dos quadrados dentro do grupo
dQ
, ou seja: 
2 2 2
d 1 1 2 2 k kQ (n 1)S (n 1)S ... (n 1)S      
 
Lembrando que 
t e dQ Q Q . 
 Logo, a variância dentro dos grupos pode ser reescrita como: 
2 t e
d
Q Q
S .
(n k)



 
Variância dentro versus variância entre 
Segundo Martins (2010) as variâncias 
2 2 2
t e dS , S e S
 possuem distribuição qui-quadrática com (n-1), 
(k-1) e (n-k) graus de liberdade respectivamente. Dessa forma, se reduzirmos as duas variâncias 
2
eS
 e 
2
dS
 a um único valor podemos aplicar o teste F, como: 

2
e
2
d
S
F ,
S
 
Onde o número de graus de liberdade do numerador será (k-1) e do denominador será (n-k). 
Para o teste de hipótese utilizando a distribuição F, é sugerido que os dados sejam agrupados 
numa tabela, conforme abaixo. 
Tabela 3 - Análise de variância. 
 
Para fazer o teste, comparamos o valor calculado 
calF
 com o valor tabelado 
tabF
, tal que o número 
de graus de liberdade do numerado será (k-1) e do denominador (n-k), considerando um nível de 
significância 

. 
Caso 
cal tabF F
, a hipótese nula é aceita. Dessa forma, pode-se concluir com um nível de confiança 
(1 )
 que o fator não influencia a variável em estudo. Por outro lado, se 
cal tabF F
, a hipótese nula é 
rejeitada e conclui-se com um nível de confiança 
(1 )
 que o fator tem influência sobre a variável em 
estudo. 
 Para ter mais informações sobre a ANOVA com um fator, clique no link a seguir! 
http://www.portalaction.com.br/content/1-anova-um-fator